С 0 -полугруппа

В математическом анализе полугруппа C0 _- , также известная как сильно непрерывная однопараметрическая полугруппа , является обобщением показательной функции . Точно так же, как экспоненциальные функции обеспечивают решения скалярных линейных с постоянными коэффициентами обыкновенных дифференциальных уравнений , сильно непрерывные полугруппы дают решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в банаховых пространствах . Такие дифференциальные уравнения в банаховых пространствах возникают, например, из дифференциальных уравнений с запаздыванием и уравнений в частных производных .

Формально сильно непрерывная полугруппа — это представление полугруппы ( R + _, +) в некотором банаховом пространстве X в , непрерывное сильной операторной топологии .

Формальное определение

в Сильно непрерывная полугруппа банаховом пространстве. $X$ это карта $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ (где $L(X)$ — пространство ограниченных операторов на $X$) такой, что

1. $T(0)=I$, ( тождественный оператор на $X$)
2. $\forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)$
3. $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$, как $t\downarrow 0$.

Первые две аксиомы являются алгебраическими и утверждают, что $T$ является представлением полугруппы ${(\mathbb {R} _{+},+)}$; последний является топологическим и утверждает, что карта $T$ непрерывен топологии в сильной операторной .

Бесконечно-малый генератор

Инфинитезимальный генератор A сильно непрерывной полугруппы T определяется формулой

$A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x$

всякий раз, когда существует предел. Область определения A , , D ( A ), — это набор x ∈ X для которого этот предел существует; D ( A ) — линейное подпространство и A линейно , в этой области. Оператор A замкнут , не обязательно ограничен , а область определения плотна в X. хотя и

Сильно непрерывная полугруппа T с генератором A часто обозначается символом $e^{At}$ (или, что то же самое, $\exp(At)$). Это обозначение совместимо с обозначениями матричных экспонент и функций оператора, определенного с помощью функционального исчисления (например, с помощью спектральной теоремы ).

Равномерно непрерывная полугруппа

Равномерно непрерывная полугруппа — это сильно непрерывная полугруппа T такая, что

$\lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0$

держит. В этом случае бесконечно малый генератор A группы T ограничен, и мы имеем

${\mathcal {D}}(A)=X$

и

$T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.$

Обратно , любой ограниченный оператор

$A\colon X\to X$

— бесконечно малый генератор равномерно непрерывной полугруппы, заданной формулой

$T(t):=e^{At}$.

Таким образом, линейный оператор A является инфинитезимальным генератором равномерно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда A — ограниченный линейный оператор. Если X — конечномерное банахово пространство, то любая сильно непрерывная полугруппа является равномерно непрерывной полугруппой. Для сильно непрерывной полугруппы, которая не является равномерно непрерывной полугруппой, инфинитезимальный генератор A не ограничен. В этом случае, $e^{At}$ не нужно сходиться.

Примеры

Полугруппа умножения

Рассмотрим банахово пространство $C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continuous}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ such that }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}$ наделен нормой супа $\Vert f\Vert :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert$. Позволять $q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ быть непрерывной функцией с ${\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty$. Оператор $M_{q}f:=q\cdot f$ с доменом $D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}$ является замкнутым плотно определенным оператором и порождает полугруппу умножения $(T_{q}(t))_{t\geq 0}$ где $T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.$ Операторы умножения можно рассматривать как бесконечномерное обобщение диагональных матриц и многих свойств $M_{q}$ может быть получено по свойствам $q$. Например $M_{q}$ ограничен $C_{0}(\mathbb {R)}$ тогда и только тогда, когда $q$ ограничен ​ .

Полугруппа перевода

Позволять $C_{ub}(\mathbb {R} )$ — пространство ограниченных равномерно непрерывных функций на $\mathbb {R}$ наделен нормой суп. (Левая) полугруппа перевода $(T_{l}(t))_{t\geq 0}$ дается $T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R}$.

Его генератором является производная $Af:=f'$ с доменом $D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}$.

Абстрактные задачи Коши

Рассмотрим абстрактную задачу Коши :

$u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,$

где A — замкнутый оператор банаховом пространстве X и x ∈ X. в Существует две концепции решения этой проблемы:

• функция непрерывно дифференцируемая D u : [0, ∞) → X называется классическим решением задачи Коши, если u ( t ) ∈ ( A ) для всех t > 0 и она удовлетворяет задаче начального значения,
• непрерывная функция u : [0, ∞) → X называется мягким решением задачи Коши, если

$\int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.$

Любое классическое решение – это мягкое решение. Мягкое решение является классическим тогда и только тогда, когда оно непрерывно дифференцируемо.

Следующая теорема связывает абстрактные задачи Коши и сильно непрерывные полугруппы.

Теорема: Пусть A замкнутый оператор в банаховом пространстве X. — Следующие утверждения эквивалентны:

1. для всех x ∈ X существует единственное мягкое решение абстрактной задачи Коши:
2. оператор A порождает сильно непрерывную полугруппу,
3. резольвентное множество A D непусто ∈ всех x ( ) A и для существует единственное классическое решение задачи Коши.

Когда эти утверждения верны, решение задачи Коши определяется выражением u ( t ) = T ( t ) x где T — сильно непрерывная полугруппа, порожденная A. ,

Теоремы о порождении

В связи с задачами Коши обычно дается линейный оператор А и возникает вопрос, является ли он генератором сильно непрерывной полугруппы. Теоремы, отвечающие на этот вопрос, называются теоремами о порождении . Полную характеристику операторов, порождающих экспоненциально ограниченные сильно непрерывные полугруппы, дает теорема Хилле–Йосиды . Однако более практическое значение имеют гораздо более простые для проверки условия, данные теоремой Люмера-Филлипса .

Специальные классы полугрупп

Равномерно непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется равномерно непрерывной , если отображение t → T ( t ) непрерывно от [0, ∞) до L ( X ).

Генератор равномерно непрерывной полугруппы — ограниченный оператор .

Аналитические полугруппы

Основная статья: аналитическая полугруппа

Сжимающие полугруппы

C если ₀ -полугруппа Γ( t ), t ≥ 0, называется полугруппой квазисжимания, существует константа ω такая, что ||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) для всех t ≥ 0. Γ( t ) называется сжимающей полугруппой , если ||Γ( t )|| ≤ 1 для всех t ≥ 0.

Дифференцируемые полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном итоге дифференцируемой , если существует t ₀ > 0 такой, что T ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) (эквивалентно: T ( t ) X ⊂ D ( A ) для всех t ≥ t ₀ ) и T , немедленно дифференцируемо если T ( t ) X ⊂ D ( A ) для всех t > 0 .

Любая аналитическая полугруппа непосредственно дифференцируема.

Эквивалентная характеристика в терминах задач Коши следующая: сильно непрерывная полугруппа, порожденная A, в конечном счете дифференцируема тогда и только тогда, когда существует t ₁ ≥ 0 такое, что для всех x ∈ X решение u абстрактной задачи Коши дифференцируемо на ( т ₁ , ∞) . Полугруппа немедленно дифференцируема, если t ₁ можно выбрать равным нулю.

Компактные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа T называется в конечном итоге компактной , если существует t ₀ > 0 такое, что T ( t ₀ ) является компактным оператором (эквивалентно если T ( t ) компактный оператор для всех t ≥ t ₀ ) . Полугруппа называется непосредственно компактной , если T ( t ) — компактный оператор для всех t > 0.

Нормо-непрерывные полугруппы

Сильно непрерывная полугруппа называется в конечном итоге непрерывной по норме , если существует t0 _≥ 0 такое, что отображение t → T ( t ) непрерывно от ( t0 _, ∞) до L ( X ). Полугруппа называется немедленно непрерывной по норме, если t ₀ можно выбрать равным нулю.

Обратите внимание, что для полугруппы, непрерывной по норме, отображение t → T ( t ) может не быть непрерывным в t = 0 (это сделало бы полугруппу равномерно непрерывной).

Аналитические полугруппы, (в конечном итоге) дифференцируемые полугруппы и (в конечном итоге) компактные полугруппы все в конечном итоге непрерывны по норме.

Стабильность

Экспоненциальная стабильность

Границей роста полугруппы T является константа

$\omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.$

Оно называется так потому, что это число также является нижней границей всех действительных чисел ω таких, что существует константа M (≥ 1) с

$\|T(t)\|\leq Me^{\omega t}$

для всех t ≥ 0.

Следующие действия эквивалентны:

1. Существуют M , ω >0 такие, что для всех t ≥ 0: $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$
2. Граница роста отрицательна: ω ₀ < 0,
3. Полугруппа сходится к нулю в равномерной операторной топологии : $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$,
4. Существует t ₀ > 0 такое, что $\|T(t_{0})\|<1$,
5. Существует t ₁ > 0 такой, что радиус спектральный T ( t ₁ ) строго меньше 1,
6. Существует p ∈ [1, ∞) такой, что для всех x ∈ X : $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$,
7. Для всех p ∈ [1, ∞) и всех x ∈ X : $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$

Полугруппа, удовлетворяющая этим эквивалентным условиям, называется экспоненциально устойчивой или равномерно устойчивой (в некоторых частях литературы за определение принимается любое из первых трех приведенных выше утверждений). что Л ^п условия эквивалентны экспоненциальной устойчивости, называется теоремой Датко-Пази .

В случае, если X — гильбертово пространство, существует еще одно условие, эквивалентное экспоненциальной устойчивости с точки зрения резольвентного оператора генератора: все λ с положительной вещественной частью принадлежат резольвентному множеству A , а резольвентный оператор равномерно ограничен в правой полуплоскости, т. е. ( λI − A ) ⁻¹ принадлежит пространству Харди $H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))$. Это называется теоремой Гехархарта-Прусса .

Спектральной границей оператора A является константа

$s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}$,

с соглашением, что s ( A ) = −∞, если A пуст спектр .

Граница роста полугруппы и спектральная граница ее генератора связаны соотношением s ( А ) ≤ ω ₀ ( Т ). Есть примеры где s ( А ) < ω ₀ ( Т ). Если s ( A ) = ω0 _{условию} ( T ), то роста говорят, что T удовлетворяет , определяемому спектром . В конечном итоге непрерывные по норме полугруппы удовлетворяют условию спектрально детерминированного роста. Это дает еще одну эквивалентную характеристику экспоненциальной устойчивости этих полугрупп:

• Полугруппа, непрерывная по норме, экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда s ( A ) < 0.

Обратите внимание, что в конечном итоге компактные, в конечном итоге дифференцируемые, аналитические и равномерно непрерывные полугруппы в конечном итоге непрерывны по норме, так что условие спектрально определенного роста выполняется, в частности, для этих полугрупп.

Сильная стабильность

Сильно непрерывная полугруппа T называется сильно стабильной или асимптотически устойчивой , если для всех x ∈ X : $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$.

Экспоненциальная устойчивость подразумевает сильную устойчивость, но обратное, как правило, неверно, если X бесконечномерно (это верно для X конечномерного).

Следующее достаточное условие сильной устойчивости называется теоремой Арендта–Бэтти–Любича–Фонга : Предположим, что

1. T ограничено: существует M ≥ 1 такое, что $\|T(t)\|\leq M$,
2. A не имеет точечного спектра на мнимой оси, и
3. Спектр А , расположенный на мнимой оси, счетен.

Тогда T сильно устойчив.

Если X рефлексивно, то условия упрощаются: если T ограничен, A не имеет собственных значений на мнимой оси и спектр A , расположенный на мнимой оси, счетен, то T сильно устойчив.

См. также

• Теорема Хилле – Йосиды
• Теорема Люмера – Филлипса
• Теорема Троттера – Като
• Аналитическая полугруппа
• Сокращение (теория операторов)
• Матричная экспонента
• Сильно непрерывное семейство операторов
• Абстрактное дифференциальное уравнение

Ссылки

• Э. Хилле, Р. С. Филлипс: функциональный анализ и полугруппы . Американское математическое общество, 1975.
• RF Curtain , HJ Zwart: Введение в бесконечномерную теорию линейных систем . Спрингер Верлаг, 1995.
• Э.Б. Дэвис : Однопараметрические полугруппы (монографии LMS), Academic Press, 1980, ISBN   0-12-206280-9 .
• Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000), Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений , Спрингер
• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2001), Векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Биркхаузер
• Стаффанс, Олоф (2005), Корректные линейные системы , Издательство Кембриджского университета
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer
• Партингтон, Джонатан Р. (2004), Линейные операторы и линейные системы , Тексты для студентов Лондонского математического общества , Cambridge University Press , ISBN  0-521-54619-2