Вычислительная анатомия

Компьютерная анатомия — междисциплинарная область биологии, ориентированная на количественное исследование и моделирование изменчивости анатомических форм. Он предполагает разработку и применение математических, статистических и аналитических методов моделирования и моделирования биологических структур.

Эта область имеет широкое определение и включает в себя основы анатомии , прикладной математики и чистой математики , машинного обучения , вычислительной механики , вычислительной науки , биологической визуализации , нейробиологии , физики , теории вероятностей и статистики ; она также имеет тесную связь с механикой жидкости и геометрической механикой . Кроме того, он дополняет новые междисциплинарные области, такие как биоинформатика и нейроинформатика, в том смысле, что его интерпретация использует метаданные, полученные из исходных методов сенсорной визуализации (одним из примеров которых является магнитно-резонансная томография ). Основное внимание уделяется визуализируемым анатомическим структурам, а не медицинским устройствам визуализации. По духу это похоже на историю компьютерной лингвистики , дисциплины, которая фокусируется на лингвистических структурах, а не на сенсоре, действующем как средство передачи и коммуникации.

В вычислительной анатомии группа диффеоморфизмов используется для изучения различных систем координат посредством преобразований координат , генерируемых лагранжевой и эйлеровой скоростями потока в ${\mathbb {R} }^{3}$. Потоки между координатами в вычислительной анатомии ограничены геодезическими потоками, удовлетворяющими принципу наименьшего действия для кинетической энергии потока . Кинетическая энергия определяется через норму гладкости Соболева со строго более чем двумя обобщенными, интегрируемыми с квадратом производными для каждой компоненты скорости потока, что гарантирует, что потоки в $\mathbb {R} ^{3}$ являются диффеоморфизмами. Это также означает, что импульс диффеоморфной формы, взятый поточечно и удовлетворяющий уравнению Эйлера–Лагранжа для геодезических, определяется его соседями через пространственные производные по полю скорости. Это отличает эту дисциплину от случая несжимаемых жидкостей. для которого импульс является точечной функцией скорости. Вычислительная анатомия пересекается с изучением римановых многообразий и нелинейным глобальным анализом , где в центре внимания находятся группы диффеоморфизмов. Новые многомерные теории формы занимают центральное место во многих исследованиях в области вычислительной анатомии, как и вопросы, возникающие в молодой области статистики форм . Метрические структуры в вычислительной анатомии по духу связаны с морфометрикой , с той разницей, что вычислительная анатомия фокусируется на бесконечномерном пространстве систем координат , преобразованных диффеоморфизмом , отсюда и центральное использование терминологии диффеоморфометрия , исследование метрического пространства систем координат. через диффеоморфизмы.

Бытие

В основе компьютерной анатомии лежит сравнение форм путем распознавания в одной форме другой. Это связывает его с Д'Арси Вентворта Томпсона « разработками О росте и форме» , которые привели к научному объяснению морфогенеза , процесса, посредством которого закономерности формируются в биологии . Альбрехта Дюрера о пропорциях человека были, возможно, самыми ранними работами по вычислительной анатомии. Четыре книги Усилия Ноама Хомского в области его новаторства в области компьютерной лингвистики вдохновили оригинальную формулировку компьютерной анатомии как генеративной модели формы и формы, основанной на образцах, на которые воздействуют посредством преобразований.

Благодаря доступности плотных трехмерных измерений с помощью таких технологий, как магнитно-резонансная томография (МРТ), компьютерная анатомия превратилась в область медицинской визуализации и биоинженерии для извлечения анатомических систем координат в масштабе морфома в трехмерном пространстве. Дух этой дисциплины во многом пересекается с такими областями, как компьютерное зрение и кинематика , твердых тел где объекты изучаются путем анализа групп, ответственных за рассматриваемое движение. Вычислительная анатомия отличается от компьютерного зрения, уделяя особое внимание жестким движениям, поскольку группа бесконечномерных диффеоморфизмов занимает центральное место в анализе биологических форм. Это филиал школы анализа изображений и теории закономерностей Университета Брауна. пионером был Ульф Гренандер . Гренандера В общей теории метрических паттернов преобразование пространств паттернов в метрическое пространство является одной из фундаментальных операций, поскольку для кластеризации и распознавания анатомических конфигураций часто требуется метрика близких и далеких форм. Диффеоморфометрическая метрика Компьютерная анатомия измеряет, насколько далеки друг от друга два диффеоморфных изменения координат, что, в свою очередь, вызывает метрику форм и изображений, индексированных к ним. Модели метрической теории шаблонов, в частности, групповое действие на орбите фигур и форм является центральным инструментом формальных определений в вычислительной анатомии.

История

Вычислительная анатомия — это изучение формы и формы на уровне морфома или общей анатомии миллиметре или морфологическом масштабе, с упором на изучение подмногообразий в ${\mathbb {R} }^{3},$ точки, кривые поверхности и субобъемы анатомии человека. Ранним современным компьютерным нейроанатомом был Дэвид Ван Эссен. выполнение некоторых из ранних физических развертываний человеческого мозга на основе печати и резки человеческой коры. Жаном Талайрачом Публикация координат Талайраха является важной вехой на уровне морфомов, демонстрируя фундаментальную основу локальных систем координат в изучении нейроанатомии и, следовательно, четкую связь с диаграммами дифференциальной геометрии . В то же время виртуальное картирование в вычислительной анатомии с использованием плотных координат изображения с высоким разрешением уже происходило в работе Рузены Байцы. и Фреда Букштейна самые ранние разработки основаны на компьютерной аксиальной томографии и магнитно-резонансной томографии . Самое раннее использование потоков диффеоморфизмов для преобразования систем координат при анализе изображений и медицинских визуализациях было сделано Кристенсеном, Джоши, Миллером и Рэббиттом.

Первая формализация вычислительной анатомии как орбиты образцовых шаблонов при диффеоморфизмов действии группы была в оригинальной лекции, прочитанной Гренандером и Миллером с таким названием в мае 1997 года на 50-летии отделения прикладной математики в Университете Брауна. и последующая публикация. Это послужило основой для сильного отхода от большей части предыдущих работ по передовым методам пространственной нормализации и регистрации изображений , которые исторически были построены на понятиях сложения и расширения базы. Преобразования, сохраняющие структуру, центральные для современной области вычислительной анатомии, гомеоморфизмы и диффеоморфизмы плавно переносят гладкие подмногообразия. Они порождаются лагранжевыми и эйлеровыми потоками , которые удовлетворяют закону композиции функций, образующих групповое свойство, но не являются аддитивными.

Исходная модель компьютерной анатомии представляла собой тройку, $({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,$ группа $g\in {\mathcal {G}}$, орбита фигур и форм $m\in {\mathcal {M}}$и законы вероятности $P$ которые кодируют изменения объектов на орбите. Шаблон или коллекция шаблонов — это элементы на орбите. $m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}$ форм.

Лагранжевы и гамильтоновы формулировки уравнений движения вычислительной анатомии появились после 1997 года на нескольких важных встречах, включая встречу Luminy 1997 года. организованный Азенкоттом школа в Ecole-Normale Cachan по «Математике распознавания форм» и триместр 1998 года в Институте Анри Пуанкаре, организованный Дэвидом Мамфордом «Математические вопросы в области сигналов и изображений», которые послужили катализатором групп Хопкинса-Брауна-ENS Cachan и последующие разработки и связи вычислительной анатомии с разработками в области глобального анализа.

Развитие вычислительной анатомии включало установление условий гладкости Соболева на метрике диффеоморфометрии для обеспечения существования решений вариационных задач в пространстве диффеоморфизмов. вывод уравнений Эйлера – Лагранжа, характеризующих геодезические через группу и связанные с ней законы сохранения, демонстрация метрических свойств правоинвариантной метрики, демонстрация того, что уравнения Эйлера – Лагранжа имеют корректную начальную задачу с единственными решениями для всех времен, и с первыми результатами о секционных кривизнах метрики диффеоморфометрии в отмеченных пространствах. После встречи в Лос-Аламосе в 2002 г. Джоши решения большой деформации оригинальные сингулярные в вычислительной анатомии были связаны с остроконечными солитонами или пиконами. как решения уравнения Камассы–Холма . Впоследствии были установлены связи между уравнениями Эйлера – Лагранжа вычислительной анатомии для плотностей импульса для правоинвариантной метрики, удовлетворяющей гладкости Соболева, с уравнениями Владимира Арнольда. характеризация уравнения Эйлера для несжимаемых потоков как описания геодезических в группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем. Первые алгоритмы, обычно называемые LDDMM, для диффеоморфного отображения большой деформации для вычисления связей между ориентирами в объемах. и сферические многообразия, кривые, течения и поверхности, объемы, тензоры, варифолды, и временные ряды последовали.

Этот вклад вычислительной анатомии в глобальный анализ, связанный с бесконечномерными многообразиями подгрупп группы диффеоморфизмов, далеко не тривиален. Первоначальная идея создания дифференциальной геометрии, кривизны и геодезических на бесконечномерных многообразиях восходит к книге Бернхарда Римана « Габилитация» (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grundeliegen). ); Ключевая современная книга, закладывающая основы таких идей в глобальном анализе, принадлежит Михору.

Приложения в области медицинской визуализации компьютерной анатомии продолжали процветать после двух организованных встреч в Института теоретической и прикладной математики. конференциях в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе . Компьютерная анатомия оказалась полезной для создания точных моделей атрофии человеческого мозга в масштабе морфома, а также сердечных шаблонов. а также при моделировании биологических систем. С конца 1990-х годов компьютерная анатомия стала важной частью разработки новых технологий в области медицинской визуализации. Цифровые атласы являются фундаментальной частью современного медицинского образования. и в исследованиях нейровизуализации на уровне морфомов. Методы на основе атласа и виртуальные учебники которые допускают вариации, например, деформируемые шаблоны, находятся в центре многих платформ анализа нейроизображений, включая Freesurfer, ФСЛ, МРИСтудио, СПМ. Диффеоморфная регистрация, представленный в 1990-х годах, в настоящее время является важным игроком с существующими базами кодов, организованными вокруг ANTS, ДАРТЕЛЛ, ДЕМОНЫ, ЛДДММ, СтационарныйЛДДММ, ФастЛДДММ, являются примерами активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе разреженных признаков и плотных изображений. Морфометрия на основе вокселей — важная технология, основанная на многих из этих принципов.

Деформируемая модель орбиты шаблона вычислительной анатомии

Модель анатомии человека представляет собой деформируемый шаблон, орбиту экземпляров под групповым действием. Деформируемые модели шаблонов занимают центральное место в теории метрических шаблонов Гренандера, учитывая типичность с помощью шаблонов и учитывая изменчивость посредством трансформации шаблона. Орбита под действием группы как представление деформируемого шаблона — это классическая формулировка дифференциальной геометрии. Пространство фигур обозначается $m\in {\mathcal {M}}$, с группой $({\mathcal {G}},\circ )$ с законом композиции $\circ$; действие группы на фигуры обозначается $g\cdot m$, где действие группы $g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}$ определяется для удовлетворения

$(g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.$

Орбита ${\mathcal {M}}$ шаблона становится пространством всех форм, ${\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}$, будучи однородным под действием элементов ${\mathcal {G}}$.

На рисунке изображены три медиальные структуры височной доли: миндалевидное тело, энторинальная кора и гиппокамп с изображенными реперными ориентирами, которые также встроены в фон МРТ.

Орбитальная модель вычислительной анатомии представляет собой абстрактную алгебру, которую можно сравнить с линейной алгеброй , поскольку группы действуют на формы нелинейно. Это обобщение классических моделей линейной алгебры, в которых множество конечномерных ${\mathbb {R} }^{n}$ векторы заменяются конечномерными анатомическими подмногообразиями (точками, кривыми, поверхностями и объемами) и их изображениями, а $n\times n$ матрицы линейной алгебры заменяются преобразованиями координат, основанными на линейных и аффинных группах и более общих многомерных группах диффеоморфизмов.

Формы и формы

Центральными объектами являются фигуры или формы в вычислительной анатомии, одним из примеров являются 0,1,2,3-мерные подмногообразия ${\mathbb {R} }^{3}$второй набор примеров представляет собой изображения, полученные с помощью медицинской визуализации , например, с помощью магнитно-резонансной томографии (МРТ) и функциональной магнитно-резонансной томографии .

Треугольные сетчатые поверхности, изображающие подкорковые структуры миндалины, гиппокампа, таламуса, хвостатого ядра, скорлупы, желудочков. Формы обозначены $m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ представлены в виде триангулированных сеток.

0-мерные многообразия являются ориентирами или контрольными точками; Одномерные многообразия представляют собой кривые, такие как извилистые и извилистые кривые в мозге; Двумерные многообразия соответствуют границам подструктур в анатомии, таких как подкорковые структуры среднего мозга или извилистая поверхность неокортекса ; субобъемы соответствуют субобластям человеческого тела: сердцу , таламусу , почкам.

Достопримечательности $X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}$ представляют собой набор точек без какой-либо другой структуры, очерчивающих важные ориентиры в форме и форме человека (см. Соответствующее изображение с ориентиром). Формы подмногообразия, такие как поверхности $X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}$ представляют собой наборы точек, смоделированные как параметризованные с помощью локальной карты или погружения. $m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}$, $m(u),u\in U$ (см. рисунок, показывающий фигуры в виде сетчатых поверхностей). Изображения, такие как изображения MR или изображения DTI. $I\in {\mathcal {M}}$, и являются плотными функциями $I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}$ являются скалярами, векторами и матрицами (см. рисунок, показывающий скалярное изображение).

Группы и групповые действия

Дополнительная информация: Групповые действия в вычислительной анатомии.

Показ среза МРТ трехмерного мозга, представляющего скалярное изображение. $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}$ на основе Т1-взвешивания.

Группы и групповые действия знакомы инженерному сообществу благодаря всеобщей популяризации и стандартизации линейной алгебры как базовой модели анализа сигналов и систем в машиностроении , электротехнике и прикладной математике . В линейной алгебре группы матриц (матрицы с обратными) являются центральной структурой, действие которой определяется обычным определением $A$ как $n\times n$ матрица, действующая на $x\in {\mathbb {R} }^{n}$ как $n\times 1$ векторы; орбита в линейной алгебре - это множество $n$-векторы, заданные $y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}$, что является групповым действием матриц через орбиту ${\mathbb {R} }^{n}$.

Центральная группа в вычислительной анатомии, определяемая объемами в ${\mathbb {R} }^{3}$ являются диффеоморфизмами ${\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff}$ которые являются отображениями с 3-компонентами $\varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))$, закон композиции функций $\varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))$, с обратным $\varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}$.

Наиболее популярны скалярные изображения, $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$, с действием справа через обратное.

$\varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.$

Для подраспределителей $X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}$, параметризованный диаграммой или погружением $m(u),u\in U$, диффеоморфное действие поток позиции

$\varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.$

несколько групповых действий в вычислительной анатомии . Определены

Лагранжевы и эйлеровы потоки для генерации диффеоморфизмов

При изучении твердого тела кинематики низкоразмерные матричные группы Ли в центре внимания были . Группы матриц представляют собой маломерные отображения, которые представляют собой диффеоморфизмы, обеспечивающие взаимно-однозначные соответствия между системами координат с гладким обратным. Матричная группа вращений и масштабов может быть сгенерирована с помощью конечномерных матриц замкнутой формы, которые являются решением простых обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями, определяемыми матричной экспонентой.

Для изучения деформируемой формы в вычислительной анатомии была выбрана более общая группа диффеоморфизмов, которая является бесконечномерным аналогом. Многомерные группы диффеоморфизмов, используемые в вычислительной анатомии, генерируются с помощью гладких потоков. $\varphi _{t},t\in [0,1]$ которые удовлетворяют лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потока, впервые введенной в: удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению:

Показ лагранжева потока координат $x\in X$ со связанными векторными полями $v_{t},t\in [0,1]$ удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),\varphi _{0}={\rm {id}}$.

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}}\ ;$ ( Лагранжев поток )

с $v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})$ векторные поля на ${\mathbb {R} }^{3}$ называется эйлеровой скоростью частиц в положении $\varphi$ потока. Векторные поля представляют собой функции в функциональном пространстве, моделируемом как гладкое гильбертово пространство высокой размерности с якобианом потока. $\ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)$ также многомерное поле в функциональном пространстве, а не низкоразмерная матрица, как в группах матриц. Потоки были впервые введены при больших деформациях при сопоставлении изображений; ${\dot {\varphi }}_{t}(x)$ - мгновенная скорость частицы $x$ во время $t$ .

Обратное $\varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]$ необходимое для группы определено на эйлеровом векторном поле с адвективным обратным потоком

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}={\rm {id}}\ .$ ( обратный транспортный поток )

Группа диффеоморфизмов вычислительной анатомии

Группа диффеоморфизмов очень велика. Чтобы обеспечить гладкие потоки диффеоморфизмов, избегающие ударных решений для обратного, векторные поля должны быть как минимум 1-кратно непрерывно дифференцируемы в пространстве. Для диффеоморфизмов на ${\mathbb {R} }^{3}$векторные поля моделируются как элементы гильбертова пространства. $(V,\|\cdot \|_{V})$ используя теоремы вложения Соболева так, чтобы каждый элемент имел строго больше двух обобщенных пространственных производных, интегрируемых с квадратом (таким образом, $v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,$ достаточно), что дает 1-кратно непрерывно дифференцируемые функции.

Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в соболевской норме:

$\operatorname {Diff} _{V}\doteq \left\{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \right\}\ ,$ ( группа диффеоморфизмов )

где $\|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,$ с линейным оператором $A$ отображение в двойственное пространство $A:V\mapsto V^{*}$, причем интеграл вычисляется интегрированием по частям при $Av\in V^{*}$ является обобщенной функцией в дуальном пространстве.

показывать

Соболевская гладкость и воспроизводящее ядро ​​Гильбертово пространство с ядром Грина

The Sobolev smoothness condition on vector fields as modeled in a reproducing kernel Hilbert space

The modelling approach used in computational anatomy enforces a continuous differentiability condition on the vector fields by modelling the space of vector fields $(V,\|\cdot \|_{V})$ as a reproducing kernel Hilbert space (RKHS), with the norm defined by a 1-1, differential operator$A:V\rightarrow V^{*}$, Green's inverse $K=A^{-1}$. The norm of the Hilbert space is induced by the differential operator. For $\sigma (v)\doteq Av\in V^{*}$ a generalized function or distribution, define the linear form as $(\sigma |w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)$. This determines the norm on $(V,\|\cdot \|_{V})$ according to

$\langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .$

Since $A$ is a differential operator, finiteness of the norm-square $(Av|v)<\infty$ includes derivatives from the differential operator implying smoothness of the vector fields.The Sobolev embedding theorem arguments were made in demonstrating that 1-continuous derivative is required for smooth flows. For proper choice of $A$ then $(V,\|\cdot \|_{V})$ is an RKHS with the operator $K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V$ termed the Green's operator generated from the Green's function (scalar case) for the vector field case. The Green's kernels associated to the differential operator smooths since the kernel $k(\cdot ,\cdot )$ is continuously differentiable in both variables implying

$K\sigma (x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)\sigma _{j}(dy)$

When $\sigma \doteq \mu \,dx$, a vector density, $(\sigma \mid v)\doteq \int v\cdot \mu \,dx.$

Диффеоморфометрия: метрическое пространство форм и форм.

Дополнительная информация: Диффеоморфометрия.

Изучение метрик на группах диффеоморфизмов и изучение метрик между многообразиями и поверхностями было областью значительных исследований. Метрика диффеоморфометрии измеряет, насколько близки и далеки две формы или изображения друг от друга; метрическая длина — это кратчайшая длина потока, переносящего одну систему координат в другую.

Часто знакомая евклидова метрика неприменима напрямую, поскольку закономерности форм и изображений не образуют векторного пространства. В модели римановой орбиты вычислительной анатомии диффеоморфизмы, действующие на формы $\varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}$ не действуйте линейно. Есть много способов определения метрик, и для множеств, связанных с фигурами, еще одним является метрика Хаусдорфа . Метод, который мы используем для индуцирования римановой метрики, используется для индуцирования метрики на орбите фигур путем определения ее через длину метрики между преобразованиями диффеоморфной системы координат потоков. Измерение длин геодезического потока между системами координат на орбите фигур называется диффеоморфометрией .

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах

Определим расстояние на группе диффеоморфизмов

$d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left(\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt:\varphi _{0}=\psi ,\varphi _{1}=\varphi ,{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}\right)^{1/2}\ ;$ ( метрические диффеоморфизмы )

это правоинвариантная метрика диффеоморфометрии, инвариантен к перепараметризации пространства, поскольку для всех $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$,

$d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi )$.

Метрика форм и форм

Дистанция на формах и формах, $d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$,

$d_{\mathcal {M}}(m,n)=\inf \left\{d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi ):\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},\,\varphi \cdot m=n\right\}$ ( метрические формы-формы )

изображения обозначаются орбитой как $I\in {\mathcal {I}}$ и метрика $,d_{\mathcal {I}}$.

Интеграл действия принципа Гамильтона на диффеоморфных потоках

В классической механике эволюция физических систем описывается решениями уравнений Эйлера-Лагранжа, связанных с наименьшего действия Гамильтона принципом . Это стандартный путь, например получения Ньютона законов движения свободных частиц . В более общем смысле уравнения Эйлера-Лагранжа можно вывести для систем обобщенных координат . Уравнение Эйлера-Лагранжа в вычислительной анатомии описывает потоки геодезических кратчайших путей между системами координат метрики диффеоморфизма. В вычислительной анатомии обобщенными координатами являются поток диффеоморфизма и его лагранжева скорость. $\varphi ,{\dot {\varphi }}$, эти две связаны через эйлерову скорость $v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}$. Принцип Гамильтона для создания уравнения Эйлера – Лагранжа требует интеграла действия на лагранжиан, определяемого формулой

$J(\varphi )\doteq \int _{0}^{1}L(\varphi _{t},{\dot {\varphi }}_{t})\,dt\ ;$ ( Гамильтониан-интегрированный-лагранжиан )

лагранжиан определяется кинетической энергией:

$L(\varphi _{t},{\dot {\varphi }}_{t})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}A({\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})\cdot ({\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\ dx\ .$ ( Лагранжева кинетическая энергия )

Импульс диффеоморфной или эйлеровой формы

В вычислительной анатомии $Av$ впервые был назван эйлеровым или диффеоморфным импульсом формы. поскольку при интегрировании против эйлеровой скорости $v$ дает плотность энергии, и поскольку имеет место сохранение импульса диффеоморфной формы . Оператор $A$ — обобщенный момент инерции или оператор инерции.

Уравнение Эйлера–Лагранжа о форм-импульсе геодезических на группе диффеоморфизмов

Дополнительная информация: Риманова метрика и скобки Ли в вычислительной анатомии.

Классический расчет уравнения Эйлера-Лагранжа из принципа Гамильтона требует возмущения лагранжиана векторного поля кинетической энергии по отношению к возмущению потока первого порядка. Это требует корректировки с помощью скобки Ли векторного поля , заданной оператором $ad_{v}:w\in V\mapsto V$ который включает в себя якобиан, заданный формулой

$ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V$.

Определение сопряженного $ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},$ тогда изменение первого порядка дает импульс эйлеровой формы $Av\in V^{*}$ удовлетворяющее обобщенному уравнению:

${\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ;$ ( EL-общий )

значит все гладко $w\in V,$

$\int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.$

Вычислительная анатомия - это изучение движения подмногообразий, точек, кривых, поверхностей и объемов. Импульс, связанный с точками, кривыми и поверхностями, является сингулярным, что означает, что импульс сосредоточен на подмножествах ${\mathbb {R} }^{3}$ которые являются размерами $\leq 2$ по мере Лебега . В таких случаях энергия все еще четко определена. $(Av_{t}\mid v_{t})$ поскольку, хотя $Av_{t}$ является обобщенной функцией, векторные поля гладкие, а эйлеров импульс понимается через его действие на гладкие функции. Прекрасной иллюстрацией этого является то, что даже когда это суперпозиция дельта-дираков, скорость координат во всем объеме изменяется плавно. Уравнение Эйлера–Лагранжа ( EL-общее ) о диффеоморфизмах обобщенных функций $Av\in V^{*}$ был выведен в. В римановой метрике и скобках Ли интерпретация уравнения Эйлера–Лагранжа для геодезических выражений дается в терминах сопряженного оператора и скобки Ли для группы диффеоморфизмов. Его стали называть уравнением EPDiff для диффеоморфизмов, связанных с методом Эйлера-Пуанкаре, которое изучалось в контексте оператора инерции. $A=identity$ для несжимаемых, бездивергентных жидкостей.

Импульс диффеоморфной формы: классическая вектор-функция

Для случая плотности импульса $(Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx$, то уравнение Эйлера–Лагранжа имеет классическое решение:

${\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,t\in [0,1].$

( ЭЛ-Классик )

Уравнение Эйлера–Лагранжа о диффеоморфизмах, классически определенное для плотностей импульса, впервые появилось в для анализа медицинских изображений.

Риманова экспонента (геодезическое положение) и риманов логарифм (геодезические координаты)

Дополнительная информация: Риманова метрика и скобки Ли в вычислительной анатомии.

В медицинской визуализации и компьютерной анатомии позиционирование и координация форм являются фундаментальными операциями; система позиционирования анатомических координат и форм, построенная на метрике и уравнении Эйлера-Лагранжа, система геодезического позиционирования, впервые описанная Миллером Труве и Юнесом. Решение геодезической из начального условия $v_{0}$ называется римановой экспонентой, отображением $\operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}$ при принадлежности к группе.

Риманова экспонента удовлетворяет $\operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}$ для исходного состояния ${\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}$, динамика векторного поля ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]$,

• для классического уравнения диффеоморфной формы импульса $\int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx$, $Av\in V$, затем

$\ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;$

• для обобщенного уравнения, то $Av\in V^{*}$, $w\in V$,

$\ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.$

Вычисление потока $v_{0}$ по координатам риманов логарифм , картографирование $Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V$ на личности от $\varphi$ в векторное поле $v_{0}\in V$;

$\log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .$

Распространяясь на всю группу, они становятся

$\varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi$ ; $\log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi$ .

Они являются обратными друг другу для уникальных решений логарифма; первое называется геодезическим позиционированием, второе - геодезическими координатами ( Экспоненциальную карту, риманову геометрию конечномерную версию см. ). Геодезическая метрика представляет собой локальное уплощение римановой системы координат (см. рисунок).

Показ метрического локального уплощения координированных многообразий фигур и форм. Локальная метрика задается нормой векторного поля $\|v_{0}\|_{V}$ геодезического отображения $\operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m$

Гамильтонова формулировка вычислительной анатомии

В вычислительной анатомии диффеоморфизмы используются для перемещения систем координат, а векторные поля используются. как контроль внутри анатомическая орбита или морфологическое пространство. Модель представляет собой динамическую систему, поток координат $t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}$ и управление векторным полем $t\mapsto v_{t}\in V$ связано через ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.$ Гамильтонова точка зрения перепараметризует распределение импульса $Av\in V^{*}$ через сопряженный импульс или канонический импульс , вводимый как множитель Лагранжа $p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})$ ограничение лагранжевой скорости ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}$.соответственно:

$H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.$

Эта функция является расширенным гамильтонианом. . Принцип максимума Понтрягина дает оптимизирующее векторное поле, определяющее геодезический поток, удовлетворяющий ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},$ а также приведенный гамильтониан

$H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .$

Множитель Лагранжа в своем действии как линейная форма имеет собственный внутренний продукт канонического импульса, действующего на скорость потока, которая зависит от формы, например, для ориентиров - сумма, для поверхностей - поверхностный интеграл и. для объемов это интеграл объема по $dx$ на ${\mathbb {R} }^{3}$. Во всех случаях ядра Гринса несут веса, которые представляют собой канонический импульс, развивающийся в соответствии с обыкновенным дифференциальным уравнением, которое соответствует EL, но представляет собой геодезическую перепараметризацию канонического импульса. Оптимизирующее векторное поле имеет вид

$v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)$

с динамикой канонического импульса, перепараметризирующей векторное поле вдоль геодезической

${\begin{cases}\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}={\frac {\partial H(\varphi _{t},p_{t})}{\partial p}}\\[6pt]\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\varphi _{t},p_{t})}{\partial \varphi }}\end{cases}}$ ( Гамильтониан-динамика )

Стационарность гамильтониана и кинетическая энергия вдоль линии Эйлера–Лагранжа.

В то время как векторные поля распространяются на все фоновое пространство ${\mathbb {R} }^{3}$, геодезические потоки, связанные с подмногообразиями, имеют импульс эйлеровой формы, который развивается как обобщенная функция $Av_{t}\in V^{*}$ сосредоточены на подмногообразиях. Для достопримечательностей геодезические имеют импульс эйлеровой формы, который представляет собой суперпозицию дельта-распределений, перемещающихся с конечным числом частиц; диффеоморфный поток координат имеет скорости в диапазоне взвешенных ядер Грина. Для поверхностей импульс представляет собой поверхностный интеграл дельта-распределений, движущихся вместе с поверхностью.

Геодезические, соединяющие системы координат, удовлетворяющие EL-общему, обладают стационарностью лагранжиана. Гамильтониан задается экстремумом на пути $t\in [0,1]$, $H(\varphi ,p)=\max _{v}H(\varphi ,p,v)$, равная лагранжевой кинетической энергии и стационарна вдоль EL-general . Определение геодезической скорости в точке $v_{0}=\arg \max _{v}H(\varphi _{0},p_{0},v)$, то по геодезической

$H(\varphi _{t},p_{t})=H(\varphi _{0},p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}\,dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx={\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx$ ( Гамильтоновы-геодезические )

Стационарность гамильтониана демонстрирует интерпретацию множителя Лагранжа как импульса; интегрированный по скорости ${\dot {\varphi }}$ дает плотность энергии. Канонический импульс имеет много названий. При оптимальном управлении потоки $\varphi$ интерпретируется как государство и $p$ интерпретируется как сопряженное состояние или сопряженный импульс. Геодезия EL подразумевает указание векторных полей $v_{0}$ или эйлеров импульс $Av_{0}$ в $t=0$, или спецификация канонического импульса $p_{0}$ определяет поток.

Метрика геодезических потоков ориентиров, поверхностей и объемов внутри орбиты.

В вычислительной анатомии подмногообразия представляют собой наборы точек, кривые, поверхности и подобъемы, которые являются основными примитивами. Геодезические потоки между подмногообразиями определяют расстояние и образуют основные измерительные и транспортные инструменты диффеоморфометрии . В $t=0$ геодезическая имеет векторное поле $v_{0}=Kp_{0}$ определяется сопряженным импульсом и ядром Грина оператора инерции, определяющего эйлеров импульс $K=A^{-1}$. Метрическое расстояние между системами координат, соединенными геодезической, определяемое индуцированным расстоянием между единицей и элементом группы:

$d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}$

Законы сохранения импульса диффеоморфной формы для вычислительной анатомии

Учитывая наименьшее действие, существует естественное определение импульса, связанного с обобщенными координатами; величина, действующая против скорости, дает энергию. В области изучались две формы: импульс, связанный с эйлеровым векторным полем, называемый импульсом эйлеровой диффеоморфной формы , и импульс, связанный с начальными координатами или каноническими координатами, называемый импульсом канонической диффеоморфной формы . У каждого есть закон сохранения. Сохранение импульса идет рука об руку с принципом EL-general . В вычислительной анатомии $Av$ - это эйлеров импульс, поскольку при интегрировании с эйлеровой скоростью $v$ дает плотность энергии; оператор $A$ обобщенный момент инерции или оператор инерции, действующий на эйлерову скорость, дает импульс, сохраняющийся вдоль геодезической:

${\begin{aligned}{\text{Eulerian }}&{\frac {d}{dt}}\int _{X}Av_{t}\cdot ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})\,dx=0\ ,\ t\in [0,1].\\[8pt]{\text{Canonical }}&{\frac {d}{dt}}\int _{X}p_{t}\cdot ((D\varphi _{t})w)\,dx=0\ ,\ t\in [0,1]\ {\text{ for all}}\ w\in V\ .\end{aligned}}$ ( Эйлер-сохранение-постоянная энергия )

Сохранение импульса эйлеровой формы было показано в и следует из EL-general ; сохранение канонического импульса было показано в

показывать

Доказательство сохранения

The proof follow from defining $w_{t}=((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1}$, ${\frac {d}{dt}}w_{t}=(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t}$ implying ${\frac {d}{dt}}(Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})+(Av_{t}\mid {\frac {d}{dt}}((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid w_{t})+(Av_{t}\mid (Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})=0.$

The proof on canonical momentum is shown from ${\dot {p}}_{t}=-(Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}^{T}p_{t}$:

${\frac {d}{dt}}(p_{t}\mid (D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid {\frac {d}{dt}}(D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid (Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}(D\varphi _{t})w)=0$.

Геодезическая интерполяция информации между системами координат посредством вариационных задач

Дополнительная информация: Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации.

Построение диффеоморфных соответствий между фигурами вычисляет координаты исходного векторного поля. $v_{0}\in V$ и связанные веса ядер Гринса $p_{0}$. Эти начальные координаты определяются путем сопоставления форм, называемого диффеоморфным метрическим отображением большой деформации (LDDMM) . LDDMM решен для ориентиров с перепиской и без нее. и для плотного сопоставления изображений. кривые, поверхности, плотный вектор и тензор образы и варифолды, удаляющие ориентацию. LDDMM рассчитывает геодезические потоки EL-general по целевым координатам, добавляя к интегралу действия ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt$ условие соответствия конечной точки $E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}$ измерение соответствия элементов на орбите при преобразовании системы координат. Существование решений было проверено для сопоставления изображений. Решение вариационной задачи удовлетворяет EL-общему для $t\in [0,1)$ с граничным условием.

Сопоставление на основе минимизации действия кинетической энергии с условием конечной точки

${\begin{aligned}&\min \left\{C(\varphi ):v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}={\rm {id}}\right\}\\[5pt]\doteq {}&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\end{aligned}}$

${\begin{cases}{\text{Euler conservation }}&\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary condition }}&\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}},Av_{1}=\left.-{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =\varphi _{1}}\ .\end{cases}}$

Консервация от EL-general продлевает БК на $t=1$ до остальной части пути $t\in [0,1)$. Проблема неточного соответствия с термином соответствия конечной точки $E(\varphi _{1})$ имеет несколько альтернативных форм. Одна из ключевых идей стационарности гамильтониана вдоль геодезического решения заключается в том, что интегральные эксплуатационные затраты сводятся к начальным при t = 0, геодезические EL-генерала определяются их начальными условиями. $v_{0}$.

Эксплуатационные расходы уменьшаются до первоначальной стоимости, определяемой $v_{0}=Kp_{0}$ Ядро -Прибой.-Земля.-Геодезика .

Сопоставление на основе геодезической съемки

${\begin{aligned}&\min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\\[6pt]&\min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})\end{aligned}}$

Задача сопоставления явно привязана к начальному условию $v_{0}$ называется стрельбой, которую также можно перепарамеризовать через сопряженный импульс $p_{0}$.

Плотное сопоставление изображений в вычислительной анатомии

Дополнительная информация: LDDMM и диффеоморфное метрическое отображение большой деформации § Вариационная задача сопоставления плотных изображений

Плотное сопоставление изображений имеет долгую историю и первые попытки используя каркас небольшой деформации. Большие деформации начались в начале 1990-х годов. с первым существованием решений вариационной задачи для потоков диффеоморфизмов для плотного сопоставления изображений, установленных в . Бег решил с помощью одного из самых ранних алгоритмов LDDMM, основанного на решении вариационного сопоставления с конечной точкой, определяемой плотными изображениями по отношению к векторным полям, с учетом вариаций по отношению к векторным полям. Другое решение для плотного сопоставления изображений перепараметризует задачу оптимизации с точки зрения состояния. $q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I$ давая решение в терминах бесконечно малого действия, определяемого уравнением переноса .

LDDMM Плотное сопоставление изображений

Дополнительная информация: Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации § Алгоритм LDDMM Бега для сопоставления изображений.

Для LDDMM Бега обозначим Изображение $I(x),x\in X$ с групповым действием $\varphi \cdot I\doteq I\circ \varphi ^{-1}$. Если рассматривать это как задачу оптимального управления, то состояние системы представляет собой диффеоморфный поток координат. $\varphi _{t},t\in [0,1]$, с динамикой, связанной с управлением $v_{t},t\in [0,1]$ состоянию, заданному ${\dot {\varphi }}=v\circ \varphi$. Условие соответствия конечной точки $E(\varphi _{1})\doteq \|I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}$ дает вариационную задачу

${\begin{aligned}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|I\circ \varphi _{1}^{-1}(x)-I^{\prime }(x)|^{2}\,dx\end{aligned}}$ ( плотное сопоставление изображений )

${\begin{cases}{\text{Endpoint condition:}}&Av_{1}=\mu _{1}\,dx,\mu _{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\ ,\\[5pt]{\text{Conservation:}}&Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\varphi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \varphi _{t}^{-1}|D\varphi _{t}^{-1}|\ .\\[5pt]&\mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \varphi _{1})\nabla I|D\varphi _{1}|\ .\\\end{cases}}$

Бега Итеративный алгоритм LDDMM имеет фиксированные точки, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимизатора. Итерационный алгоритм представлен в алгоритме LDDMM Бега для плотного сопоставления изображений .

Гамильтониан LDDMM в приведенном адвективном состоянии

Дополнительная информация: Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации § Гамильтониан LDDMM для плотного сопоставления изображений

Обозначьте изображение $I(x),x\in X$, с гос. $q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1}$ а состояние и контроль, связанные с динамикой, определяются адвективным термином ${\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}$. Конечная точка $E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}$ дает вариационную задачу

$\min _{q:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-I^{\prime }(x)|^{2}\,dx$ ( плотное сопоставление изображений )

Итерационный гамильтониан Виаллара LDDMM имеет фиксированные точки, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимизатора.

Сопоставление изображений тензора диффузии в вычислительной анатомии

Дополнительная информация: Групповые действия в вычислительной анатомии и LDDMM.

Изображение, показывающее изображение тензора диффузии с тремя уровнями цвета, показывающими ориентации трех собственных векторов матричного изображения. $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}$, матричное изображение; каждый из трех цветов представляет направление.

Плотное согласование тензоров LDDMM принимает изображения как векторы 3x1 и тензоры 3x3, решая вариационную задачу сопоставления между системами координат на основе основных собственных векторов тензора диффузии МРТ- изображения (DTI), обозначенных $M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ состоящий из $3\times 3$-тензор в каждом вокселе. Некоторые групповые действия, определенные на основе матричной нормы Фробениуса между квадратными матрицами. $\|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A$. На сопроводительном рисунке показано изображение DTI, проиллюстрированное с помощью его цветовой карты, изображающей ориентации собственных векторов матрицы DTI в каждом вокселе с цветом, определяемым ориентацией направлений. Обозначим $3\times 3$ тензорное изображение $M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ с собственными элементами $\{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}$, $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}$.

Преобразование системы координат на основе изображений DTI использовало два действия. тот, который основан на принципе собственного вектора или целой матрицы .

Сопоставление LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии берет изображение $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ как поле единичного вектора, определяемое первым собственным вектором. Групповое действие становится

$\varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Сопоставление LDDMM на основе всей тензорной матрицы групповое действие становится $\varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},$ преобразованные собственные векторы

${\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}$.

Описана вариационная задача сопоставления с главным собственным вектором или матрицей. LDDMM Сопоставление тензорных изображений .

Сопоставление диффузионных изображений высокого углового разрешения (HARDI) в вычислительной анатомии

Дополнительная информация: Групповые действия в вычислительной анатомии и LDDMM § LDDMM ODF.

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокон в каждом месте. HARDI измеряет распространение вдоль $n$ равномерно распределенные направления на сфере и могут характеризовать более сложную геометрию волокон. HARDI можно использовать для восстановления функции распределения ориентации (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF — это функция, определенная на единичной сфере, ${\mathbb {S} }^{2}$.

Dense LDDMM ODF matching принимает данные HARDI в виде ODF для каждого вокселя и решает вариационную задачу LDDMM в пространстве ODF. В области информационной геометрии , пространство ОДФ образует риманово многообразие с метрикой Фишера-Рао. Для отображения LDDMM ODF выбрано представление с квадратным корнем, поскольку оно является одним из наиболее эффективных представлений, найденных на сегодняшний день, поскольку различные римановы операции, такие как геодезические, экспоненциальные карты и карты логарифмов, доступны в закрытой форме. Далее будем обозначать ODF с квадратным корнем ( ${\sqrt {\text{ODF}}}$) как $\psi ({\bf {s}})$, где $\psi ({\bf {s}})$ неотрицательен, чтобы обеспечить уникальность и $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})\,d{\bf {s}}=1$. Вариационная задача сопоставления предполагает, что два объема ODF могут быть порождены друг из друга посредством потоков диффеоморфизмов. $\varphi _{t}$, которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),t\in [0,1],$ начиная с карты личности $\varphi _{0}={\rm {id}}$. Обозначим действие диффеоморфизма на шаблоне как $\varphi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)$, ${\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}$, $x\in X$ соответственно координаты единичной сферы, ${{\mathbb {S} }^{2}}$ и домен изображения с аналогичной индексацией цели, $\psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)$, ${\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}$, $x\in X$.

Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается по формуле

$\varphi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x),x\in X$,

где $(D\varphi _{1})$ является якобианом аффинно преобразованной ODF и определяется как

$(D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\varphi _{1}^{-1}(x)\right).$

Это групповое действие диффеоморфизмов на ФРО переориентирует ФРО и отражает изменения как величины $\psi$ и направления отбора проб ${\bf {s}}$ за счет аффинного преобразования. Это гарантирует, что объемная доля волокон, ориентированных в сторону небольшого участка, останется неизменной после преобразования участка.

Вариационная задача LDDMM определяется как

$C(v)=\inf _{v:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}^{2}\,dx.$

где логарифм $\psi _{1},\psi _{2}\in \Psi$ определяется как

$\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — это нормальное скалярное произведение между точками сферы под $\mathrm {L} ^{2}$ метрика.

Этот алгоритм картирования LDDMM-ODF широко использовался для изучения дегенерации белого вещества головного мозга при старении, болезни Альцгеймера и сосудистой деменции. Атлас белого вещества головного мозга, созданный на основе ODF, строится с помощью байесовской оценки. Регрессионный анализ ODF разработан в пространстве многообразия ODF.

Метаморфоза

Дополнительная информация: Метаморфоза.

Демонстрация метаморфозы, позволяющей как диффеоморфные изменения в преобразовании координат, так и изменение интенсивности изображения, связанное с ранними технологиями морфинга, такими как видео Майкла Джексона. Обратите внимание на вставку интенсивности уровня серого опухоли, которой нет в шаблоне.

Основным способом изменения, представленным моделью орбиты, является изменение координат. Для условий, в которых пары изображений не связаны диффеоморфизмами, но имеют фотометрические вариации или вариации изображения, не представленные шаблоном, активное моделирование внешнего вида , первоначально Эдвардс-Кутс-Тейлор. было введено и в области 3D-медицинской визуализации. В контексте вычислительной анатомии, в которой изучались метрики анатомической орбиты, метаморфоза для моделирования таких структур, как опухоли, и фотометрических изменений, не присутствующих в шаблоне, была введена в для моделей магнитно-резонансных изображений, со многими последующими разработками, расширяющими рамки метаморфозы.

Для сопоставления изображений структура метаморфозы изображений увеличивает действие так, что $t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})$ с действием $\varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}$. В этом контексте метаморфоза сочетает в себе как диффеоморфную трансформацию системы координат компьютерной анатомии, так и ранние технологии морфинга , которые только уменьшали или изменяли только фотометрическую интенсивность или интенсивность изображения.

Тогда задача согласования принимает вид с граничными условиями равенства:

$\min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}$

Сопоставление ориентиров, кривых, поверхностей

Преобразование систем координат на основе ориентирных точек или функций реперных маркеров восходит к ранним работам Букштейна по методам сплайнов малой деформации. для интерполяции соответствий, определенных контрольными точками, в двумерное или трехмерное фоновое пространство, в котором определены контрольные точки. Методы ориентиров большой деформации появились в конце 1990-х годов. На рисунке выше изображен ряд ориентиров, связанных с тремя структурами мозга: миндалевидным телом, энторинальной корой и гиппокампом.

Сопоставление геометрических объектов, таких как немаркированные распределения точек, кривые или поверхности, является еще одной распространенной проблемой в вычислительной анатомии. Даже в дискретной настройке, где они обычно задаются как вершины с сетками, между точками нет заранее определенных соответствий, в отличие от ситуации с ориентирами, описанной выше. С теоретической точки зрения, хотя любое подмногообразие $X$ в ${\mathbb {R} }^{3}$, $d=1,2,3$ может быть параметризован в локальных диаграммах $m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}$, все репараметризации этих карт дают геометрически одно и то же многообразие. Таким образом, на ранних этапах компьютерной анатомии исследователи определили необходимость параметризации инвариантных представлений. Одним из необходимых требований является то, чтобы термин соответствия конечной точки между двумя подмногообразиями сам по себе не зависел от их параметризации. Этого можно достичь с помощью понятий и методов, заимствованных из геометрической теории меры , в частности токов. и варифолды которые широко использовались для сопоставления кривых и поверхностей.

Сопоставление ориентира или точки с соответствием

Дополнительная информация: Диффеоморфное метрическое картирование большой деформации § Сопоставление зарегистрированных ориентиров LDDMM.

Иллюстрация геодезического потока для одного ориентира, демонстрирующая диффеоморфное движение фонового пространства. Красная стрелка показывает $p_{0}(1)$, синяя кривая показывает $\varphi _{t}(x_{1})$, черная сетка показывает $\varphi _{t}$

На рисунке показано соответствие ориентиров соответствию. Левая и правая панели изображают два разных ядра с решениями.

Обозначил ориентирную форму $X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}$ с конечной точкой $E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}$, вариационная задача становится

$\min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}\|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}$

( Сопоставление ориентиров )

Геодезический эйлеров импульс - это обобщенная функция $\displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]$, поддерживаемый на ориентирном множестве в вариационной задаче. Условие конечной точки с сохранением подразумевает начальный импульс при идентичности группы:

${\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}$

Итерационный алгоритм диффеоморфное метрическое отображение ориентиров для больших деформаций дано .

Сопоставление показателей: незарегистрированные ориентиры

Глаунес и его коллеги впервые представили диффеоморфное сопоставление наборов точек в общей ситуации совпадающих распределений. В отличие от ориентиров сюда входит, в частности, ситуация взвешенных облаков точек без заранее определенных соответствий и, возможно, с разной мощностью. Шаблонное и целевое дискретные облака точек представлены как две взвешенные суммы Дирака. $\mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}$ и $\mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}$ живя в пространстве подписанных мер $\mathbb {R} ^{3}$. Пространство снабжено гильбертовой метрикой, полученной из вещественного положительного ядра $k(x,y)$ на $\mathbb {R} ^{3}$, давая следующую норму:

$\|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})$

Затем проблема сопоставления между шаблоном и целевым облаком точек может быть сформулирована с использованием этой метрики ядра для термина сопоставления конечных точек:

$\min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\varphi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}$

где $\mu _{\varphi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}$ — распределение, переносимое деформацией.

Сопоставление кривых

В одномерном случае кривую в 3D можно представить вложением $m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}$, и групповое действие Diff становится $\varphi \cdot m=\varphi \circ m$. Однако соответствие между кривыми и вложениями не является однозначно однозначным, как при любой перепараметризации. $m\circ \gamma$, для $\gamma$ диффеоморфизм отрезка [0,1] геометрически представляет одну и ту же кривую. Чтобы сохранить эту инвариантность в термине сопоставления конечной точки, можно рассмотреть несколько расширений предыдущего подхода к сопоставлению 0-мерных мер.

• Согласование кривой с токами

В случае ориентированных кривых токи дают эффективную возможность построить инвариантные условия согласования. В таком представлении кривые интерпретируются как элементы функционального пространства, двойственного векторным полям пространства, и сравниваются по нормам ядра в этих пространствах. Сопоставление двух кривых $m$ и $m^{\prime }$ в конечном итоге записывается как вариационная задача

$\min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}$

с конечным сроком $E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2$ получается из нормы

$\|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv$

производная $\partial m(u)$ являющийся касательным вектором к кривой и $K_{\mathcal {C}}$ заданное матричное ядро ${\mathbb {R} }^{3}$. Такие выражения инвариантны к любым положительным репараметризациям $m$ и $m'$и, таким образом, все еще зависят от ориентации двух кривых.

• Сопоставление кривых с варифолдами

Varifold является альтернативой токам, когда ориентация становится проблемой, например, в ситуациях, связанных с несколькими пучками кривых, для которых невозможно определить «последовательную» ориентацию. Варифолды напрямую расширяют 0-мерные меры, добавляя дополнительное направление касательного пространства к положению точек, что приводит к представлению кривых как мер на произведении ${\mathbb {R} }^{3}$ и грассманиан всех прямых в ${\mathbb {R} }^{3}$. Тогда проблема сопоставления двух кривых состоит в замене члена сопоставления конечных точек на $E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{\text{cur}}^{2}/2$ с многообразными нормами вида:

$\|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv$

где $[\partial m(u)]$ - неориентированная линия, направленная касательным вектором $\partial m(u)$ и $k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }$ два скалярных ядра соответственно на $\mathbb {R} ^{3}$ и Грассманиан. Из-за присущей грассмановскому представлению неориентированной природы такие выражения инвариантны к положительным и отрицательным репараметризациям.

Соответствие поверхностей

Сопоставление поверхностей имеет много общего со случаем кривых. Поверхности в ${\mathbb {R} }^{3}$ параметризуются в локальных схемах вложениями $m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}$, со всеми перепараметризациями $m\circ \gamma$ с $\gamma$ диффеоморфизм U геометрически эквивалентен. Токи и варифолды также можно использовать для формализации сопоставления поверхностей.

• Согласование поверхностей с токами

Ориентированные поверхности можно представить как 2-токи, двойственные дифференциальным 2-формам. В ${\mathbb {R} }^{3}$, можно дополнительно идентифицировать 2-формы с векторными полями с помощью стандартного клинового произведения 3D-векторов. В этой настройке сопоставление поверхностей снова пишет:

$\min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}$

с конечным сроком $E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2$ дано по норме

$\|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv$

с ${\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m$ вектор нормали к поверхности, параметризованный $m$.

Этот алгоритм картирования поверхностей был проверен на поверхностях коры головного мозга с помощью CARET и FreeSurfer. Картирование LDDMM для многомасштабных поверхностей обсуждается в разделе .

• Сопоставление поверхностей с варифолдами

Для неориентируемых или неориентированных поверхностей часто более подходящим является варифолдный каркас. Идентификация параметрической поверхности $m$ с варифолдом ${\mathcal {V}}_{m}$ в пространстве мер по произведению ${\mathbb {R} }^{3}$ и Грассманиан просто заменяет предыдущую текущую метрику $\|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}$ к:

$\|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv$

где $[{\vec {n}}(u)]$ — (неориентированная) линия, направленная вектором нормали к поверхности.

Рост и атрофия из продольных временных рядов

Существует множество условий, в которых имеется серия измерений, временной ряд, в основе которого лежит системы координат будут сопоставлены и перенаправлены. Это происходит, например в моделях динамического роста и атрофии и отслеживании движения, например, которые были исследованы в Дана наблюдаемая временная последовательность, и цель состоит в том, чтобы сделать вывод о временном потоке геометрических изменений координат, переносящих экземпляры или храмовники через период наблюдений.

Общая задача сопоставления временных рядов предполагает, что временной ряд равен $0<t_{1}<\cdots <t_{K}=1$. Поток оптимизируется по ряду затрат $E(t_{k}),k=1,\ldots ,K$ давая задачи оптимизации в форме

$\min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}=id}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\varphi _{t_{k}})$.

На данный момент было предложено как минимум три решения: кусочно-геодезическое, главный геодезический и сплайны.

Модель случайной орбиты вычислительной анатомии

Орбиты мозга, связанные с действием диффеоморфной группы на шаблоны, изображенные посредством плавного потока, связанного с геодезическими потоками со случайным распылением, связанным со случайной генерацией начального векторного поля касательного пространства. $v_{0}\in V$; опубликовано в.

Модель случайной орбиты компьютерной анатомии впервые появилась в моделирование изменения координат, связанное со случайностью группы, воздействующей на шаблоны, что наводит случайность на источник изображения в анатомической орбите форм и форм и приводит к наблюдениям через устройства медицинской визуализации. Такая модель случайной орбиты , в которой случайность в группе вызывает случайность в изображениях, была исследована для Специальной евклидовой группы для распознавания объектов.

На рисунке изображены случайные орбиты вокруг каждого образца. $m_{0}\in {\mathcal {M}}$, сгенерированный путем рандомизации потока путем генерации начального векторного поля касательного пространства в тождестве $v_{0}\in V$, а затем генерируем случайный объект $n\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}$.

Модель случайной орбиты индуцирует априорное отношение к формам и изображениям. $I\in {\mathcal {I}}$ обусловленный определенным атласом $I_{a}\in {\mathcal {I}}$. Для этого генеративная модель генерирует среднее поле $I$ как случайное изменение координат шаблона по $I\doteq \varphi \cdot I_{a}$, где диффеоморфное изменение координат генерируется случайным образом посредством геодезических потоков. Априор о случайных преобразованиях $\pi _{\text{Diff}}(d\varphi )$ на $\operatorname {Diff} _{V}$ индуцируется потоком $\operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)$, с $v\in V$ построенное как гауссово случайное поле до $\pi _{V}(dv)$. Плотность случайных наблюдаемых на выходе датчика $I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}$ даны

На рисунке показан случайный разброс синтезированных подкорковых структур, расположенных в двумерной сетке, представляющей дисперсию собственной функции, используемой для определения импульса для синтеза.

$p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .$

На рисунке справа показаны мультяшные орбиты, представляющие собой случайный набор подкорковых многообразий, созданный путем рандомизации векторных полей. $v_{0}$ поддерживается над подмногообразиями.

Байесовская модель вычислительной анатомии

Основная статья: Байесовская модель вычислительной анатомии

Модель исходного канала, показывающая источник изображений - деформируемый шаблон. $I\doteq \varphi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}$ и выходной канал, связанный с датчиком МРТ $I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}$

Центральной статистической моделью вычислительной анатомии в контексте медицинской визуализации была модель источника-канала теории Шеннона ; источник — деформируемый шаблон изображений $I\in {\mathcal {I}}$выходы канала представляют собой датчики изображения с наблюдаемыми $I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}$ (см. рисунок).

См. «Байесовскую модель вычислительной анатомии» для обсуждения (i) Оценка MAP с помощью нескольких атласов, (ii) Сегментация MAP с помощью нескольких атласов, оценка MAP шаблонов из популяций.

Статистическая теория формы в вычислительной анатомии

Дополнительная информация: Статистический анализ форм и теория форм (математика).

Форма в вычислительной анатомии — это локальная теория, индексирующая формы и структуры в шаблонах, с которыми они биективно сопоставляются. Статистическая форма в вычислительной анатомии - это эмпирическое исследование диффеоморфных соответствий между популяциями и общими шаблонными системами координат. Это сильное отклонение от анализа Прокруста и теорий формы, впервые предложенных Дэвидом Кендаллом. в том, что центральной группой теорий Кендалла являются конечномерные группы Ли, тогда как теории формы в вычислительной анатомии сосредоточились на группе диффеоморфизмов, которую в первом порядке по якобиану можно рассматривать как поле (то есть бесконечномерное) низкомерных групп Ли масштаба и вращений.

На рисунке показаны сотни подкорковых структур, встроенных в двумерное импульсное пространство, сгенерированных на основе первых двух собственных векторов эмпирической ковариации, оцененной на основе совокупности форм.

Модель случайной орбиты обеспечивает естественные условия для понимания эмпирической формы и статистики формы в вычислительной анатомии, поскольку нелинейность индуцированного закона вероятности анатомических форм и форм $m\in {\mathcal {M}}$ индуцируется приведением к векторным полям $v_{0}\in V$ в касательном пространстве в единице группы диффеоморфизмов. Последовательный поток уравнения Эйлера порождает случайное пространство форм и форм. $\operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}$.

Выполнение эмпирической статистики этого касательного пространства в точке идентичности является естественным способом установления законов вероятности для статистики формы. Поскольку и векторные поля, и эйлеров импульс $Av_{0}$ находятся в гильбертовом пространстве, естественная модель представляет собой модель гауссовского случайного поля, так что данная пробная функция $w\in V$, то внутренние продукты с тестовыми функциями распределяются по Гауссу со средним значением и ковариацией.

Это показано на прилагаемом рисунке, где подкорковые структуры мозга изображены в двумерной системе координат, основанной на скалярных произведениях их исходных векторных полей, которые генерируют их из шаблона, показанного в двумерном диапазоне гильбертова пространства.

Оценка шаблона по совокупности

Изображение оценки шаблона по множественным подкорковым поверхностям в популяциях МР-изображений с использованием решения EM-алгоритма Ма.

Дополнительная информация: Байесовская модель вычислительной анатомии и байесовская оценка шаблонов в вычислительной анатомии.

Изучение формы и статистики популяций представляет собой локальные теории, индексирующие формы и структуры в шаблонах, с которыми они биективно отображаются. Статистическая форма — это исследование диффеоморфных соответствий относительно шаблона. Основная операция — создание шаблонов на основе совокупностей, оценивающих форму, соответствующую совокупности. Существует несколько важных методов создания шаблонов, включая методы, основанные на усреднении Фреше , и статистические подходы, основанные на алгоритме максимизации ожидания и моделях байесовской случайной орбиты вычислительной анатомии. На сопроводительном рисунке показана реконструкция подкоркового шаблона из популяции субъектов МРТ.

Программное обеспечение для диффеоморфного картографирования

Пакеты программного обеспечения , содержащие различные алгоритмы диффеоморфного отображения, включают следующее:

• МУРАВЬИ
• МИЛЫЙ Морфометрия на основе вокселей
• ДЕФОРМЕТРИЧЕСКИЙ
• ДЕМОНЫ
• ЛДДММ Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации
• LDDMM на основе кадрового ядра
• СтационарныйLDDMM

Облачное программное обеспечение

• МРТОблако

См. также

• Байесовская оценка шаблонов в вычислительной анатомии
• Вычислительная нейроанатомия
• Анализ геометрических данных
• Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации
• Прокрустов анализ
• Риманова метрика и скобки Лия в вычислительной анатомии
• Анализ формы (значения)
• Статистический анализ формы

Ссылки

{{|}}