Группа Матье

В групп , теме абстрактной алгебры , группы Матье пять спорадических простых групп , _— M12 , _M24 M22 , _, M23 и _теории введенные M11 ₁₈₇₃ Матье ( 1861 , это ) . Это кратно транзитивные группы перестановок из 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это первые обнаруженные спорадические группы.

Иногда обозначения М ₈ , М ₉ , М ₁₀ , М ₂₀ и М ₂₁ используются для родственных групп (действующих на множествах из 8, 9, 10, 20 и 21 точки соответственно), а именно стабилизаторов точек в более крупные группы. Хотя это не спорадические простые группы, они являются подгруппами более крупных групп и могут использоваться для создания более крупных. Джон Конвей показал, что эту последовательность можно расширить и вверх, получив группоид Матье M _13, действующий на 13 точек. M ₂₁ проста, но не является спорадической группой, поскольку изоморфна PSL (3,4).

История

Матье (1861 , стр. 271) ввел группу М ₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп подстановок и кратко упомянул (на стр. 274) группу М ₂₄ , указав ее порядок. В Матье (1873) он дал дополнительные подробности, включая явные порождающие наборы для своих групп, но из его аргументов было нелегко увидеть, что создаваемые группы являются не просто чередующимися группами , и в течение нескольких лет существование его групп было спорным. Миллер (1898) даже опубликовал статью, ошибочно утверждая, что доказал, что М ₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в ( Миллер 1900 ) он указал, что его доказательство неверно, и дал доказательство того, что группы Матье просты. Витт ( 1938а , 1938б ) окончательно снял сомнения в существовании этих групп, построив их как последовательные транзитивные расширения групп подстановок, а также группы автоморфизмов систем Штейнера .

После групп Матье новых спорадических групп обнаружено не было до 1965 г., когда была открыта группа J ₁ .

Умножьте транзитивные группы

Матье был заинтересован в поиске кратно транзитивных групп перестановок, которые сейчас будут определены. Для натурального числа k группа перестановок G, действующая на n точках, является k -транзитивной , если даны два набора точек a ₁ , ... a _k и b ₁ , ... b _k со свойством, что все a _i различны и все b _i различны, существует групповой элемент g в G , который отображает a _i в b _i для каждого i между 1 и k . Такая группа называется точно k -транзитивной, если элемент g единственен (т.е. действие на k -наборах регулярно , а не просто транзитивно).

M ₂₄ 5-транзитивна, а M ₁₂ резко 5-транзитивна, при этом остальные группы Матье (простые или нет) являются подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, и соответственно меньшей транзитивности ( M ₂₃ 4-транзитивна и т. д. .). Это единственные две 5-транзитивные группы, которые не являются ни симметричными, ни альтернирующими группами ( Cameron 1992 , стр. 139).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S _k для k не менее 4, знакопеременные группы A _k для k не менее 6 и группы Матье M ₂₄ , M ₂₃ , M ₁₂ и M ₁₁ . ( Камерон 1999 , стр. 110) Полное доказательство требует классификации конечных простых групп , но некоторые частные случаи известны гораздо дольше.

состоит Классический результат Джордана в том, что симметрические и знакопеременные группы (степени k и k + 2 соответственно), а также M ₁₂ и M ₁₁ являются единственными точно k -транзитивными группами подстановок для k не ниже 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и группы Цассенхауза . Группы Цассенхауза, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем PGL(2, F _q ), которая является точно 3-транзитивной (см. перекрестное отношение ) на $q+1$ элементы.

Таблица порядка и транзитивности

Группа	Заказ	Заказ (товар)	Факторизованный порядок	Транзитивность	Простой	Спорадический
М ₂₄	244823040	3·16·20·21·22·23·24	2 ¹⁰·3 ³·5·7·11·23	5-переходный	да	спорадический
М ₂₃	10200960	3·16·20·21·22·23	2 ⁷·3 ²·5·7·11·23	4-транзитивный	да	спорадический
М ₂₂	443520	3·16·20·21·22	2 ⁷·3 ²·5·7·11	3-транзитивный	да	спорадический
М ₂₁	20160	3·16·20·21	2 ⁶·3 ²·5·7	2-транзитивный	да	≈ ПСЛ ₃ (4)
М ₂₀	960	3·16·20	2 ⁶·3·5	1-транзитивный	нет	≈2 ⁴:А ₅

М ₁₂	95040	8·9·10·11·12	2 ⁶·3 ³·5·11	резко 5-транзитивен	да	спорадический
М ₁₁	7920	8·9·10·11	2 ⁴·3 ²·5·11	резко 4-транзитивен	да	спорадический
М ₁₀	720	8·9·10	2 ⁴·3 ²·5	резко 3-транзитивен	почти	М ₁₀ ' ≈ Альт ₆
М ₉	72	8·9	2 ³·3 ²	резко 2-транзитивен	нет	≈ ПГУ ₃ (2)
М ₈	8	8	2 ³	резко 1-транзитивен (регулярный)	нет	≈ К

Конструкции групп Матье

Группы Матье могут быть построены различными способами.

Группы перестановок

M ₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL ₂ ( F ₁₁ ) над полем из 11 элементов . Если −1 записано как a , а бесконечность — как b , два стандартных генератора: (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, выдающий M _12, отправляет элемент x из F ₁₁ в 4 x ² − 3x ⁷; как перестановка (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M ₁₁ является стабилизатором точки в M ₁₂ и также оказывается спорадической простой группой. M ₁₀ , стабилизатор двух точек, не является спорадической, а представляет собой почти простую группу которой , коммутантом является знакопеременная группа A ₆ . оно связано с исключительным внешним автоморфизмом A6 _{Таким образом ,} . Стабилизатором 3-х точек является проективная специальная унитарная группа PSU(3,2 ²), что разрешимо. Стабилизатором 4-х точек является группа кватернионов .

Аналогично, M ₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL ₂ ( F ₂₃ ). Один генератор добавляет 1 к каждому элементу поля (оставляя точку N фиксированной на бесконечности), т.е. (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), а другой представляет собой перестановку, изменяющую порядок , (0N)(1M)(2B)(3F)( 4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, выдающий M _24, отправляет элемент x из F ₂₃ в 4 x. ⁴ − 3x ¹⁵ (который отправляет идеальные квадраты через x ⁴ и несовершенные квадраты через 7 x ⁴); вычисления показывают, что в качестве перестановки это (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы точек 1 и 2 — М ₂₃ и М ₂₂ — также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор трех точек прост и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL ₃ (4).

Эти конструкции цитировал Кармайкл (1956 , стр. 151, 164, 263). Диксон и Мортимер (1996 , стр.209) приписывают перестановки Матье.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует с точностью до эквивалентности единственная S (5,8,24) система Штейнера W ₂₄ ( план Витта ). Группа M ₂₄ является группой автоморфизмов этой системы Штейнера; то есть набор перестановок, которые отображают каждый блок в какой-либо другой блок. Подгруппы M ₂₃ и M ₂₂ определены как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Аналогично существует с точностью до эквивалентности единственная S (5,6,12) система Штейнера W ₁₂ и группа M ₁₂ является ее группой автоморфизмов. Подгруппа M ₁₁ является стабилизатором точки.

W ₁₂ может быть построен из аффинной геометрии векторного пространства F ₃ × F ₃ , системы S (2,3,9).

Альтернативная конструкция W ₁₂ — «Котенок» Кертиса (1984) .

Введение в конструкцию W ₂₄ с помощью чудо-генератора октад RT Curtis и аналога Конвея для W ₁₂ , miniMOG, можно найти в книге Конвея и Слоана .

Группы автоморфизмов кода Голея

Группа M ₂₄ является группой автоморфизмов перестановок расширенного двоичного кода Голея W , т. е. группой перестановок 24 координат, которые отображают W в себя. Все группы Матье можно построить как группы подстановок двоичного кода Голея.

M ₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, и M ₁₂ :2 оказывается изоморфной подгруппе M ₂₄ . M ₁₂ — стабилизатор додекады , кодовое слово из 12 единиц; M ₁₂ :2 стабилизирует разбиение на 2 дополняющие друг друга додекады.

Существует естественная связь между группами Матье и более крупными группами Конвея , поскольку решетка Лича была построена на бинарном коде Голея и фактически обе лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в группе Монстра . Роберт Грисс называет 20 спорадических групп, обнаруженных в Монстре, счастливой семьей , а группы Матье - первым поколением .

Детские рисунки

Группы Матье могут быть построены с помощью рисунков d'enfants , при этом рисунок, связанный с M _12, наводит на размышления о названии «Месье Матье» Ле Брюйном (2007) .

Ссылки

Кэмерон, Питер Дж. (1992), Проективные и полярные пространства (PDF) , Лондонский университет, Колледж Королевы Марии и Вестфилд, ISBN 978-0-902-48012-4 , S2CID 115302359
Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 45, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-65378-7
Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , МР 0075938
Чой, К. (май 1972а), «О подгруппах M _24. I: стабилизаторы подмножеств», Transactions of the American Mathematical Society , 167 : 1–27, doi : 10.2307/1996123 , JSTOR 1996123
Чой, К. (май 1972b). «О подгруппах М ₂₄ . II: Максимальные подгруппы М ₂₄ ». Труды Американского математического общества . 167 : 29–47. дои : 10.2307/1996124 . JSTOR 1996124 .
Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Кертис, RT (1976), «Новый комбинаторный подход к M ₂₄ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (1): 25–42, Bibcode : 1976MPCPS..79...25C , doi : 10.1017/S0305004100052075 , ISSN 0305-0041 , МР 0399247
Кертис, RT (1977), «Максимальные подгруппы M ₂₄ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 81 (2): 185–192, Bibcode : 1977MPCPS..81..185C , doi : 10.1017/S0305004100053251 , ISSN 0305-0041 , МР 0439926
Кертис, RT (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M ₁₂ и «котенок» » , в книге Аткинсона, Майкла Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Материалы симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме, 30 июля – 9 августа 1982 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 353–358, ISBN. 978-0-12-066270-8 , МР 0760669
Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрия (PDF)
Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN. 978-0-387-94599-6 , МР 1409812
Фробениус, Фердинанд Георг (1904), О характерах множественных транзитивных групп , Berline Reports, Mouton De Gruyter, стр. 558–571, ISBN 978-3-11-109790-9
Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), «Таблица характеров резко 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12», International Journal of Group Theory , doi : 10.22108/IJGT.2019.115366.1531 , S2CID 119151614
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Хьюз, Сэм (2018), Теория репрезентации и характера малых групп Матье (PDF)
Матье, Эмиль (1861), «Мемуары об изучении функций нескольких величин, о способах их формирования и о заменах, которые оставляют их неизменными» , Журнал чистой и прикладной математики , 6 : 241–323
Матье, Эмиль (1873), «О пятикратно транзитивной функции 24 величин» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01
Миллер, Г. А. (1898), «О предполагаемой пятикратной транзитивной функции из 24 элементов и 19!/48 значений». , Вестник математики , 27 : 187–190
Миллер, Джорджия (1900), «О нескольких простых группах» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 28 : 266–267, doi : 10.24033/bsmf.635
Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Оксфорд, ISBN 978-0-19-280722-9 (введение для непрофессионала, описывающее группы Матье в историческом контексте)
Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
Витт, Эрнст (1938a), «О системах Штейнера», статьи Математического семинара Гамбургского университета , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
Витт, Эрнст (1938b), «5-кратные транзитивные группы Матье», статьи математического семинара Гамбургского университета , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 123658601

Внешние ссылки

АТЛАС: Группа Матье М ₁₀
АТЛАС: Группа Матье М ₁₁
АТЛАС: Группа Матье М ₁₂
АТЛАС: Группа Матье М ₂₀
АТЛАС: Группа Матье М ₂₁
АТЛАС: Группа Матье М ₂₂
АТЛАС: Группа Матье М ₂₃
АТЛАС: Группа Матье М ₂₄
Ле Брюн, Ливен (2007), месье Матье , заархивировано из оригинала 1 мая 2010 г.
Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M ₂₄ , получено 15 апреля 2010 г.
Группа Матье M ₉ в GroupNames
Scientific American Набор головоломок, основанных на математике групп Матье.
Спорадический M12 Приложение для iPhone, реализующее головоломки на основе M ₁₂ , представленные в виде одной перестановки «вращения» и выбираемой перестановки «обмена».