Jump to content

Первичное псевдосовершенное число

Графическая демонстрация того, что 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31). Следовательно, произведение 47058 является первично псевдосовершенным.

В математике , и особенно в теории чисел , N является первичным псевдосовершенным числом, если оно удовлетворяет египетских дробей уравнению .

сумма учитывается только по простым делителям числа N. где

Свойства [ править ]

Эквивалентно, N является первичным псевдосовершенным числом, если оно удовлетворяет условию

За исключением первичного псевдосовершенного числа N = 2, это выражение дает представление N как суммы различных делителей N . Следовательно, каждое первичное псевдосовершенное число N (кроме N = 2) также является псевдосовершенным .

Восемь известных первичных псевдосовершенных чисел:

2 , 6 , 42 , 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, 8490421583559688410706771261086 (последовательность A054377 в OEIS ).

Первые четыре из этих чисел на единицу меньше соответствующих чисел в последовательности Сильвестра , но затем две последовательности расходятся.

Неизвестно, существует ли бесконечно много первичных псевдосовершенных чисел или существуют ли нечетные первичные псевдосовершенные числа.

Простые факторы первичных псевдосовершенных чисел иногда могут дать решение проблемы Знама , в которой все элементы множества решений являются простыми. Например, простые множители первичного псевдосовершенного числа 47058 образуют множество решений {2,3,11,23,31} проблемы Знама. Однако меньшие первичные псевдосовершенные числа 2, 6, 42 и 1806 не соответствуют решениям проблемы Знама таким образом, поскольку их наборы простых множителей нарушают требование о том, что ни одно число в наборе не может равняться единице плюс произведение другие цифры. Энн (1998) отмечает, что существует ровно одно множество решений этого типа, в котором есть k простых чисел для каждого k ≤ 8, и предполагает , что то же самое верно и для больших k .

Если первичное псевдосовершенное число N на единицу меньше простого числа, то N × ( N + 1) также является первично псевдосовершенным. Например, 47058 — первично псевдосовершенное, а 47059 — простое, поэтому 47058 × 47059 = 2214502422 также является первично псевдосовершенным.

История [ править ]

Первичные псевдосовершенные числа были впервые исследованы и названы Буцке, Джайе и Майерником (2000). Используя методы вычислительного поиска, они доказали замечательный результат: для каждого положительного целого числа r до 8 существует ровно одно первичное псевдосовершенное число с ровно r (различными) простыми делителями, а именно, r -е известное первичное псевдосовершенное число. Те, у кого 2 ≤ r ≤ 8, при уменьшении по модулю 288 образуют арифметическую прогрессию 6, 42, 78, 114, 150, 186, 222, как заметили Сондоу и Макмиллан (2017).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Энн, Премчанд (1998), «Египетские дроби и проблема наследования», The College Mathematics Journal , 29 (4), Математическая ассоциация Америки : 296–300, doi : 10.2307/2687685 , JSTOR   2687685 .
  • Буцке, Уильям; Джадже, Линда М.; Майерник, Дэниел Р. (2000), «Об уравнении , псевдосовершенные числа и идеально взвешенные графики», Mathematics of Computation , 69 : 407–420, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01088-1 .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0dcfd2392ce89fec86fa57afc148147b__1706223240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0d/7b/0dcfd2392ce89fec86fa57afc148147b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Primary pseudoperfect number - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)