Линдбладиан

В квантовой механике уравнение Горини -Коссаковского-Сударшана-Линдблада ( уравнение GKSL , названное в честь Витторио Горини , Анджея Коссаковского , Джорджа Сударшана и Йорана Линдблада ), главное уравнение в форме Линдблада , квантовый лиувиллиан , или Линдбладиан, является одной из общих форм Марковские основные уравнения, описывающие открытые квантовые системы. Оно обобщает уравнение Шрёдингера на открытые квантовые системы; то есть системы, находящиеся в контакте с окружающей средой. Результирующая динамика больше не является унитарной, но по-прежнему удовлетворяет свойству сохранения следов и полностью положительной для любых начальных условий.

Уравнение Шредингера , или, по сути, уравнение фон Неймана, представляет собой частный случай уравнения ГКСЛ, что привело к некоторым предположениям о том, что квантовая механика может быть продуктивно расширена и расширена за счет дальнейшего применения и анализа уравнения Линдблада. Уравнение Шредингера имеет дело с векторами состояний , которые могут описывать только чистые квантовые состояния и, таким образом, являются менее общими, чем матрицы плотности могут описывать смешанные состояния , которые также .

Мотивация

В канонической формулировке квантовой механики эволюция системы во времени управляется унитарной динамикой. Это означает, что затухание отсутствует и фазовая когерентность сохраняется на протяжении всего процесса, и является следствием того факта, что учитываются все участвующие степени свободы. Однако любая реальная физическая система не является абсолютно изолированной и будет взаимодействовать со своей средой. Это взаимодействие со степенями свободы, внешними по отношению к системе, приводит к рассеиванию энергии в окружающую среду, вызывая распад и хаотизацию фазы. Более того, понимание взаимодействия квантовой системы с ее окружением необходимо для понимания многих обычно наблюдаемых явлений, таких как спонтанное излучение света возбужденными атомами или характеристики многих квантовых технологических устройств, таких как лазер.

Были введены определенные математические методы для рассмотрения взаимодействия квантовой системы с окружающей средой. Одним из них является использование матрицы плотности и связанного с ней главного уравнения. Хотя в принципе этот подход к решению квантовой динамики эквивалентен картине Шредингера или картине Гейзенберга , он позволяет легче включать некогерентные процессы, которые представляют собой взаимодействия с окружающей средой. Оператор плотности обладает тем свойством, что он может представлять классическую смесь квантовых состояний и поэтому жизненно важен для точного описания динамики так называемых открытых квантовых систем.

Определение

Главное уравнение Линдблада для матрицы плотности системы ρ можно записать как (для педагогического введения вы можете обратиться к )

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$

где $\{a,b\}=ab+ba$ это антикоммутатор , $H$ - гамильтониан системы, описывающий унитарные аспекты динамики, и $L_{i}$ представляют собой набор операторов скачка, описывающих диссипативную часть динамики. Форма операторов скачка описывает, как среда действует на систему, и в конечном итоге должна определяться на основе микроскопических моделей динамики системы и среды. Окончательно, $\gamma _{i}\geq 0$ представляют собой набор неотрицательных коэффициентов, называемых коэффициентами затухания. Если все $\gamma _{i}=0$ восстанавливается уравнение фон Неймана ${\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]$ описывающую унитарную динамику, которая является квантовым аналогом классического уравнения Лиувилля .

В более общем смысле уравнение GKSL имеет вид

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)$

где $\{A_{m}\}$ — произвольные операторы, h — положительно-полуопределенная матрица. Последнее является строгим требованием для обеспечения сохранения следов и полностью положительной динамики. Количество $A_{m}$ операторы произвольны и не обязаны удовлетворять каким-либо специальным свойствам. Но если система $N$-мерно, это можно показать что главное уравнение может быть полностью описано набором $N^{2}-1$ операторы при условии, что они составляют основу пространства операторов.

Поскольку матрица h положительно полуопределена, ее можно диагонализовать с помощью унитарного преобразования u :

$u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}$

где собственные значения γ _i неотрицательны. Если мы определим другой ортонормированный операторный базис

$L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}$

Это приводит основное уравнение к той же форме, что и раньше:

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$

Квантовая динамическая полугруппа

Основная статья: Квантовая марковская полугруппа

Карты, созданные Линдбладианцем в разное время, вместе называются квантовой динамической полугруппой — семейством квантовых динамических карт. $\phi _{t}$ на пространстве матриц плотности, индексированных одним параметром времени $t\geq 0$ которые подчиняются полугруппы свойству

$\phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.$

Уравнение Линдблада можно получить с помощью

${\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}$

что, в силу линейности $\phi _{t}$, является линейным супероператором. Полугруппу можно восстановить как

$\phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).$

Свойства инвариантности

Уравнение Линдблада инвариантно относительно любого унитарного преобразования v операторов и констант Линдблада:

${\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},$

а также при неоднородном преобразовании

$L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,$

$H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,$

где ai _— комплексные числа, а b — действительное число. Однако первое преобразование разрушает ортонормированность операторов Li _i (если только все γ _{не равны )} , а второе преобразование разрушает бесследность. Следовательно, с точностью до вырождений среди γ _i , Li _. диагональной формы уравнения Линдблада однозначно определяются динамикой, пока мы требуем, чтобы они были ортонормированными и бесследовыми

картина Гейзенберга

Эволюцию матрицы плотности по типу Линдблада в картине Шредингера можно эквивалентно описать в картине Гейзенберга. используя следующее (диагонализированное) уравнение движения для каждой квантовой наблюдаемой X :

${\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).$

Аналогичное уравнение описывает эволюцию во времени средних значений наблюдаемых, заданную теоремой Эренфеста . В соответствии со свойством сохранения следа уравнения Линдблада изображения Шредингера, уравнение изображения Гейзенберга является унитальным , т. е. оно сохраняет тождественный оператор.

Физическое происхождение

Главное уравнение Линдблада описывает эволюцию различных типов открытых квантовых систем, например, системы, слабо связанной с марковским резервуаром. Обратите внимание, что H, появляющийся в уравнении, не обязательно равен гамильтониану голой системы, но может также включать в себя эффективную унитарную динамику, возникающую в результате взаимодействия системы и окружающей среды.

Эвристический вывод, например , в заметках Прескилла , начинается с более общей формы открытой квантовой системы и преобразует ее в форму Линдблада, делая марковское предположение и расширяя ее за малое время. Более физически мотивированное стандартное лечение охватывает три распространенных типа вывода Линдбладиана, начиная с гамильтониана, действующего как на систему, так и на окружающую среду: предел слабой связи (подробно описанный ниже), приближение низкой плотности и предел сингулярной связи. Каждый из них основан на конкретных физических предположениях, касающихся, например, корреляционных функций окружающей среды. Например, при выводе предела слабой связи обычно предполагается, что (а) корреляции системы с окружающей средой развиваются медленно, (б) возбуждения среды, вызванные быстрым затуханием системы, и (в) члены, которые являются быстро осциллирующими. при сравнении интересующему системному времени можно пренебречь. Эти три приближения называются Борновскими. Маркова и вращающаяся волна соответственно.

Вывод предела слабой связи предполагает, что квантовая система с конечным числом степеней свободы соединена с ванной, содержащей бесконечное число степеней свободы. И система, и ванна обладают гамильтонианом, записанным в терминах операторов, действующих только на соответствующем подпространстве полного гильбертова пространства. Эти гамильтонианы управляют внутренней динамикой несвязанной системы и ванны. Существует третий гамильтониан, который содержит произведения операторов системы и ванны, таким образом связывая систему и ванну. Наиболее общая форма этого гамильтониана:

$H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,$

Динамику всей системы можно описать уравнением движения Лиувилля: ${\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]$. Это уравнение, содержащее бесконечное число степеней свободы, невозможно решить аналитически, за исключением очень частных случаев. Более того, при определенных приближениях нет необходимости учитывать степени свободы ванны, и эффективное основное уравнение может быть получено на основе матрицы плотности системы: $\rho =\operatorname {tr} _{B}\chi$. Проблему можно легче проанализировать, перейдя к картине взаимодействия, определяемой унитарным преобразованием ${\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }$, где $M$ — произвольный оператор, и $U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}$. Также обратите внимание, что $U(t,t_{0})$является полным унитарным оператором всей системы. Несложно подтвердить, что уравнение Лиувилля принимает вид

${\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,$

где гамильтониан ${\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}$ явно зависит от времени. Кроме того, согласно картинке взаимодействия, ${\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})$, где $U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})$. Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно, чтобы получить

${\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]$

Это неявное уравнение для ${\tilde {\chi }}$ можно подставить обратно в уравнение Лиувилля, чтобы получить точное дифференциально-интегральное уравнение

${\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]$

Продолжим вывод, полагая, что взаимодействие инициируется в точке $t=0$, и в это время корреляции между системой и ванной нет. Это означает, что начальное условие факторизуется как $\chi (0)=\rho (0)R_{0}$, где $R_{0}$ изначально является оператором плотности ванны.

Прослеживая над ванной степени свободы, $\operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}$, вышеупомянутого дифференциально-интегрального уравнения дает

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}$

Это уравнение является точным для временной динамики матрицы плотности системы, но требует полного знания динамики степеней свободы ванны. Упрощающее предположение, называемое приближением Борна, основано на размерах ванны и относительной слабости связи, то есть связь системы с ванной не должна существенно изменять собственные состояния ванны. В этом случае матрица полной плотности факторизуется для всех времен как ${\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}$. Основное уравнение становится

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}$

Уравнение теперь является явным для системы степеней свободы, но его очень сложно решить. Последним предположением является приближение Борна-Маркова о том, что производная по времени матрицы плотности зависит только от ее текущего состояния, а не от ее прошлого. Это предположение справедливо при быстрой динамике ванны, когда корреляции внутри ванны теряются чрезвычайно быстро и сводятся к замене $\rho (t')\rightarrow \rho (t)$ в правой части уравнения.

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}$

Если предположить, что гамильтониан взаимодействия имеет вид

$H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}$

для системных операторов $\alpha _{i}$ и банщики $\Gamma _{i}$ затем ${\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}$. Основное уравнение становится

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}$

который можно расширить как

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]$

Ожидаемые значения $\langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}$ относятся к степеням свободы ванны. Предполагая быстрое затухание этих корреляций (в идеале $\langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')$), достигается указанная выше форма супероператора Линдблада L.

Примеры

За одного оператора прыжка $F$ Линдблада и никакой унитарной эволюции, супероператор , действующий на матрицу плотности $\rho$, является

${\mathcal {D}}[F](\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)$

Такой член регулярно встречается в уравнении Линдблада, используемом в квантовой оптике , где он может выражать поглощение или излучение фотонов из резервуара. Если кто-то хочет иметь и поглощение, и излучение, для каждого из них понадобится оператор перехода. Это приводит к наиболее распространенному уравнению Линдблада, описывающему затухание квантового гармонического осциллятора (представляющего, например, полость Фабри-Перо ), связанного с тепловой ванной , с операторами скачка

${\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}$

Здесь ${\overline {n}}$ – среднее число возбуждений в резервуаре, демпфирующих осциллятор, а γ – скорость затухания. Если мы также добавим дополнительную унитарную эволюцию, порождаемую гамильтонианом квантового гармонического осциллятора с частотой $\omega _{c}$, мы получаем

${\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).$

Дополнительные операторы Линдблада могут быть включены для моделирования различных форм дефазировки и вибрационной релаксации. Эти методы были включены в методы распространения матрицы плотности на основе сетки .

См. также

• Квантовое главное уравнение
• Уравнение Редфилда
• Открытая квантовая система
• Метод квантового скачка

Ссылки

• Хрушинский, Дариуш; Паскацио, Саверио (2017). «Краткая история уравнения ГКЛС». Открытые системы и информационная динамика . 24 (3). arXiv : 1710.05993 . Бибкод : 2017OSID...2440001C . дои : 10.1142/S1230161217400017 . S2CID   90357 .
• Косаковский, А. (1972). «О квантовой статистической механике негамильтоновых систем». Представитель Матем. Физ . 3 (4): 247. Бибкод : 1972РпМП....3..247К . дои : 10.1016/0034-4877(72)90010-9 .
• Белавин А.А.; Зельдович, Б. Я.; Переломов А.М.; Попов, В.С. (1969). «Релаксация квантовых систем с эквидистантными спектрами» . ЖЭТФ . 29 : 145. Бибкод : 1969ЖЭТП...29..145Б .
• Линдблад, Г. (1976). «О генераторах квантовых динамических полугрупп» . Коммун. Математика. Физ . 48 (2): 119. Бибкод : 1976CMaPh..48..119L . дои : 10.1007/BF01608499 . S2CID   55220796 .
• Горини, В.; Косаковский А.; Сударшан, ЭКГ (1976). «Вполне положительные динамические полугруппы систем N-уровня». Дж. Математика. Физ . 17 (5): 821. Бибкод : 1976JMP....17..821G . дои : 10.1063/1.522979 .
• Бэнкс, Т.; Сасскинд, Л.; Пескин, Мэн (1984). «Трудности перехода чистых состояний в смешанные». Ядерная физика Б . 244 (1): 125–134. Бибкод : 1984НуФБ.244..125Б . дои : 10.1016/0550-3213(84)90184-6 . ОСТИ   1447054 .
• Аккарди, Луиджи; Лу, Юн Ган; Волович, ИВ (2002). Квантовая теория и ее стохастический предел . Нью-Йорк: Издательство Springer. ISBN  978-3-5404-1928-0 .
• Алики, Роберт (2002). «Приглашение к квантовым динамическим полугруппам». Динамика диссипации . Конспект лекций по физике. 597 : 239. arXiv : quant-ph/0205188 . Бибкод : 2002LNP...597..239A . дои : 10.1007/3-540-46122-1_10 . ISBN  978-3-540-44111-3 . S2CID   118089738 .
• Алики, Роберт; Ленди, Карл (1987). Квантовые динамические полугруппы и их приложения . Берлин: Springer Verlag. ISBN  978-0-3871-8276-6 .
• Атталь, Стефан; Джой, Ален; Пийе, Клод-Ален (2006). Открытые квантовые системы II: Марковский подход . Спрингер. ISBN  978-3-5403-0992-5 .
• Гардинер, CW; Золлер, Питер (2010). Квантовый шум . Серия Спрингера по синергетике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN  978-3-642-06094-6 .
• Ингарден, Роман С.; Косаковский А.; Ойя, М. (1997). Информационная динамика и открытые системы: классический и квантовый подход . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  978-0-7923-4473-5 .

• Тарасов, Василий Евгеньевич (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем . Амстердам, Бостон, Лондон, Нью-Йорк: Elsevier Science. ISBN  978-0-0805-5971-1 .
• Перл, П. (2012). «Простой вывод уравнения Линдблада». Европейский журнал физики , 33 (4), 805.

Внешние ссылки

• Набор инструментов квантовой оптики для Matlab
• mcsolve Quantum jump (монте-карло) решатель от QuTiP.
• QuantumOptics.jl — набор инструментов для квантовой оптики в Julia.
• Главное уравнение Линдблада