Планиметр

Планиметр платометр , также известный как измерительный , представляет собой прибор, используемый для определения площади произвольной двумерной формы.

Строительство

Существует несколько видов планиметров, но все они работают одинаково. Точный способ их изготовления различается: основными типами механических планиметров являются полярные, линейные и планиметры Притца или «топорика». Швейцарский математик Якоб Амслер-Лаффон построил первый современный планиметр в 1854 году, а пионером этой концепции был Иоганн Мартин Герман в 1818 году. ^[1] Многие разработки последовали за знаменитым планиметром Амслера, включая электронные версии.

Различные типы планиметров

Полярный планиметр
Планиметр (1908 г.), измеряющий указанную площадь по ее периметру.
Полярный планиметр Амслера
Линейный планиметр. Колеса позволяют без ограничений измерять большие площади.
Три планиметра: цифровой, Притца (топорик) и Амслера (полярный).
Планиметр Притца с колесом слева

Тип Амслера (полярный) состоит из двухзвенной рычажной системы. В конце одной ссылки находится указатель, используемый для обхода границы измеряемой формы. Другой конец рычажного механизма свободно поворачивается под действием груза, который удерживает его от перемещения. Рядом со стыком двух звеньев находится измерительное колесо калиброванного диаметра со шкалой, показывающей точное вращение, и червячной передачей для шкалы счетчика вспомогательных оборотов. Когда контур области прорисован, это колесо катится по поверхности рисунка. Оператор устанавливает колесо, поворачивает счетчик на ноль, а затем проводит указателем по периметру фигуры. Когда обводка завершена, шкалы на измерительном колесе показывают площадь фигуры.

Когда измерительное колесо планиметра движется перпендикулярно его оси, оно катится, и это движение фиксируется. Когда измерительное колесо движется параллельно своей оси, колесо скользит, не катясь, поэтому это движение игнорируется. Это означает, что планиметр измеряет расстояние, которое проходит его измерительное колесо, проецируемое перпендикулярно оси вращения измерительного колеса. Площадь формы пропорциональна числу оборотов, на которые вращается измерительное колесо.

Конструкция полярного планиметра ограничена измерением площадей в пределах, определяемых его размером и геометрией. Однако линейный тип не имеет ограничения в одном измерении, поскольку может катиться. Его колеса не должны буксовать, ведь движение должно быть ограничено прямой линией.

С помощью планиметра можно установить положение первого момента площади ( центра масс ) и даже второго момента площади .

Различные типы планиметров

Линейный планиметр
Полярный планиметр

На изображениях показаны принципы работы линейного и полярного планиметра. Указатель М на одном конце планиметра следует контуру С измеряемой поверхности S. Для линейного планиметра движение «колена» E ограничено осью y . В полярном планиметре «локоть» соединяется с рычагом, а другая его конечная точка O находится в фиксированном положении. К рычагу ME подключено измерительное колесо, ось вращения которого параллельна ME. Движение руки ME можно разложить на движение, перпендикулярное ME, вызывающее вращение колеса, и движение, параллельное ME, вызывающее занос колеса, не влияющее на его показания.

Принцип

Работу линейного планиметра можно объяснить измерением площади прямоугольника ABCD (см. изображение). Двигаясь с указателем от A к B, плечо EM проходит через желтый параллелограмм площадью PQ×EM. Эта площадь также равна площади параллелограмма A"ABB". Измерительное колесо измеряет расстояние PQ (перпендикулярно EM). Двигаясь от C к D, рука EM проходит через зеленый параллелограмм, площадь которого равна площади прямоугольника D"DCC". Измерительное колесо теперь движется в противоположном направлении, вычитая это показание из предыдущего. Движения вдоль BC и DA одинаковы, но противоположны, поэтому они нейтрализуют друг друга, не влияя на показания колеса. Конечным результатом является измерение разницы желтой и зеленой областей, которая и есть площадь ABCD.

Математический вывод

Работу линейного планиметра можно оправдать, применив теорему Грина к компонентам векторного поля N, определяемым формулой:

\!\,N(x,y)=(b-y,x),

где b — координата y колена E.

Это векторное поле перпендикулярно измерительному плечу EM:

{\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0

и имеет постоянный размер, равный длине м измерительного плеча :

\!\,\|N\|={\sqrt {(b-y)^{2}+x^{2}}}=m

Затем:

{\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (b-y)}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}

потому что:

{\frac {\partial }{\partial y}}(y-b)={\frac {\partial }{\partial y}}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,

Левая часть приведенного выше уравнения, равная площади A, заключенной в контур, пропорциональна расстоянию, измеренному измерительным колесом, с коэффициентом пропорциональности m - длине измерительного рычага.

Обоснование приведенного выше вывода заключается в том, что линейный планиметр регистрирует движение только перпендикулярно его измерительному рычагу или когда

N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy

не равно нулю. Когда эту величину интегрируют по замкнутой кривой C, следуют теорема Грина и площадь.

Полярные координаты

Связь с теоремой Грина можно понять с точки зрения интегрирования в полярных координатах : в полярных координатах площадь вычисляется с помощью интеграла ${\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ где интегрируемая форма квадратична по r, что означает, что скорость изменения площади относительно изменения угла изменяется квадратично в зависимости от радиуса.

Для параметрического уравнения в полярных координатах, где r и θ меняются в зависимости от времени, это становится $\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.$

Для полярного планиметра полный поворот колеса пропорционален ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}$ поскольку вращение пропорционально пройденному расстоянию, которое в любой момент времени пропорционально радиусу и изменяется по углу, как и длина окружности ( ${\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}$ ).

Это последнее подынтегральное выражение ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ можно признать производной от предыдущего подынтегрального выражения ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}$ (относительно r ) и показывает, что полярный планиметр вычисляет интеграл площади через производную , что отражено в теореме Грина, которая приравнивает линейный интеграл функции на (1-мерном) контуре к (2 -мерный) интеграл от производной.

См. также

Ссылки

^ «Планиметры» .

Источники

Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2007), «Глава 8: В погоне за вешалками» , Насколько кругл ваш круг?: Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 138–171, ISBN 978-0-691-13118-4
Гаттердам, Р.В. (1981), «Планиметр как пример теоремы Грина», The American Mathematical Monthly , 88 (9): 701–704, doi : 10.2307/2320679 , JSTOR 2320679
Ходжсон, Джон Л. (1 апреля 1929 г.), «Интеграция диаграмм расходомеров», Journal of Scientific Instruments , 6 (4): 116–118, Бибкод : 1929JScI....6..116H , doi : 10.1088/0950 -7671/6/4/302
Хорсбург, Э.М. (1914), Празднование трехсотлетия Нэпиера: Справочник выставки реликвий Нэпиера и книг, инструментов и устройств для облегчения вычислений , Королевское общество Эдинбурга
Дженнингс, Г. (1985), Современная геометрия с приложениями , Springer
Лоуэлл, Л.И. (1954), «Комментарии к полярному планиметру», The American Mathematical Monthly , 61 (7): 467–469, doi : 10.2307/2308082 , JSTOR 2308082
Уитли, JY (1908), Полярный планиметр , Нью-Йорк: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

Внешние ссылки

[1] «Планиметры» .

[1]