Упаковка сферы в сферу

Упаковка сфер в сферу — это трёхмерная задача упаковки , цель которой — упаковать заданное количество равных сфер внутри единичной сферы . Это трехмерный эквивалент упаковки кругов в задаче о круге в двух измерениях.

Количество внутренние сферы	Максимальный радиус внутренних сфер		Упаковка плотность	Оптимальность	Договоренность	Диаграмма
	Точная форма	Приблизительный
1	$1$	1.0000	1	Тривиально оптимально.	Точка
2	${\dfrac {1}{2}}$	0.5000	0.25	Тривиально оптимально.	Отрезок линии
3	$2{\sqrt {3}}-3$	0.4641...	0.29988...	Тривиально оптимально.	Треугольник
4	${\sqrt {6}}-2$	0.4494...	0.36326...	Доказанный оптимальный вариант.	Тетраэдр
5	${\sqrt {2}}-1$	0.4142...	0.35533...	Доказанный оптимальный вариант.	Треугольная бипирамида
6	${\sqrt {2}}-1$	0.4142...	0.42640...	Доказанный оптимальный вариант.	Октаэдр
7	${\frac {1}{{\frac {{\sqrt {3}}+2\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}{\sqrt {2+2{\sqrt {3}}\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}}+1}}$	0.3859...	0.40231...	Доказанный оптимальный вариант.	Закрытый октаэдр
8	${\frac {1}{{\sqrt {2+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}+1}}$	0.3780...	0.43217...	Доказанный оптимальный вариант.	Квадратная антипризма
9	${\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}$	0.3660...	0.44134...	Доказанный оптимальный вариант.	Треугольная призма с тремя вершинами
10		0.3530...	0.44005...	Доказанный оптимальный вариант.
11	${\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	0.3445...	0.45003...	Доказанный оптимальный вариант.	Уменьшенный икосаэдр
12	${\dfrac {{\sqrt {5}}-3}{2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	0.3445...	0.49095...	Доказанный оптимальный вариант.	Икосаэдр