Теорема о среднем значении

Теорему из теории гармонических функций см. в разделе Гармоническая функция § Свойство среднего значения .

Для любой функции, непрерывной на $[a,b]$ и дифференцируемо по $(a,b)$ существует какой-то $c$ в интервале $(a,b)$ такая, что секущая, соединяющая концы отрезка $[a,b]$ параллельна касательной в точке $c$.

В математике теорема о среднем значении (или теорема Лагранжа ) грубо утверждает, что для данной плоской дуги между двумя конечными точками существует по крайней мере одна точка, в которой касательная к дуге параллельна секущей, проходящей через ее конечные точки. Это один из наиболее важных результатов реального анализа . Эта теорема используется для доказательства утверждений о функции на отрезке, исходя из локальных гипотез о производных в точках отрезка.

Точнее, теорема утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a,b)$, то существует точка $c$ в $(a,b)$ такая, что касательная при $c$ параллельна секущей линии, проходящей через конечные точки ${\big (}a,f(a){\big )}$ и ${\big (}b,f(b){\big )}$, то есть,

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

История

Частный случай этой теоремы для обратной интерполяции синуса был впервые описан Парамешварой (1380–1460) из Керальской школы астрономии и математики в Индии в его комментариях к Говиндасвами и Бхаскаре II . Ограниченная форма теоремы была доказана Мишелем Роллем в 1691 году; Результатом стало то, что сейчас известно как теорема Ролля , и она была доказана только для полиномов, без использования методов исчисления. Теорема о среднем значении в ее современной форме была сформулирована и доказана Огюстеном Луи Коши в 1823 году. С тех пор было доказано множество вариаций этой теоремы.

Официальное заявление

Функция $f$ достигает наклона секущей между $a$ и $b$ как производная в точке $\xi \in (a,b)$.

Также возможно, что существует несколько касательных, параллельных секущей.

Позволять $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ быть непрерывной функцией на отрезке $[a,b]$, и дифференцируема на открытом интервале $(a,b)$, где $a<b$. Тогда существует некоторый $c$ в $(a,b)$ такой, что

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Теорема о среднем значении является обобщением теоремы Ролля , которая предполагает $f(a)=f(b)$, так что правая часть выше равна нулю.

Теорема о среднем значении по-прежнему справедлива в несколько более общей ситуации. Нужно только предположить, что $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ постоянно ​ включен $[a,b]$и это для каждого $x$ в $(a,b)$ предел ​

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

существует как конечное число или равно $\infty$ или $-\infty$. Если конечен, этот предел равен $f'(x)$. Примером применения этой версии теоремы является отображение действительнозначной кубического корня функции $x\mapsto x^{1/3}$, производная которого стремится к бесконечности в начале координат.

Как утверждается, теорема неверна, если дифференцируемая функция имеет комплексное, а не действительное значение. Например, определите $f(x)=e^{xi}$ для всех реально $x$. Затем

$f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)$

пока $f'(x)\neq 0$ для любого реального $x$.

Эти формальные утверждения также известны как Лагранжа теорема среднем значении о .

Доказательство

Выражение ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ дает наклон линии, соединяющей точки $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$, которая является хордой графа $f$, пока $f'(x)$ дает наклон касательной к кривой в точке $(x,f(x))$. Таким образом, теорема о среднем значении гласит, что для любой хорды гладкой кривой мы можем найти точку на кривой, лежащую между конечными точками хорды, такую, что касательная кривой в этой точке параллельна хорде. Следующее доказательство иллюстрирует эту идею.

Определять $g(x)=f(x)-rx$, где $r$ является константой. С $f$ постоянно включен $[a,b]$ и дифференцируемо по $(a,b)$, то же самое верно и для $g$. Теперь мы хотим выбрать $r$ так что $g$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля . А именно

${\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}$

По теореме Ролля , поскольку $g$ является дифференцируемым и $g(a)=g(b)$, есть некоторые $c$ в $(a,b)$ для чего $g'(c)=0$ , и это следует из равенства $g(x)=f(x)-rx$ что,

${\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}$

Подразумеваемое

Теорема 1: Предположим, что $f$ - непрерывная вещественная функция, определенная на произвольном интервале $I$ реальной линии. Если производная от $f$ в каждой внутренней точке интервала $I$ существует и равен нулю, то $f$ находится постоянно внутри.

Доказательство. Предположим, что производная $f$ в каждой внутренней точке интервала $I$ существует и равен нулю. Позволять $(a,b)$ быть произвольным открытым интервалом в $I$. По теореме о среднем существует точка $c$ в $(a,b)$ такой, что

$0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Это означает, что $f(a)=f(b)$. Таким образом, $f$ постоянен внутри $I$ и, таким образом, постоянно включен $I$ по непрерывности. (См. ниже многовариантную версию этого результата.)

Примечания:

• Только непрерывность $f$, а не дифференцируемость, необходима на концах интервала $I$. Никакой гипотезы непрерывности не требуется, если $I$ является открытым интервалом , так как существование производной в точке предполагает непрерывность в этой точке. (См. раздел «Непрерывность и дифференцируемость артикльной производной ».)
• Дифференцируемость $f$ можно релаксировать до односторонней дифференцируемости , доказательство дано в статье о полудифференцируемости .

Теорема 2: Если $f'(x)=g'(x)$ для всех $x$ в интервале $(a,b)$ области определения этих функций, то $f-g$ является постоянным, т.е. $f=g+c$ где $c$ является постоянной величиной $(a,b)$.

Доказательство: Пусть $F(x)=f(x)-g(x)$, затем $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ на интервале $(a,b)$, поэтому приведенная выше теорема 1 говорит, что $F(x)=f(x)-g(x)$ является константой $c$ или $f=g+c$.

Теорема 3: Если $F$ является первообразной от $f$ на интервале $I$, то наиболее общая первообразная $f$ на $I$ является $F(x)+c$ где $c$ является константой.

Доказательство. Оно непосредственно следует из теоремы 2, приведенной выше.

Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши о среднем значении , также известная как расширенная теорема о среднем значении , является обобщением теоремы о среднем значении. В нем говорится: если функции $f$ и $g$ оба непрерывны на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a,b)$, то существует некоторый $c\in (a,b)$, такой, что

Геометрический смысл теоремы Коши.

$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$

Конечно, если $g(a)\neq g(b)$ и $g'(c)\neq 0$, это эквивалентно:

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.$

некоторая касательная Геометрически это означает, что к графику кривой имеется

${\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}$

которая параллельна линии, определяемой точками $(f(a),g(a))$ и $(f(b),g(b))$. Однако теорема Коши не утверждает существование такой касательной во всех случаях, когда $(f(a),g(a))$ и $(f(b),g(b))$ являются отдельными точками, поскольку оно может быть удовлетворено только для некоторого значения $c$ с $f'(c)=g'(c)=0$, другими словами, значение, при котором указанная кривая является стационарной ; в таких точках касательная к кривой, скорее всего, вообще не будет определена. Примером такой ситуации является кривая, заданная формулой

$t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),$

который на интервале $[-1,1]$ идет от точки $(-1,0)$ к $(1,0)$, но никогда не имеет горизонтальной касательной; однако у него есть стационарная точка (фактически точка возврата ) в точке $t=0$.

Теорему Коши о среднем значении можно использовать для доказательства правила Лопиталя . Теорема о среднем значении является частным случаем теоремы Коши о среднем значении, когда $g(t)=t$.

Доказательство теоремы Коши о среднем значении

Доказательство теоремы Коши о среднем значении основано на той же идее, что и доказательство теоремы о среднем значении.

• Предполагать $g(a)\neq g(b)$. Определять $h(x)=f(x)-rg(x)$, где $r$ фиксируется таким образом, что $h(a)=h(b)$, а именно

  ${\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}$

  С $f$ и $g$ непрерывны $[a,b]$ и дифференцируемо по $(a,b)$, то же самое верно и для $h$. В целом, $h$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля : следовательно, существует некоторая $c$ в $(a,b)$ для чего $h'(c)=0$. Теперь, используя определение $h$ у нас есть:

  $0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c).$

  Поэтому:

  $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),$

  что подразумевает результат.
• Если $g(a)=g(b)$, затем, применив теорему Ролля к $g$, следовательно, существует $c$ в $(a,b)$ для чего $g'(c)=0$. Используя этот выбор $c$, теорема Коши о среднем значении (тривиально) верна.

Обобщение для определителей

Предположим, что $f,g,$ и $h$ являются дифференцируемыми функциями на $(a,b)$ которые непрерывны $[a,b]$. Определять

$D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}$

Существует $c\in (a,b)$ такой, что $D'(c)=0$.

Обратите внимание, что

$D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}$

и если мы поместим $h(x)=1$, мы получаем теорему Коши о среднем значении . Если мы поместим $h(x)=1$ и $g(x)=x$ мы получаем теорему Лагранжа о среднем значении .

Доказательство обобщения довольно простое: каждое из $D(a)$ и $D(b)$ являются определителями с двумя одинаковыми строками, следовательно, $D(a)=D(b)=0$. Из теоремы Ролля следует, что существует $c\in (a,b)$ такой, что $D'(c)=0$.

Теорема о среднем значении для нескольких переменных

Теорема о среднем значении обобщается на вещественные функции многих переменных. Хитрость заключается в том, чтобы использовать параметризацию для создания реальной функции одной переменной, а затем применить теорему об одной переменной.

Позволять $G$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$, и пусть $f:G\to \mathbb {R}$ быть дифференцируемой функцией. Фиксировать точки $x,y\in G$ такой, что отрезок между $x,y$ лежит в $G$и определить $g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}$. С $g$ является дифференцируемой функцией одной переменной, теорема о среднем значении дает:

$g(1)-g(0)=g'(c)$

для некоторых $c$ между 0 и 1. Но поскольку $g(1)=f(y)$ и $g(0)=f(x)$, вычисления $g'(c)$ явно имеем:

$f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)$

где $\nabla$ обозначает градиент и $\cdot$ скалярное произведение . Это точный аналог теоремы об одной переменной (в случае $n=1$ это . теорема об одной переменной) По неравенству Коши–Шварца уравнение дает оценку:

${\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.$

В частности, когда частные производные $f$ ограничены, $f$ является липшицевым (и, следовательно, равномерно непрерывным ).

В качестве применения вышесказанного мы доказываем, что $f$ является постоянным, если открытое подмножество $G$ связно, и каждая частная производная от $f$ равно 0. Выберите какую-нибудь точку $x_{0}\in G$, и пусть $g(x)=f(x)-f(x_{0})$. Мы хотим показать $g(x)=0$ для каждого $x\in G$. Для этого пусть $E=\{x\in G:g(x)=0\}$. Тогда E замкнуто и непусто. Он тоже открыт: для каждого $x\in E$ ,

${\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0$

для каждого $y$ в каком-то районе $x$. (Здесь очень важно, чтобы $x$ и $y$ достаточно близки друг к другу.) Поскольку $G$ связано, делаем вывод $E=G$.

Приведенные выше аргументы сделаны без координат; следовательно, они обобщаются на случай, когда $G$ является подмножеством банахова пространства.

Теорема о среднем значении для вектор-функций

Точного аналога теоремы о среднем значении для вектор-функций не существует (см. ниже). Однако существует неравенство, которое можно применить ко многим из тех же ситуаций, к которым теорема о среднем значении применима в одномерном случае:

Теорема . Для непрерывной вектор-функции $\mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}$ дифференцируемый по $(a,b)$, существует число $c\in (a,b)$ такой, что

$|\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|$.

Теорема следует из теоремы о среднем значении. Действительно, возьмите $\varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)$. Затем $\varphi$ имеет действительное значение и, следовательно, по теореме о среднем значении,

$\varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)$

для некоторых $c\in (a,b)$. Сейчас, $\varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}$ и $\varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).$ Следовательно, используя неравенство Коши–Шварца из приведенного выше уравнения, получаем:

$|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).$

Если ${\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)$, теорема тривиальна (любое c работает). В противном случае, разделив обе части на $|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|$ дает теорему. $\square$

Жан Дьедонне в своем классическом трактате «Основы современного анализа» отбрасывает теорему о среднем значении и заменяет ее неравенством среднего значения (которое приведено ниже), поскольку доказательство не является конструктивным и невозможно найти среднее значение, а в приложениях нужно только неравенство среднего значения. Серж Ланг в «Анализ I» использует теорему о среднем значении в интегральной форме как мгновенный рефлекс, но такое использование требует непрерывности производной. Если использовать интеграл Хенстока-Курцвейла, можно получить теорему о среднем значении в интегральной форме без дополнительного предположения, что производная должна быть непрерывной, поскольку каждая производная интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю.

Причина, по которой не существует аналога равенства средних значений, заключается в следующем: если f : U → R ^м — дифференцируемая функция (где U ⊂ R ^н открыто) и если x + th , x , h ∈ R ^н , t [0, 1] — рассматриваемый отрезок (лежащий внутри U ), то можно применить описанную выше процедуру параметризации к каждой из компонентных функций fi _i ( ∈ = 1, …, m ) функции f (в вышеприведенный набор обозначений y = x + h ). При этом находятся точки x + t _i h, на отрезке линии удовлетворяющие условиям

$f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.$

не будет ни одной точки x + t * h, Но, как правило, на отрезке удовлетворяющей

$f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.$

для всех я одновременно . Например, определите:

${\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}$

Затем $f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}$, но $f_{1}'(x)=-\sin(x)$ и $f_{2}'(x)=\cos(x)$ никогда не являются одновременно нулевыми, поскольку $x$ колеблется в пределах $\left[0,2\pi \right]$.

Из приведенной выше теоремы следует следующее:

Неравенство средних значений — Для непрерывной функции ${\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}$, если ${\textbf {f}}$ дифференцируема по $(a,b)$, затем

$|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|$.

В действительности, приведенное выше утверждение достаточно для многих приложений и может быть непосредственно доказано следующим образом. (Мы напишем $f$ для ${\textbf {f}}$ для удобства чтения.) Сначала предположим $f$ дифференцируема в $a$ слишком. Если $f'$ неограничен на $(a,b)$, доказывать нечего. Таким образом, предположим $\sup _{(a,b)}|f'|<\infty$. Позволять $M>\sup _{(a,b)}|f'|$ быть некоторым действительным числом. Позволять

$E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.$

Мы хотим показать $1\in E$. По непрерывности $f$, набор $E$ закрыт. Оно также непусто, так как $0$ есть в нем. Следовательно, набор $E$ имеет самый большой элемент $s$. Если $s=1$, затем $1\in E$ и мы закончили. Итак, предположим иначе. Для $1>t>s$,

${\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}$

Позволять $\epsilon >0$ быть таким, что $M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|$. По дифференцируемости $f$ в $a+s(b-a)$ (примечание $s$ может быть 0), если $t$ достаточно близко к $s$, первый член $\leq \epsilon (t-s)(b-a)$. Второй термин $\leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)$. Третий термин $\leq Ms(b-a)$. Отсюда, суммируя оценки, получаем: $|f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|$, что противоречит максимальности $s$. Следовательно, $1=s\in M$ и это означает:

$|f(b)-f(a)|\leq M(b-a).$

С $M$ произвольно, отсюда следует утверждение. Наконец, если $f$ не дифференцируема при $a$, позволять $a'\in (a,b)$ и применить первый случай к $f$ ограничено $[a',b]$, давая нам:

$|f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|$

с $(a',b)\subset (a,b)$. Сдача в аренду $a'\to a$ заканчивает доказательство. $\square$

Некоторые применения неравенства среднего значения для получения основных результатов в исчислении см. также в разделе « Исчисление в евклидовом пространстве#Основные понятия» .

Определенный тип обобщения теоремы о среднем значении на вектор-функции получается следующим образом: пусть f — непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, определенная на открытом интервале I , и пусть x , а также x + h — точки I . Теорема о среднем значении для одной переменной говорит нам, что существует некоторое t * между 0 и 1 такое, что

$f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)\cdot h.$

С другой стороны, согласно фундаментальной теореме исчисления с последующей заменой переменных, мы имеем:

$f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h}f'(u)\,du=\left(\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.$

Таким образом, значение f' ( x + t * h ) в конкретной точке t * было заменено средним значением

$\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.$

Эту последнюю версию можно обобщить на векторные функции:

Предложение . Пусть U ⊂ R ^н быть открытым, f : U → R ^м непрерывно дифференцируема и x ∈ U , h ∈ R ^н векторы такие, что отрезок x + th , 0 ≤ t ≤ 1, в U. остается Тогда у нас есть:

$f(x+h)-f(x)=\left(\int _{0}^{1}Df(x+th)\,dt\right)\cdot h,$

где Df обозначает матрицу Якоби функции f , а интеграл от матрицы следует понимать покомпонентно.

Доказательство. Обозначим через f ₁ , …, f _m компоненты f и определим:

${\begin{cases}g_{i}:[0,1]\to \mathbb {R} \\g_{i}(t)=f_{i}(x+th)\end{cases}}$

Тогда у нас есть

${\begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\right)dt=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.\end{aligned}}$

Утверждение следует из того, что Df — матрица, состоящая из компонент ${\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$. $\square$

Тогда неравенство среднего значения может быть получено как следствие приведенного выше предложения (хотя в предположении, что производные непрерывны).

Случаи, когда теорему нельзя применить

Оба условия теоремы о среднем значении необходимы:

1. ${\boldsymbol {f(x)}}$ дифференцируема по ${\boldsymbol {(a,b)}}$
2. ${\boldsymbol {f(x)}}$ постоянно включен ${\boldsymbol {[a,b]}}$

Если одно из вышеуказанных условий не выполнено, теорема о среднем значении вообще недействительна и поэтому не может быть применена.

Функция дифференцируема на открытом интервале a,b

Необходимость первого условия можно увидеть на контрпримере, где функция $f(x)=|x|$ на [-1,1] не дифференцируемо.

Функция непрерывна на отрезке a,b

Необходимость второго условия можно увидеть на контрпримере, где функция $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}$

$f(x)$ удовлетворяет критерию 1, поскольку $f'(x)=0$ на $(0,1)$

Но не критерий 2, поскольку ${\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1$ и $-1\neq 0=f'(x)$ для всех $x\in (0,1)$ так что нет такого $c$ существует

Теоремы о среднем значении для определенных интегралов

Первая теорема о среднем для определенных интегралов

Геометрически: интерпретируя f(c) как высоту прямоугольника и b – a как ширину, этот прямоугольник имеет ту же площадь, что и область под кривой от a до b.

Пусть f : [ a , b ] → R — непрерывная функция. Тогда существует c в ( a , b ) такой, что

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).$

Это следует сразу из основной теоремы исчисления вместе с теоремой о среднем значении для производных. Поскольку среднее значение f на [ a , b ] определяется как

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

мы можем интерпретировать вывод, как f достигает своего среднего значения в некотором c в ( a , b ).

В общем случае, если f : [ a , b ] → R непрерывно и g — интегрируемая функция, не меняющая знак на [ a , b ], то существует c в ( a , b ) такой, что

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

есть некоторый c. Доказательство того, что в [ a , b ]

Предположим, что f : [ a , b ] → R непрерывна и g — неотрицательная интегрируемая функция на [ a , b ]. По теореме об крайних значениях существуют m и M такие, что для каждого x в [ a , b ] $m\leq f(x)\leq M$ и $f[a,b]=[m,M]$. Поскольку g неотрицательно,

$m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Теперь позвольте

$I=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Если $I=0$, мы закончили с тех пор

$0\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq 0$

означает

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0,$

поэтому для любого c в ( a , b ),

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)I=0.$

Если я ≠ 0, то

$m\leq {\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M.$

По о промежуточном значении теореме f достигает каждого значения интервала [ m , M ], поэтому для некоторого c в [ a , b ]

$f(c)={\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,$

то есть,

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Наконец, если g отрицательно на [ a , b ], то

$M\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq m\int _{a}^{b}g(x)\,dx,$

и мы все равно получаем тот же результат, что и выше.

ЯВЛЯЕТСЯ

Вторая теорема о среднем для определенных интегралов

Существуют различные несколько отличающиеся друг от друга теоремы, называемые второй теоремой о среднем значении для определенных интегралов . Распространенная версия выглядит следующим образом:

Если $G:[a,b]\to \mathbb {R}$ – положительная монотонно убывающая функция и $\varphi :[a,b]\to \mathbb {R}$ — интегрируемая функция, то существует число x из ( a , b ] такое, что

$\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.$

Здесь $G(a^{+})$ означает ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$, существование которого следует из условий. Обратите внимание, что очень важно, чтобы интервал ( a , b ] содержал b . Вариантом, не имеющим этого требования, является:

Если $G:[a,b]\to \mathbb {R}$ является монотонной (не обязательно убывающей и положительной) функцией и $\varphi :[a,b]\to \mathbb {R}$ — интегрируемая функция, то существует число x из ( a , b ) такое, что

$\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.$

Теорема о среднем значении для интегрирования не работает для векторных функций.

Если функция $G$ возвращает многомерный вектор, то MVT для интегрирования неверен, даже если область определения $G$ также является многомерным.

Например, рассмотрим следующую двумерную функцию, определенную на $n$-мерный куб:

${\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}$

Тогда по симметрии легко видеть, что среднее значение $G$ по своей области равна (0,0):

$\int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)$

Однако нет такого момента, в котором $G=(0,0)$, потому что $|G|=1$ повсюду.

Вероятностный аналог теоремы о среднем значении

Пусть X и Y — неотрицательные случайные величины такие, что E[ X ] < E[ Y ] < ∞ и $X\leq _{st}Y$ (т.е. X меньше Y в обычном стохастическом порядке ). Тогда существует абсолютно непрерывная неотрицательная случайная величина Z, имеющая функцию плотности вероятности

$f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.$

Пусть g — измеримая и дифференцируемая функция такая, что E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, и пусть ее производная g′ измерима и интегрируема по Риману на интервале [ x , y ] для всех y ≥ x ≥ 0. Тогда E[ g′ ( Z )] конечно и

${\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].$

Теорема о среднем значении в комплексных переменных

Как отмечалось выше, теорема не справедлива для дифференцируемых комплекснозначных функций. Вместо этого формулируется такое обобщение теоремы:

Пусть f : Ω → C — голоморфная функция на открытом выпуклом множестве Ω, и пусть a и b — различные точки в Ω. Тогда существуют точки u , v внутри отрезка от a до b такие, что

$\operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),$

$\operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).$

Где Re() — действительная часть, а Im() — мнимая часть комплексной функции.

См. Также: Индекс Вурхува и проблема среднего значения.

См. также

• Метод Ньюмарка-бета
• Теорема о среднем значении (разделенные разности)
• Принцип гоночной трассы
• Столарский средний

Ссылки

• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: Теория распределения и анализ Фурье , Классика математики (2-е изд.), Springer, ISBN  9783642614972

Внешние ссылки

• «Теорема Коши» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: теорема о среднем значении
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о среднем значении» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Коши о среднем значении» . Математический мир .
• «Теорема о среднем значении: интуиция, лежащая в основе теоремы о среднем значении» в Академии Хана