Оптимизация с ограничением PDE

Оптимизация с ограничениями PDE — это подмножество математической оптимизации , где по крайней мере одно из ограничений может быть выражено в виде уравнения в частных производных . ^[1] Типичные области, в которых возникают эти проблемы, включают аэродинамику , вычислительную гидродинамику , сегментацию изображений и обратные задачи . ^[2] Стандартная формулировка оптимизации с ограничениями PDE, встречающаяся во многих дисциплинах, определяется следующим образом: ^[3] $\min _{y,u}\;{\frac {1}{2}}\|y-{\widehat {y}}\|_{L_{2}(\Omega )}^{2}+{\frac {\beta }{2}}\|u\|_{L_{2}(\Omega )}^{2},\quad {\text{s.t.}}\;{\mathcal {D}}y=u$ где $u$ является управляющей переменной и $\|\cdot \|_{L_{2}(\Omega )}^{2}$ является квадратом евклидовой нормы и не является нормой сама по себе. Решения в закрытой форме обычно недоступны для задач оптимизации с ограничениями PDE, что требует разработки численных методов . ^[4]^[5]^[6]

Приложения

Оптимизация аэродинамической формы ^[7]^[8]
Доставка лекарств ^[9]^[10]
Математические финансы ^[11]
Эпидемиология ^[12]

Оптимальный контроль системы бактериального хемотаксиса

Следующий пример взят из стр. 20–21 Пирсона. ^[3] Хемотаксис – это движение организма в ответ на внешний химический раздражитель. Одна из проблем, представляющих особый интерес, заключается в управлении пространственной динамикой бактерий, подверженных хемотаксису, для достижения желаемого результата. По плотности клеток $z(t,{\bf {x}})$ и плотность концентрации $c(t,{\bf {x}})$ хемоаттрактанта : можно сформулировать задачу граничного управления $\min _{z,c,u}\;{1 \over {2}}\int _{\Omega }\left[z(T,{\bf {x}})-{\widehat {z}}\right]^{2}+{\gamma _{c} \over {2}}\int _{\Omega }\left[c(T,{\bf {x}})-{\widehat {c}}\right]^{2}+{\gamma _{u} \over {2}}\int _{0}^{T}\int _{\partial \Omega }u^{2}$ где ${\widehat {z}}$ идеальная плотность клеток, ${\widehat {c}}$ - идеальная плотность концентрации, а $u$ является управляющей переменной. Эта целевая функция подвержена динамике: ${\begin{aligned}{\partial z \over {\partial t}}-D_{z}\Delta z-\alpha \nabla \cdot \left[{\nabla c \over {(1+c)^{2}}}z\right]&=0\quad {\text{in}}\quad \Omega \\{\partial c \over {\partial t}}-\Delta c+\rho c-w{z^{2} \over {1+z^{2}}}&=0\quad {\text{in}}\quad \Omega \\{\partial z \over {\partial n}}&=0\quad {\text{on}}\quad \partial \Omega \\{\partial c \over {\partial n}}+\zeta (c-u)&=0\quad {\text{on}}\quad \partial \Omega \end{aligned}}$ где $\Delta$ — оператор Лапласа .

См. также

Ссылки

^ Лойгеринг, Гюнтер; Беннер, Питер; Энгель, Себастьян; Гриванк, Андреас; Харбрехт, Гельмут; Хинце, Майкл; Раннахер, Рольф; Ульбрих, Стефан, ред. (2014). «Тенденции в ограниченной оптимизации PDE». Международная серия по числовой математике . 165 . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-05083-6 . ISBN 978-3-319-05082-9 . ISSN 0373-3149 .
^ Лоренц Т. Биглер; Омар Гаттас; Маттиас Хейнкеншлосс; Дэвид Киз; Барт ван Блумен Ваандерс, ред. (01.01.2007). Оптимизация в реальном времени с ограничениями PDE . Вычислительная наука и инженерия. Общество промышленной и прикладной математики. дои : 10.1137/1.9780898718935 . ISBN 978-0-89871-621-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Пирсон, Джон (16 мая 2018 г.). «Оптимизация с ограничениями PDE в физике, химии и биологии: моделирование и численные методы» (PDF) . Эдинбургский университет .
^ Бирос, Джордж; Гхаттас, Омар (1 января 2005 г.). «Параллельные методы Лагранжа – Ньютона – Крылова – Шура для оптимизации с ограничениями на PDE. Часть I: Решатель Крылова – Шура». SIAM Журнал по научным вычислениям . 27 (2): 687–713. Бибкод : 2005ГАК...27..687Б . дои : 10.1137/S106482750241565X . ISSN 1064-8275 .
^ Антил, Харбир; Хейнкеншлосс, Матиас; Хоппе, Рональд Х.В.; Соренсен, Дэнни К. (01 августа 2010 г.). «Декомпозиция области и сокращение модели для численного решения задач оптимизации с ограничениями PDE и локализованными переменными оптимизации» . Вычисления и визуализация в науке . 13 (6): 249–264. дои : 10.1007/s00791-010-0142-4 . ISSN 1433-0369 . S2CID 9412768 .
^ Шеберль, Иоахим; Зуленер, Уолтер (1 января 2007 г.). «Симметричные неопределенные предварительные условия для задач седловой точки с приложениями к задачам оптимизации с ограничениями PDE». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 29 (3): 752–773. дои : 10.1137/060660977 . ISSN 0895-4798 .
^ Джеймсон, Энтони (2003). «Оптимизация аэродинамической формы с использованием сопряженного метода» (PDF) . Стэнфордский университет .
^ Хазра, СБ; Шульц, В.; Брезиллон, Дж.; Гогер, НР (20 марта 2005 г.). «Оптимизация аэродинамической формы с использованием одновременного псевдовременного шага» . Журнал вычислительной физики . 204 (1): 46–64. Бибкод : 2005JCoPh.204...46H . дои : 10.1016/j.jcp.2004.10.007 . ISSN 0021-9991 .
^ Сомаяджи, Махадевабхарат Р.; Ксенос, Михалис; Чжан, Либинь; Мекарски, Меган; Линнингер, Андреас А. (1 января 2008 г.). «Систематический дизайн терапии доставки лекарств» . Компьютеры и химическая инженерия . Инженерия технологических систем: вклад в современное состояние. 32 (1): 89–98. doi : 10.1016/j.compchemeng.2007.06.014 . ISSN 0098-1354 .
^ Антил, Харбир; Ночетто, Рикардо Х.; Венегас, Пабло (19 октября 2017 г.). «Оптимизация силы Кельвина в подобласти движущейся цели». Математические модели и методы в прикладных науках . 28 (1): 95–130. arXiv : 1612.07763 . дои : 10.1142/S0218202518500033 . ISSN 0218-2025 . S2CID 119604277 .
^ Эггер, Герберт; Энгл, Хайнц В. (2005). «Регуляризация Тихонова применительно к обратной задаче ценообразования опционов: анализ сходимости и ставки». Обратная задача . 21 (3): 1027–1045. Бибкод : 2005InvPr..21.1027E . дои : 10.1088/0266-5611/21/3/014 . S2CID 11012681 .
^ Мехдауи, Мохамед; Лацитиньола, Дебора; Тилиуа, Мусин (2024). «Оптимальное социальное дистанцирование посредством контроля перекрестной диффузии для модели PDE при вспышке заболевания» . Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 131 : 107855. doi : 10.1016/j.cnsns.2024.107855 . ISSN 1007-5704 .

Дальнейшее чтение

Антил, Харбир; Коури, Дрю. П; Лакасс, Мартин-Д.; Ридзал, Денис (2018). Границы оптимизации с ограничениями PDE . Тома IMA по математике и ее приложениям, Springer. ISBN 978-1493986354 .
Трёльч, Фреди (2010). Оптимальное управление уравнениями в частных производных: теория, методы и приложения . Аспирантура по математике, Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4904-0 .

Внешние ссылки

[1] Лойгеринг, Гюнтер; Беннер, Питер; Энгель, Себастьян; Гриванк, Андреас; Харбрехт, Гельмут; Хинце, Майкл; Раннахер, Рольф; Ульбрих, Стефан, ред. (2014). «Тенденции в ограниченной оптимизации PDE». Международная серия по числовой математике . 165 . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-05083-6 . ISBN 978-3-319-05082-9 . ISSN 0373-3149 .

[2] Лоренц Т. Биглер; Омар Гаттас; Маттиас Хейнкеншлосс; Дэвид Киз; Барт ван Блумен Ваандерс, ред. (01.01.2007). Оптимизация в реальном времени с ограничениями PDE . Вычислительная наука и инженерия. Общество промышленной и прикладной математики. дои : 10.1137/1.9780898718935 . ISBN 978-0-89871-621-4 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Пирсон, Джон (16 мая 2018 г.). «Оптимизация с ограничениями PDE в физике, химии и биологии: моделирование и численные методы» (PDF) . Эдинбургский университет .

[4] Бирос, Джордж; Гхаттас, Омар (1 января 2005 г.). «Параллельные методы Лагранжа – Ньютона – Крылова – Шура для оптимизации с ограничениями на PDE. Часть I: Решатель Крылова – Шура». SIAM Журнал по научным вычислениям . 27 (2): 687–713. Бибкод : 2005ГАК...27..687Б . дои : 10.1137/S106482750241565X . ISSN 1064-8275 .

[5] Антил, Харбир; Хейнкеншлосс, Матиас; Хоппе, Рональд Х.В.; Соренсен, Дэнни К. (01 августа 2010 г.). «Декомпозиция области и сокращение модели для численного решения задач оптимизации с ограничениями PDE и локализованными переменными оптимизации» . Вычисления и визуализация в науке . 13 (6): 249–264. дои : 10.1007/s00791-010-0142-4 . ISSN 1433-0369 . S2CID 9412768 .

[6] Шеберль, Иоахим; Зуленер, Уолтер (1 января 2007 г.). «Симметричные неопределенные предварительные условия для задач седловой точки с приложениями к задачам оптимизации с ограничениями PDE». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 29 (3): 752–773. дои : 10.1137/060660977 . ISSN 0895-4798 .

[7] Джеймсон, Энтони (2003). «Оптимизация аэродинамической формы с использованием сопряженного метода» (PDF) . Стэнфордский университет .

[8] Хазра, СБ; Шульц, В.; Брезиллон, Дж.; Гогер, НР (20 марта 2005 г.). «Оптимизация аэродинамической формы с использованием одновременного псевдовременного шага» . Журнал вычислительной физики . 204 (1): 46–64. Бибкод : 2005JCoPh.204...46H . дои : 10.1016/j.jcp.2004.10.007 . ISSN 0021-9991 .

[9] Сомаяджи, Махадевабхарат Р.; Ксенос, Михалис; Чжан, Либинь; Мекарски, Меган; Линнингер, Андреас А. (1 января 2008 г.). «Систематический дизайн терапии доставки лекарств» . Компьютеры и химическая инженерия . Инженерия технологических систем: вклад в современное состояние. 32 (1): 89–98. doi : 10.1016/j.compchemeng.2007.06.014 . ISSN 0098-1354 .

[10] Антил, Харбир; Ночетто, Рикардо Х.; Венегас, Пабло (19 октября 2017 г.). «Оптимизация силы Кельвина в подобласти движущейся цели». Математические модели и методы в прикладных науках . 28 (1): 95–130. arXiv : 1612.07763 . дои : 10.1142/S0218202518500033 . ISSN 0218-2025 . S2CID 119604277 .

[11] Эггер, Герберт; Энгл, Хайнц В. (2005). «Регуляризация Тихонова применительно к обратной задаче ценообразования опционов: анализ сходимости и ставки». Обратная задача . 21 (3): 1027–1045. Бибкод : 2005InvPr..21.1027E . дои : 10.1088/0266-5611/21/3/014 . S2CID 11012681 .

[12] Мехдауи, Мохамед; Лацитиньола, Дебора; Тилиуа, Мусин (2024). «Оптимальное социальное дистанцирование посредством контроля перекрестной диффузии для модели PDE при вспышке заболевания» . Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 131 : 107855. doi : 10.1016/j.cnsns.2024.107855 . ISSN 1007-5704 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]