Условия причинности

Эта статья посвящена классификации лоренцевых многообразий по типам допускаемых ими причинных структур. Базовое описание возможных причинно-следственных связей между точками лоренцева многообразия, включая определения терминов, используемых в этой статье, см. в разделе « Каузальная структура» .

При изучении лоренцевых многообразий пространства-времени существует иерархия условий причинности , которые важны для доказательства математических теорем о глобальной структуре таких многообразий. Эти условия были собраны в конце 1970-х годов.

Чем слабее условие причинности в пространстве-времени, тем более нефизическим является пространство-время. пространство-время с замкнутыми времяподобными кривыми Например, представляет серьезные трудности для интерпретации. См. парадокс дедушки .

Разумно полагать, что любое физическое пространство-время будет удовлетворять сильнейшему условию причинности: глобальной гиперболичности . Для таких пространств-временей уравнения общей теории относительности могут быть сформулированы как начальная задача на поверхности Коши .

Иерархия

Существует иерархия условий причинности, каждое из которых строго сильнее предыдущего. Иногда ее называют причинно-следственной лестницей . Условия, от самого слабого к самому сильному, следующие:

• Не совсем порочный
• хронологический
• Причинно-следственный
• Отличительный
• Сильно причинно-следственная связь
• Стабильно причинно-следственная связь
• Причинно непрерывный
• Причинно просто
• Глобально гиперболический

Даны определения этих условий причинности для лоренцева многообразия. $(M,g)$. Если даны два или более, они эквивалентны.

Обозначение :

• $p\ll q$ обозначает хронологическое отношение .
• $p\prec q$ обозначает причинно-следственную связь .

(См. причинно-следственную структуру для определения $\,I^{+}(x)$, $\,I^{-}(x)$ и $\,J^{+}(x)$, $\,J^{-}(x)$.)

Не совсем порочный

• По некоторым пунктам $p\in M$ у нас есть $p\not \ll p$.

хронологический

• Замкнутых хронологических (времяподобных) кривых нет.
• Хронологическая связь нерефлексивна ​ : $p\not \ll p$ для всех $p\in M$.

Причинно-следственный

• Замкнутых причинных (непространственноподобных) кривых не существует.
• Если оба $p\prec q$ и $q\prec p$ затем $p=q$

Отличительный

Различение прошлого

• Две точки $p,q\in M$ которые имеют одинаковое хронологическое прошлое, являются одной и той же точкой:

$I^{-}(p)=I^{-}(q)\implies p=q$

• Эквивалентно для любой окрестности $U$ из $p\in M$ существует район $V\subset U,p\in V$ такая, что никакая непространственноподобная кривая, направленная в прошлое, из $p$ пересекает $V$ более одного раза.

Будущее, отличающее

• Две точки $p,q\in M$ которые имеют одно и то же хронологическое будущее, являются одной и той же точкой:

$I^{+}(p)=I^{+}(q)\implies p=q$

• Эквивалентно для любой окрестности $U$ из $p\in M$ существует район $V\subset U,p\in V$ такая, что никакая непространственноподобная кривая, направленная в будущее, из $p$ пересекает $V$ более одного раза.

Сильно причинно-следственная связь

• Для каждого района $U$ из $p\in M$ существует район $V\subset U,p\in V$ через которую ни одна времениподобная кривая не проходит более одного раза.
• Для каждого района $U$ из $p\in M$ существует район $V\subset U,p\in V$ которая причинно выпукла в $M$ (и, таким образом, в $U$).
• Топология Александрова согласуется с топологией многообразия.

Стабильно причинно-следственная связь

Для каждого из более слабых условий причинности, определенных выше, существует несколько многообразий, удовлетворяющих этому условию, которые можно заставить нарушить его сколь угодно малыми возмущениями метрики. Пространство-время является стабильно причинным, если оно не может содержать замкнутые причинные кривые с помощью любого возмущения, меньшего некоторой произвольной конечной величины. Стивен Хокинг показал что это эквивалентно:

• Существует глобальная функция времени на $M$. Это скалярное поле $t$ на $M$ чей градиент $\nabla ^{a}t$ повсюду времениподобно и направлено в будущее. Эта глобальная функция времени дает нам стабильный способ различать будущее и прошлое для каждой точки пространства-времени (и поэтому у нас нет причинных нарушений).

Глобально гиперболический

• $\,M$ является строго причинным , и каждое множество $J^{+}(x)\cap J^{-}(y)$ (за баллы $x,y\in M$) компактен .

Роберт Герох показал что пространство-время является глобально гиперболическим тогда и только тогда, когда существует поверхность Коши для $M$. Это означает, что:

• $M$ топологически эквивалентно $\mathbb {R} \times \!\,S$ для некоторой поверхности Коши $S.$ (Здесь $\mathbb {R}$ обозначает действительную линию ).

См. также

• Пространство-время
• Лоренцево многообразие
• Причинная структура
• Глобально гиперболическое многообразие
• Замкнутая времениподобная кривая

Ссылки

• С.В. Хокинг , СКФ Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-20016-4 .
• С.В. Хокинг , В. Исраэль (1979). Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-22285-0 .