Калибровочная теория

В физике калибровочная теория — это разновидность теории поля , в которой лагранжиан , а значит и динамика самой системы, не изменяются при локальных преобразованиях по определённым гладким семействам операций ( группам Ли ). Формально лагранжиан инвариантен .

Термин «калибровка» относится к любому конкретному математическому формализму, позволяющему регулировать избыточные степени свободы в лагранжиане физической системы. Преобразования между возможными калибровками, называемые калибровочными преобразованиями , образуют группу Ли, называемую группой симметрии или калибровочной группой теории. С любой группой Ли связана алгебра Ли группы генераторов . Каждому образующему группы обязательно возникает соответствующее поле (обычно векторное ), называемое калибровочным полем . Калибровочные поля включены в лагранжиан, чтобы гарантировать его инвариантность относительно преобразований локальной группы (так называемая калибровочная инвариантность ). Когда такая теория квантована , кванты калибровочных полей называются калибровочными бозонами . Если группа симметрии некоммутативна, то калибровочная теория называется неабелевой калибровочной теорией , обычным примером является теория Янга – Миллса .

Многие мощные теории в физике описываются лагранжианами , которые инвариантны относительно некоторых групп преобразований симметрии. Когда они инвариантны относительно преобразований, одинаково выполняемых в каждой точке пространства -времени , в которой происходят физические процессы, говорят, что они обладают глобальной симметрией . Локальная симметрия , краеугольный камень калибровочных теорий, является более сильным ограничением. Фактически, глобальная симметрия — это просто локальная симметрия, параметры группы которой фиксированы в пространстве-времени (точно так же, как постоянное значение можно понимать как функцию определенного параметра, выходной сигнал которого всегда один и тот же).

Калибровочные теории важны как успешные теории поля, объясняющие динамику элементарных частиц . Квантовая электродинамика представляет собой абелеву калибровочную теорию с группой симметрии U (1) и имеет одно калибровочное поле, электромагнитный четырехпотенциал , где фотон является калибровочным бозоном. Стандартная модель представляет собой неабелеву калибровочную теорию с группой симметрии U(1) × SU(2) × SU(3) и имеет в общей сложности двенадцать калибровочных бозонов: фотон , три слабых бозона и восемь глюонов .

Калибровочные теории также играют важную роль в объяснении гравитации в общей теории относительности . Его случай несколько необычен тем, что калибровочное поле представляет собой тензор, тензор Ланцоша . Теории квантовой гравитации , начиная с теории калибровочной гравитации , также постулируют существование калибровочного бозона, известного как гравитон . Калибровочные симметрии можно рассматривать как аналоги принципа общей ковариантности общей теории относительности, в котором система координат может выбираться свободно при произвольных диффеоморфизмах пространства-времени. И калибровочная инвариантность, и инвариантность диффеоморфизма отражают избыточность описания системы. Альтернативная теория гравитации, калибровочная теория гравитации , заменяет принцип общей ковариантности истинным калибровочным принципом с новыми калибровочными полями.

Исторически эти идеи были сначала сформулированы в контексте классического электромагнетизма , а затем и в общей теории относительности . Однако современное значение калибровочных симметрий впервые проявилось в квантовой механике электронов релятивистской – квантовой электродинамике , подробно описанной ниже. Сегодня калибровочные теории полезны в физике конденсированного состояния , ядерной физике и физике высоких энергий, а также в других областях.

История

Понятие и название калибровочной теории взяты из работы Германа Вейля 1918 года. ^[1] Вейль, пытаясь обобщить геометрические идеи общей теории относительности , включив в нее электромагнетизм , предположил, что эйхинварианц или инвариантность относительно изменения масштаба (или «калибровки») также может быть локальной симметрией общей теории относительности. После разработки квантовой механики Вейль Владимир Фок ^[2] и Фриц Лондон заменил простой масштабный коэффициент комплексной величиной и превратил масштабное преобразование в изменение фазы , что представляет собой калибровочную симметрию U (1). Это объяснило поля на волновую функцию заряженной . квантовомеханической частицы влияние электромагнитного В статье Вейля 1929 года была представлена современная концепция калибровочной инвариантности. ^[3] впоследствии популяризированный Паули в его обзоре 1941 года. ^[4] Оглядываясь назад, « можно сказать, что формулировка электродинамики Максвелла в 1864–1865 годах ( Динамическая теория электромагнитного поля ») предполагала возможность инвариантности, когда он заявил, что любое векторное поле, ротор которого исчезает - и поэтому обычно может быть записано как градиент магнитное функции — можно добавить к векторному потенциалу, не затрагивая поле . Точно так же незаметно Гильберт вывел уравнения поля Эйнштейна , постулировав инвариантность действия относительно общего преобразования координат. Важность этих инвариантностей симметрии оставалась незамеченной до работы Вейля.

Вдохновленный описаниями Паули связи между сохранением заряда и теорией поля, основанной на инвариантности, Чэнь Нин Ян искал теорию поля для связывания атомных ядер , основанную на сохранении ядерного изоспина . ^[5]^: 202 В 1954 году Ян и Роберт Миллс обобщили калибровочную инвариантность электромагнетизма, построив теорию, основанную на действии (неабелевой) группы симметрии SU(2) на изоспиновый дублет протонов и нейтронов . ^[6] Это похоже на действие группы U(1) на спинорные поля квантовой электродинамики .

Теория Янга-Миллса стала прототипом теории, позволившей разрешить большую путаницу в физике элементарных частиц .Эта идея позже нашла применение в квантовой теории слабого взаимодействия и ее объединение с электромагнетизмом в электрослабой теории. Калибровочные теории стали еще более привлекательными, когда стало понятно, что неабелевы калибровочные теории воспроизводят особенность, называемую асимптотической свободой . Считалось, что асимптотическая свобода является важной характеристикой сильных взаимодействий. Это побудило к поиску теории сильной калибровочной силы. Эта теория, известная сейчас как квантовая хромодинамика , представляет собой калибровочную теорию с действием группы SU(3) на цветов тройку кварков . Стандартная модель объединяет описание электромагнетизма, слабых взаимодействий и сильных взаимодействий на языке калибровочной теории.

В 1970-х годах Майкл Атья начал изучать математику решений классических уравнений Янга – Миллса . В 1983 году ученик Атьи Саймон Дональдсон, опираясь на эту работу, показал, что дифференцируемая классификация гладких 4- многообразий сильно отличается от их классификации с точностью до гомеоморфизма . ^[7] Майкл Фридман использовал работу Дональдсона, чтобы продемонстрировать экзотический R. ⁴s , то есть экзотические дифференцируемые структуры в евклидовом 4-мерном пространстве. Это привело к возрастанию интереса к калибровочной теории как таковой, независимо от ее успехов в фундаментальной физике. В 1994 году Эдвард Виттен и Натан Зайберг изобрели теоретико-калибровочные методы, основанные на суперсимметрии , которые позволили вычислить определенные топологические инварианты. ^[8]^[9] ( инварианты Зайберга–Виттена ). Этот вклад калибровочной теории в математику привел к возобновлению интереса к этой области.

Важность калибровочных теорий в физике иллюстрируется огромным успехом математического формализма в обеспечении единой основы для описания теорий поля электромагнетизма квантовых , слабого взаимодействия и сильного взаимодействия . Эта теория, известная как Стандартная модель , точно описывает экспериментальные предсказания относительно трёх из четырёх фундаментальных сил природы и является калибровочной теорией с калибровочной группой SU(3) × SU(2) × U(1) . Современные теории, такие как теория струн , а также общая теория относительности , в той или иной мере являются калибровочными теориями.

Увидеть Джексона и Окуна ^[10] для ранней истории калибра и Пикеринга ^[11] для получения дополнительной информации об истории калибровочной и квантовой теории поля.

Описание

Глобальные и локальные симметрии

Глобальная симметрия

В физике математическое описание любой физической ситуации обычно содержит избыточные степени свободы ; одна и та же физическая ситуация одинаково хорошо описывается многими эквивалентными математическими конфигурациями. Например, в ньютоновской динамике , если две конфигурации связаны преобразованием Галилея ( инерционным изменением системы отсчета), они представляют одну и ту же физическую ситуацию. Эти преобразования образуют группу « симметрий » теории, и физическая ситуация соответствует не отдельной математической конфигурации, а классу конфигураций, связанных друг с другом этой группой симметрии.

Эту идею можно обобщить, включив в нее как локальные, так и глобальные симметрии, аналогичные гораздо более абстрактным «изменениям координат» в ситуации, когда нет предпочтительной « инерциальной » системы координат, охватывающей всю физическую систему. Калибровочная теория — это математическая модель, обладающая симметриями такого типа, а также набор методов для выполнения физических предсказаний, соответствующих симметриям модели.

Пример глобальной симметрии

Когда величина, встречающаяся в математической конфигурации, является не просто числом, а имеет какое-то геометрическое значение, например, скорость или ось вращения, ее представление в виде чисел, расположенных в векторе или матрице, также изменяется в результате преобразования координат. Например, если в одном описании схемы течения жидкости утверждается, что скорость жидкости в окрестности точки ( x =1, y =0) равна 1 м/с в положительном направлении x , то описание той же ситуации, в которой система координат была повернута по часовой стрелке на 90 градусов, что означает, что скорость жидкости в окрестности ( x = 0 , y = -1 ) составляет 1 м/с в отрицательном направлении y . Преобразование координат затронуло как систему координат, используемую для определения места измерения, так и основу, в которой его значение выражается . Пока это преобразование выполняется глобально (влияя на базис координат одинаково в каждой точке), влияние на значения, которые представляют скорость изменения некоторой величины вдоль некоторого пути в пространстве и времени при прохождении через точку P что и влияние на значения, которые действительно локальны для P. — это то же самое ,

Локальная симметрия

Использование расслоений для описания локальных симметрий

Чтобы адекватно описать физические ситуации в более сложных теориях, часто необходимо ввести «координатную основу» для некоторых объектов теории, которые не имеют этой простой связи с координатами, используемыми для обозначения точек в пространстве и времени. (В математических терминах теория включает в себя расслоение , в котором волокно в каждой точке базового пространства состоит из возможных баз координат, которые можно использовать при описании значений объектов в этой точке.) Чтобы описать математическую конфигурацию, нужно должен выбрать в каждой точке определенный координатный базис ( локальный участок расслоения) и выразить с помощью этого базиса значения объектов теории (обычно « полей » в физикском смысле). Две такие математические конфигурации эквивалентны (описывают одну и ту же физическую ситуацию), если они связаны преобразованием этого абстрактного координатного базиса (изменение локального сечения или калибровочное преобразование ).

В большинстве калибровочных теорий множество возможных преобразований абстрактного калибровочного базиса в отдельной точке пространства и времени представляет собой конечномерную группу Ли. Простейшей такой группой является U(1) , которая появляется в современной формулировке квантовой электродинамики (КЭД) благодаря использованию комплексных чисел . КЭД обычно считается первой и простейшей физической калибровочной теорией. Множество возможных калибровочных преобразований всей конфигурации данной калибровочной теории также образует группу — калибровочную группу теории. Элемент калибровочной группы можно параметризовать плавно меняющейся функцией от точек пространства-времени до (конечномерной) группы Ли, так что значение функции и ее производных в каждой точке представляет собой действие калибровочного преобразования на волокно над этой точкой.

Калибровочное преобразование с постоянным параметром в каждой точке пространства и времени аналогично жесткому вращению геометрической системы координат; он представляет собой глобальную симметрию калибровочного представления. Как и в случае жесткого вращения, это калибровочное преобразование влияет на выражения, которые представляют скорость изменения на траектории некоторой зависящей от калибровки величины, так же, как и на выражения, которые представляют истинно локальную величину. Калибровочное преобразование, параметр которого не является постоянной функцией, называется локальной симметрией ; его влияние на выражения, включающие производную , качественно отличается от воздействия на выражения, в которых ее нет. (Это аналогично неинерциальному изменению системы отсчета, которое может вызвать эффект Кориолиса .)

Поля датчиков

«Калибровочно-ковариантная» версия калибровочной теории учитывает этот эффект, вводя калибровочное поле (на математическом языке, связность Эресмана ) и формулируя все скорости изменения через ковариантную производную относительно этой связи. Калибровочное поле становится существенной частью описания математической конфигурации. Конфигурация, в которой калибровочное поле можно исключить с помощью калибровочного преобразования, обладает тем свойством, что напряженность ее поля (на математическом языке, ее кривизна ) всюду равна нулю; калибровочная теория не ограничивается этими конфигурациями. Другими словами, отличительной чертой калибровочной теории является то, что калибровочное поле не просто компенсирует неудачный выбор системы координат; обычно не существует калибровочного преобразования, которое обращало бы калибровочное поле в нуль.

При анализе динамики калибровочной теории калибровочное поле необходимо рассматривать как динамическую переменную, аналогичную другим объектам описания физической ситуации. Помимо взаимодействия с другими объектами через ковариантную производную, калибровочное поле обычно вносит энергию в виде члена «собственной энергии». Уравнения калибровочной теории можно получить следующим образом:

начиная с наивного анзаца без калибровочного поля (в котором производные появляются в «голом» виде);
перечисление тех глобальных симметрий теории, которые можно охарактеризовать непрерывным параметром (обычно абстрактным эквивалентом угла поворота);
вычисление поправочных членов, которые возникают в результате изменения параметра симметрии от места к месту; и
переосмысление этих поправочных членов как связей с одним или несколькими калибровочными полями и придание этим полям соответствующих условий собственной энергии и динамического поведения.

В этом смысле калибровочная теория «расширяет» глобальную симметрию до локальной симметрии и очень напоминает историческое развитие калибровочной теории гравитации, известной как общая теория относительности .

Физические эксперименты

Калибровочные теории, используемые для моделирования результатов физических экспериментов, включают:

ограничить вселенную возможных конфигураций теми, которые соответствуют информации, использованной для постановки эксперимента, а затем
вычисление распределения вероятностей возможных результатов, для измерения которых предназначен эксперимент.

Мы не можем выразить математические описания «установочной информации» и «возможных результатов измерения» или «граничных условий» эксперимента без привязки к конкретной системе координат, включая выбор калибра. Предполагается, что адекватный эксперимент изолирован от «внешнего» влияния, что само по себе является утверждением, зависящим от калибровки. Неправильное выполнение расчетов калибровочной зависимости в граничных условиях является частым источником аномалий , а подходы к предотвращению аномалий классифицируют калибровочные теории. ^{[ нужны разъяснения ]}.

Теории континуума

Две упомянутые выше калибровочные теории — электродинамика сплошной среды и общая теория относительности — являются теориями непрерывного поля. Методы расчета в теории континуума неявно предполагают, что:

при полностью фиксированном выборе калибра граничные условия отдельной конфигурации полностью описываются
при полностью фиксированной калибровке и полном наборе граничных условий наименьшее действие определяет уникальную математическую конфигурацию и, следовательно, уникальную физическую ситуацию, соответствующую этим границам.
фиксация калибра не вносит аномалий в расчет, обусловленных как калибровочной зависимостью при описании частичной информации о граничных условиях, так и неполнотой теории.

Определение вероятности возможных результатов измерения осуществляется путем:

установление распределения вероятностей по всем физическим ситуациям, определяемым граничными условиями, в соответствии с информацией о настройке
установление распределения вероятностей результатов измерений для каждой возможной физической ситуации
свертывание этих двух распределений вероятностей для получения распределения возможных результатов измерений, соответствующего информации о настройке

Эти предположения имеют достаточную обоснованность в широком диапазоне энергетических масштабов и условий эксперимента, чтобы позволить этим теориям делать точные предсказания почти всех явлений, встречающихся в повседневной жизни: света, тепла и электричества, затмений, космических полетов и т. д. Они терпят неудачу только в наименьших и крупнейших масштабах из-за упущений в самих теориях, а также когда сами математические методы выходят из строя, особенно в случае турбулентности и других хаотических явлений.

Квантовые теории поля

Помимо этих классических теорий непрерывного поля, наиболее широко известными калибровочными теориями являются квантовые теории поля , включая квантовую электродинамику и Стандартную модель физики элементарных частиц. Отправная точка квантовой теории поля во многом аналогична исходной точке ее континуального аналога: калибровочно-ковариантного интеграла действия , который характеризует «допустимые» физические ситуации в соответствии с принципом наименьшего действия . Однако теории континуума и квантовые теории существенно различаются в том, как они справляются с избыточными степенями свободы, представленными калибровочными преобразованиями. Теории континуума и большинство педагогических трактовок простейших квантовых теорий поля используют рецепт фиксации калибровки, чтобы свести орбиту математических конфигураций, которые представляют данную физическую ситуацию, к меньшей орбите, связанной с меньшей калибровочной группой (глобальной группой симметрии или, возможно, даже тривиальная группа).

Более сложные квантовые теории поля, в частности те, которые включают неабелеву калибровочную группу, нарушают калибровочную симметрию в рамках методов теории возмущений путем введения дополнительных полей ( духов Фаддеева-Попова ) и контрчленов, мотивированных сокращением аномалий , в известном подходе. как BRST-квантование . Хотя эти проблемы в каком-то смысле являются весьма техническими, они также тесно связаны с природой измерений, ограничениями знания физической ситуации и взаимодействием между не полностью заданными экспериментальными условиями и не полностью понятой физической теорией. ^{[ нужна ссылка ]} Математические методы, разработанные для того, чтобы сделать калибровочные теории понятными, нашли множество других применений — от физики твердого тела и кристаллографии до низкоразмерной топологии .

Классическая калибровочная теория

Классический электромагнетизм

В электростатике можно обсуждать либо электрическое поле E соответствующий ему потенциал электрический V. , либо Знание одного позволяет найти другое, за исключением того, что потенциалы, отличающиеся на константу, $V\mapsto V+C$ , соответствуют одному и тому же электрическому полю. Это связано с тем, что электрическое поле связано с изменениями потенциала от одной точки пространства к другой, и константа C будет сокращаться при вычитании, чтобы найти изменение потенциала. С точки зрения векторного исчисления , электрическое поле представляет собой градиент потенциала, $\mathbf {E} =-\nabla V$ . Обобщая переход от статического электричества к электромагнетизму, мы имеем второй потенциал, векторный потенциал A , с

{\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}

Общие калибровочные преобразования теперь становятся не просто $V\mapsto V+C$ но

{\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}

где f — любая дважды непрерывно дифференцируемая функция, зависящая от положения и времени. Электромагнитные поля при калибровочном преобразовании остаются прежними.

Пример: скалярная O( n ). калибровочная теория

Оставшаяся часть этого раздела требует некоторого знакомства с классической или квантовой теорией поля и использованием лагранжианов .

Определения в этом разделе: калибровочная группа , калибровочное поле , лагранжиан взаимодействия , калибровочный бозон .

Следующее иллюстрирует, как локальная калибровочная инвариантность может быть «мотивирована» эвристически, исходя из свойств глобальной симметрии, и как это приводит к взаимодействию между изначально невзаимодействующими полями.

Рассмотрим набор $n$ невзаимодействующие действительные скалярные поля с равными массами m . Эта система описывается действием , которое представляет собой сумму (обычного) действия для каждого скалярного поля. $\varphi _{i}$

{\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]

Лагранжиан (плотность) можно компактно записать как

\ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi

введя вектор полей

\ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})

Термин $\partial _{\mu }\Phi$ является частной производной $\Phi$ вдоль измерения $\mu$ .

Теперь ясно, что лагранжиан инвариантен относительно преобразования

\ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi

всякий раз, когда является постоянной матрицей , принадлежащей n -n G ортогональной группе O( n ). Видно, что это сохраняет лагранжиан, поскольку производная $\Phi '$ преобразуется тождественно в $\Phi$ и обе величины появляются внутри скалярного произведения в лагранжиане (ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение).

\ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi

Это характеризует глобальную симметрию данного конкретного лагранжиана, а группу симметрии часто называют калибровочной группой ; математический термин — структурная группа , особенно в теории G-структур . Кстати, из теоремы Нётер следует, что инвариантность относительно этой группы преобразований приводит к сохранению токов

\ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi

где Т ^а матрицы являются генераторами группы SO( n ). Для каждого генератора существует один сохраняющийся ток.

Теперь требование, чтобы этот лагранжиан имел локальную O( n )-инвариантность, требует, чтобы матрицам G (которые ранее были постоянными) можно было позволить стать функциями пространственно-временных координат x .

В этом случае матрицы G не «проходят» через производные, когда G = G ( x ),

\ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )

Неспособность производной коммутировать с буквой G вводит дополнительный член (в соответствии с правилом произведения), который портит инвариантность лагранжиана. Чтобы исправить это, мы определяем новый оператор производной, такой, что производная $\Phi '$ снова преобразуется тождественно с $\Phi$

\ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi

Эта новая «производная» называется (калибровочной) ковариантной производной и принимает вид

\ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }

где g называется константой связи; величина, определяющая силу взаимодействия.После простого расчета мы видим, что калибровочное поле A ( x ) должно преобразоваться следующим образом

\ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}

Калибровочное поле является элементом алгебры Ли и поэтому может быть расширено как

\ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}

Следовательно, существует столько калибровочных полей, сколько образующих алгебры Ли.

Наконец, теперь у нас есть локально калибровочно-инвариантный лагранжиан

\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi

Паули использует термин «калибровочное преобразование первого типа» для обозначения преобразования $\Phi$ , а компенсирующее преобразование в $A$ называется калибровочным преобразованием второго типа .

Диаграмма Фейнмана скалярных бозонов, взаимодействующих через калибровочный бозон

Разница между этим лагранжианом и исходным глобально калибровочно-инвариантным лагранжианом представляет собой лагранжиан взаимодействия

\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi

Этот член вводит взаимодействия между n скалярными полями просто как следствие требования локальной калибровочной инвариантности. Однако, чтобы это взаимодействие было физическим, а не полностью произвольным, посреднику A ( x ) необходимо распространяться в пространстве. Это рассматривается в следующем разделе путем добавления еще одного термина: ${\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }$ , к лагранжиану. В квантованной версии полученной классической теории поля кванты ( калибровочного поля A ) x называются калибровочными бозонами . Интерпретация лагранжиана взаимодействия в квантовой теории поля состоит в том, что скалярные бозоны взаимодействуют путем обмена этими калибровочными бозонами.

Лагранжиан Янга–Миллса для калибровочного поля.

Картина классической калибровочной теории, развитая в предыдущем разделе, практически полная, за исключением того, что для определения ковариантных производных D необходимо знать значение калибровочного поля $A(x)$ во всех точках пространства-времени. Вместо того, чтобы вручную указывать значения этого поля, его можно задать как решение уравнения поля. Кроме того, требуя, чтобы лагранжиан, порождающий это уравнение поля, также был локально калибровочно-инвариантным, одна из возможных форм лагранжиана калибровочного поля:

{\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}

где $F_{\mu \nu }^{a}$ получаются из потенциалов $A_{\mu }^{a}$ , являясь компонентами $A(x)$ , к

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}

и $f^{abc}$ — структурные константы алгебры Ли генераторов калибровочной группы. Такая формулировка лагранжиана называется действием Янга–Миллса . Существуют и другие калибровочно-инвариантные действия (например, нелинейная электродинамика , действие Борна-Инфельда , модель Черна-Саймонса , тэта-член и т. д.).

В этом лагранжевом члене нет поля, преобразование которого уравновешивало бы преобразование $A$ . Инвариантность этого слагаемого относительно калибровочных преобразований является частным случаем априорной классической (геометрической) симметрии. Эта симметрия должна быть ограничена для выполнения квантования (эта процедура называется калибровочной фиксацией) , но даже после ограничения калибровочные преобразования могут быть возможны. ^[12]

Полный лагранжиан калибровочной теории теперь имеет вид

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}

Пример: Электродинамика.

В качестве простого применения формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим случай электродинамики , где имеется только электронное поле. Простейшее действие, которое генерирует уравнение Дирака для электронного поля, равно

{\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x

Глобальная симметрия этой системы равна

\psi \mapsto e^{i\theta }\psi

Калибровочной группой здесь является U(1) , просто вращение фазового угла поля, причем конкретное вращение определяется константой $θ$ .

«Локализация» этой симметрии подразумевает замену $θ$ на $θ (x)$ . Тогда подходящей ковариантной производной будет

D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }

Отождествление «заряда» $e$ (не путать с математической константой e в описании симметрии) с обычным электрическим зарядом (отсюда и происхождение использования этого термина в калибровочных теориях) и калибровочным полем $A (x)$ с четырехвекторным потенциалом электромагнитного поля приводит к лагранжиану взаимодействия

{\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)

где $J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)$ электрический ток – четырехвекторный в поле Дирака . Таким образом, представляется, что калибровочный принцип естественным образом вводит так называемую минимальную связь электромагнитного поля с полем электрона.

Добавление лагранжиана для калибровочного поля $A_{\mu }(x)$ Используя тензор напряженности поля точно так же, как в электродинамике, можно получить лагранжиан, используемый в качестве отправной точки в квантовой электродинамике .

{\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

Математический формализм

Калибровочные теории обычно обсуждаются на языке дифференциальной геометрии . Математически калибровка — это просто выбор (локального) сечения некоторого главного расслоения . Калибровочное преобразование — это всего лишь преобразование между двумя такими сечениями.

Хотя в калибровочной теории преобладают исследования связей (в первую очередь потому, что ее изучают в основном физики высоких энергий ), идея связи не является центральной для калибровочной теории в целом. Фактически, результат общей калибровочной теории показывает, что аффинные представления (т. е. аффинные модули ) калибровочных преобразований можно классифицировать как сечения расслоения струй, удовлетворяющие определенным свойствам. Существуют представления, которые преобразуются ковариантно поточечно (называемые физиками калибровочными преобразованиями первого рода), представления, которые преобразуются как форма связи (называемые физиками калибровочными преобразованиями второго рода, аффинным представлением) – и другие более общие представления, такие как поле B в теории BF . Существуют более общие нелинейные представления (реализации), но они чрезвычайно сложны. Тем не менее, нелинейные сигма-модели преобразуются нелинейно, поэтому есть приложения.

Если существует главное расслоение P которого , базовым пространством является пространство или пространство-время , а структурная группа является группой Ли, то сечения P образуют главное однородное пространство группы калибровочных преобразований.

Связности (калибровочные связи) определяют это главное расслоение, давая ковариантную производную ∇ в каждом ассоциированном векторном расслоении . Если выбран локальный репер (локальный базис сечений), то эта ковариантная производная представляется формой связи A со значениями алгебры Ли , 1-формой называется калибровочным потенциалом , которая в физике . Очевидно, это не внутренняя, а зависящая от системы координат величина. Форма кривизны F со значениями алгебры Ли , 2-форма , которая является внутренней величиной, строится из формы связности с помощью

\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}

где d обозначает внешнюю производную и $\wedge$ обозначает клиновой продукт . ( $\mathbf {A}$ является элементом векторного пространства, натянутого генераторами $T^{a}$ , и поэтому компоненты $\mathbf {A}$ не ездите друг с другом. Следовательно, клиновое произведение $\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$ не исчезает.)

Инфинитезимальные калибровочные преобразования образуют алгебру Ли, которая характеризуется гладким скаляром со значениями в алгебре Ли , ε. При таком бесконечно малом калибровочном преобразовании

\delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon

где $[\cdot ,\cdot ]$ это скобка Ли.

Одна приятная вещь: если $\delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X$ , затем $\delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX$ где D — ковариантная производная

DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X

Также, $\delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =[\varepsilon ,\mathbf {F} ]$ , что означает $\mathbf {F}$ преобразуется ковариантно.

могут быть порождены бесконечно малыми Не все калибровочные преобразования вообще калибровочными преобразованиями. Примером может служить случай, когда базовое многообразие представляет собой компактное многообразие без края , такое что гомотопический класс отображений этого многообразия в группу Ли нетривиален. См. Инстантоне пример в .

Действие Янга – Миллса теперь задается формулой

{\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]

где * означает двойственный Ходжу , а интеграл определяется как в дифференциальной геометрии .

Величина, которая является калибровочно-инвариантной (т. е. инвариантной относительно калибровочных преобразований), представляет собой петлю Вильсона , которая определяется на любом замкнутом пути γ следующим образом:

\chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)

где х — характер комплексного представления р и ${\mathcal {P}}$ представляет оператор, упорядоченный по пути.

Формализм калибровочной теории переносится на общую ситуацию. Например, достаточно спросить, чтобы векторное расслоение имело метрическую связность ; когда вы это сделаете, вы обнаружите, что метрическая связь удовлетворяет уравнениям движения Янга – Миллса.

Квантование калибровочных теорий

Калибровочные теории могут быть квантованы путем специализации методов, применимых к любой квантовой теории поля . Однако из-за тонкостей, налагаемых калибровочными ограничениями (см. раздел «Математический формализм» выше), необходимо решить множество технических проблем, которые не возникают в других теориях поля. В то же время более богатая структура калибровочных теорий позволяет упростить некоторые вычисления: например, тождества Уорда связывают разные константы перенормировки .

Методы и цели

Первой квантованной калибровочной теорией была квантовая электродинамика (КЭД). Первые методы, разработанные для этого, включали фиксацию калибровки, а затем применение канонического квантования . Гупта -Блейлера Для решения этой проблемы также был разработан метод . Неабелевы калибровочные теории сейчас рассматриваются различными способами. Методы квантования описаны в статье о квантовании .

Главный смысл квантования — это возможность вычислять квантовые амплитуды для различных процессов, допускаемых теорией. Технически они сводятся к вычислению неких корреляционных функций в состоянии вакуума . Это предполагает перенормировку теории.

Когда текущая связь теории достаточно мала, все необходимые величины могут быть вычислены в теории возмущений . Схемы квантования, предназначенные для упрощения таких вычислений (например, каноническое квантование ), можно назвать схемами пертурбативного квантования . В настоящее время некоторые из этих методов приводят к наиболее точной экспериментальной проверке калибровочных теорий.

Однако в большинстве калибровочных теорий есть много интересных вопросов, не являющихся пертурбативными. Схемы квантования, подходящие для решения этих задач (например, калибровочная теория решетки ), можно назвать непертурбативными схемами квантования . Точные вычисления в таких схемах часто требуют суперкомпьютеров и поэтому в настоящее время менее развиты, чем другие схемы.

Аномалии

Тогда оказывается, что некоторые симметрии классической теории не соблюдаются в квантовой теории; явление, называемое аномалией . Среди наиболее известных можно назвать:

Масштабная аномалия , приводящая к появлению бегущей константы связи . В КЭД это приводит к явлению полюса Ландау . В квантовой хромодинамике (КХД) это приводит к асимптотической свободе .
Киральная аномалия как в киральной, так и в векторной теории поля с фермионами. Это имеет тесную связь с топологией через понятие инстантонов . В КХД эта аномалия приводит к распаду пиона на два фотона .
Калибровочная аномалия , которая должна устраняться в любой последовательной физической теории. В электрослабой теории такое сокращение требует равного числа кварков и лептонов .

Чистый калибр

Чистая калибровка — это набор полевых конфигураций, полученных калибровочным преобразованием конфигурации нулевого поля, т. е. нулевым калибровочным преобразованием. То есть это особая «калибровочная орбита» в пространстве конфигурации поля.

Таким образом, в абелевом случае, когда $A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x)$ , чистая калибровка — это просто набор конфигураций поля $A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)$ для всех $ж (Икс)$ .

См. также

Ссылки

^ Брэдинг, Кэтрин (1941). «Какая симметрия? Нётер, Вейль и сохранение электрического заряда» . Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (1): 3–22. Бибкод : 2002ШПМП..33....3Б . дои : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8 .
^ Джексон, доктор медицинских наук; Окунь, Л.Б. (14 сентября 2001 г.). «Исторические корни калибровочной инвариантности» . Обзоры современной физики . 73 (3): 663–680. arXiv : hep-ph/0012061 . дои : 10.1103/RevModPhys.73.663 . ISSN 0034-6861 . Открытие симметрии при калибровочных преобразованиях (1а,б,в) квантовомеханической системы заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитными полями, принадлежит Фоку (1926б)
^ О'Рейфертай, Лохлайнн; Штрауманн, Норберт (1 января 2000 г.). «Калибровочная теория: историческое происхождение и некоторые современные разработки» . Обзоры современной физики . 72 (1): 1–23. дои : 10.1103/RevModPhys.72.1 . ISSN 0034-6861 .
^ Паули, Вольфганг (1941). «Релятивистские теории поля элементарных частиц» . Преподобный Мод. Физ . 13 (3): 203–32. Бибкод : 1941РвМП...13..203П . дои : 10.1103/revmodphys.13.203 .
^ Бэгготт, Дж. Э. (2013). Квантовая история: история за 40 мгновений (Впечатление: 3-е изд.). Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-956684-6 .
^ Ян CN, Миллс RL (1954). «Сохранение изотопического спина и инвариантности изотопной калибровки» . Физ. Откр. 96 (1): 191–195. Бибкод : 1954PhRv...96..191Y . дои : 10.1103/PhysRev.96.191 .
^ Дональдсон, Саймон К. (1983). «Самодуальные связности и топология гладких 4-многообразий» . Бык. амер. Математика. Соц. 8 (1): 81–83. дои : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 . МР 0682827 .
^ Зайберг, Н .; Виттен, Э. (1994a), «Электро-магнитная двойственность, монопольная конденсация и конфайнмент в суперсимметричной теории Янга-Миллса N = 2», Nuclear Physics B , 426 (1): 19–52, arXiv : hep-th/9407087 , Bibcode : 1994NuPhB.426...19S , doi : 10.1016/0550-3213(94)90124-4 , MR 1293681 , S2CID 14361074 ; «Ошибка», Nuclear Physics B , 430 (2): 485–486, 1994, Бибкод : 1994NuPhB.430..485. , doi : 10.1016/0550-3213(94)00449-8 , МР 1303306
^ Зайберг, Н .; Виттен, Э. (1994b), «Монополи, дуальность и нарушение киральной симметрии в суперсимметричной КХД N = 2», Nuclear Physics B , 431 (3): 484–550, arXiv : hep-th/9408099 , Bibcode : 1994NuPhB.431 ..484S , doi : 10.1016/0550-3213(94)90214-3 , MR 1306869 , S2CID 17584951
^ Джексон, доктор медицинских наук; Окунь, Л.Б. (2001). «Исторические корни калибровочной инвариантности». Обзоры современной физики . 73 (3): 663. arXiv : hep-ph/0012061 . Бибкод : 2001РвМП...73..663J . дои : 10.1103/RevModPhys.73.663 . S2CID 8285663 .
^ Пикеринг, А. (1984). Создание кварков . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-66799-5 .
^ Дж. Дж. Сакураи, Продвинутая квантовая механика , Аддисон-Уэсли, 1967, разд. 1–4.

Библиография

Общие читатели

Шумм, Брюс (2004) Вещи в глубине . Издательство Университета Джонса Хопкинса. Особенно глава 8. Серьезная попытка физика объяснить калибровочную теорию и Стандартную модель с помощью формальной математики.

Тексты

Грейнер, Уолтер; Мюллер, Берндт (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Спрингер . ISBN 3-540-67672-4 .
Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851961-3 .
Фрэмптон, П. (2008). Теории калибровочного поля (3-е изд.). Вайли-ВЧ .
Кейн, GL (1987). Современная физика элементарных частиц . Книги Персея. ISBN 0-201-11749-5 .

Статьи

Бекки, К. (1997). «Введение в калибровочные теории». arXiv : hep-ph/9705211 .
Гросс, Д. (1992). «Теория калибровки – прошлое, настоящее и будущее» . Проверено 23 апреля 2009 г.
Джексон, JD (2002). «От Лоренца к Кулону и другим явным калибровочным преобразованиям». Являюсь. Дж. Физ . 70 (9): 917–928. arXiv : физика/0204034 . Бибкод : 2002AmJPh..70..917J . дои : 10.1119/1.1491265 . S2CID 119652556 .
Светличный, Георгий (1999). «Подготовка к калибровочной теории». arXiv : math-ph/9902027 .

Внешние ссылки

[Brading-1] Брэдинг, Кэтрин (1941). «Какая симметрия? Нётер, Вейль и сохранение электрического заряда» . Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 33 (1): 3–22. Бибкод : 2002ШПМП..33....3Б . дои : 10.1016/S1355-2198(01)00033-8 .

[2] Джексон, доктор медицинских наук; Окунь, Л.Б. (14 сентября 2001 г.). «Исторические корни калибровочной инвариантности» . Обзоры современной физики . 73 (3): 663–680. arXiv : hep-ph/0012061 . дои : 10.1103/RevModPhys.73.663 . ISSN 0034-6861 . Открытие симметрии при калибровочных преобразованиях (1а,б,в) квантовомеханической системы заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитными полями, принадлежит Фоку (1926б)

[O’Raifeartaigh-3] О'Рейфертай, Лохлайнн; Штрауманн, Норберт (1 января 2000 г.). «Калибровочная теория: историческое происхождение и некоторые современные разработки» . Обзоры современной физики . 72 (1): 1–23. дои : 10.1103/RevModPhys.72.1 . ISSN 0034-6861 .

[4] Паули, Вольфганг (1941). «Релятивистские теории поля элементарных частиц» . Преподобный Мод. Физ . 13 (3): 203–32. Бибкод : 1941РвМП...13..203П . дои : 10.1103/revmodphys.13.203 .

[Baggott40-5] Бэгготт, Дж. Э. (2013). Квантовая история: история за 40 мгновений (Впечатление: 3-е изд.). Оксфорд: Оксфордский университет. Нажимать. ISBN 978-0-19-956684-6 .

[6] Ян CN, Миллс RL (1954). «Сохранение изотопического спина и инвариантности изотопной калибровки» . Физ. Откр. 96 (1): 191–195. Бибкод : 1954PhRv...96..191Y . дои : 10.1103/PhysRev.96.191 .

[7] Дональдсон, Саймон К. (1983). «Самодуальные связности и топология гладких 4-многообразий» . Бык. амер. Математика. Соц. 8 (1): 81–83. дои : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 . МР 0682827 .

[8] Зайберг, Н .; Виттен, Э. (1994a), «Электро-магнитная двойственность, монопольная конденсация и конфайнмент в суперсимметричной теории Янга-Миллса N = 2», Nuclear Physics B , 426 (1): 19–52, arXiv : hep-th/9407087 , Bibcode : 1994NuPhB.426...19S , doi : 10.1016/0550-3213(94)90124-4 , MR 1293681 , S2CID 14361074 ; «Ошибка», Nuclear Physics B , 430 (2): 485–486, 1994, Бибкод : 1994NuPhB.430..485. , doi : 10.1016/0550-3213(94)00449-8 , МР 1303306

[9] Зайберг, Н .; Виттен, Э. (1994b), «Монополи, дуальность и нарушение киральной симметрии в суперсимметричной КХД N = 2», Nuclear Physics B , 431 (3): 484–550, arXiv : hep-th/9408099 , Bibcode : 1994NuPhB.431 ..484S , doi : 10.1016/0550-3213(94)90214-3 , MR 1306869 , S2CID 17584951

[JacksonOkun-10] Джексон, доктор медицинских наук; Окунь, Л.Б. (2001). «Исторические корни калибровочной инвариантности». Обзоры современной физики . 73 (3): 663. arXiv : hep-ph/0012061 . Бибкод : 2001РвМП...73..663J . дои : 10.1103/RevModPhys.73.663 . S2CID 8285663 .

[Pickering-11] Пикеринг, А. (1984). Создание кварков . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-66799-5 .

[12] Дж. Дж. Сакураи, Продвинутая квантовая механика , Аддисон-Уэсли, 1967, разд. 1–4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]