Первичное псевдосовершенное число

В математике , и особенно в теории чисел , N является первичным псевдосовершенным числом, если оно удовлетворяет египетских дробей уравнению .
сумма учитывается только по простым делителям числа N. где
Свойства [ править ]
Эквивалентно, N является первичным псевдосовершенным числом, если оно удовлетворяет условию
За исключением первичного псевдосовершенного числа N = 2, это выражение дает представление N как суммы различных делителей N . Следовательно, каждое первичное псевдосовершенное число N (кроме N = 2) также является псевдосовершенным .
Восемь известных первичных псевдосовершенных чисел:
- 2 , 6 , 42 , 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, 8490421583559688410706771261086 (последовательность A054377 в OEIS ).
Первые четыре из этих чисел на единицу меньше соответствующих чисел в последовательности Сильвестра , но затем две последовательности расходятся.
Неизвестно, существует ли бесконечно много первичных псевдосовершенных чисел или существуют ли нечетные первичные псевдосовершенные числа.
Простые факторы первичных псевдосовершенных чисел иногда могут дать решение проблемы Знама , в которой все элементы множества решений являются простыми. Например, простые множители первичного псевдосовершенного числа 47058 образуют множество решений {2,3,11,23,31} проблемы Знама. Однако меньшие первичные псевдосовершенные числа 2, 6, 42 и 1806 не соответствуют решениям проблемы Знама таким образом, поскольку их наборы простых множителей нарушают требование о том, что ни одно число в наборе не может равняться единице плюс произведение другие цифры. Энн (1998) отмечает, что существует ровно одно множество решений этого типа, в котором есть k простых чисел для каждого k ≤ 8, и предполагает , что то же самое верно и для больших k .
Если первичное псевдосовершенное число N на единицу меньше простого числа, то N × ( N + 1) также является первично псевдосовершенным. Например, 47058 — первично псевдосовершенное, а 47059 — простое, поэтому 47058 × 47059 = 2214502422 также является первично псевдосовершенным.
История [ править ]
Первичные псевдосовершенные числа были впервые исследованы и названы Буцке, Джайе и Майерником (2000). Используя методы вычислительного поиска, они доказали замечательный результат: для каждого положительного целого числа r до 8 существует ровно одно первичное псевдосовершенное число с ровно r (различными) простыми делителями, а именно, r -е известное первичное псевдосовершенное число. Те, у кого 2 ≤ r ≤ 8, при уменьшении по модулю 288 образуют арифметическую прогрессию 6, 42, 78, 114, 150, 186, 222, как заметили Сондоу и Макмиллан (2017).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Энн, Премчанд (1998), «Египетские дроби и проблема наследования», The College Mathematics Journal , 29 (4), Математическая ассоциация Америки : 296–300, doi : 10.2307/2687685 , JSTOR 2687685 .
- Буцке, Уильям; Джадже, Линда М.; Майерник, Дэниел Р. (2000), «Об уравнении , псевдосовершенные числа и идеально взвешенные графики», Mathematics of Computation , 69 : 407–420, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01088-1 .
- Сондоу, Джонатан; Макмиллан, Кирен (2017), «Первичные псевдосовершенные числа, арифметические прогрессии и уравнение Эрдеша-Мозера», The American Mathematical Monthly , 124 (3): 232–240, arXiv : 1812.06566 , doi : 10.4169/amer.math.monthly .124.3.232 , S2CID 119618783 .