Цифровая линия задержки

Стандартное представление блок-схемы целочисленной линии задержки M.

Цифровая линия задержки (или просто линия задержки , также называемая фильтром задержки ) — это дискретный элемент цифрового фильтра , который позволяет задерживать сигнал на некоторое количество выборок . Линии задержки обычно используются для задержки аудиосигналов, поступающих в громкоговорители , для компенсации скорости звука в воздухе и для выравнивания видеосигналов с сопровождающим звуком, что называется синхронизацией аудио-видео . Линии задержки могут компенсировать задержку электронной обработки , так что несколько сигналов покидают устройство одновременно, несмотря на то, что они проходят по разным путям.

Цифровые линии задержки широко используются в методах моделирования акустики помещения , музыкальных инструментов и блоков эффектов . Синтез цифровых волноводов показывает, как цифровые линии задержки можно использовать в качестве методов синтеза звука для различных музыкальных инструментов, таких как струнные и духовые инструменты .

Если линия задержки содержит нецелое значение меньше единицы, это приводит к дробной линии задержки (также называемой интерполированной линией задержки или фильтром дробной задержки). Последовательность целочисленной линии задержки и дробного фильтра задержки обычно используется для моделирования произвольных фильтров задержки при цифровой обработке сигналов . Схема Датторро представляет собой стандартную реализацию цифровых фильтров, использующих дробные линии задержки.

Теория

Стандартная линия задержки с целочисленной задержкой получается в результате Z-преобразования сигнала дискретного времени. $x$ задерживается на $M$ образцы :

$y[n]=x[n-M]$ ${\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}$ $Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z).$

В этом случае, $z^{-M}=H_{M}(z)$ — это фильтр целочисленной задержки с:

${\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{linear phase with }}\omega =2\pi fT_{s}{\text{ where }}T_{s}{\text{ is the sampling period in seconds }}[s].\end{cases}}$

Фильтр области дискретного времени для целочисленной задержки $M$ как обратное дзета-преобразование $H_{M}(z)$ тривиально, так как это импульс, сдвинутый $M$:

$h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}$

Работа в области дискретного времени с дробными задержками менее тривиальна. В наиболее общей теоретической форме линия задержки с произвольной дробной задержкой определяется как стандартная линия задержки с задержкой $D\in \mathbb {R}$, который можно смоделировать как сумму целочисленной компоненты $M\in \mathbb {Z}$ и дробная составляющая $d\in \mathbb {R}$ что меньше одной выборки:

(Дробная) Линия задержки - ${\mathcal {Z}}$ Домен

$H_{D}(z)=z^{-D}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;D=\overbrace {\lfloor D\rfloor } ^{M}+\overbrace {(D-\lfloor D\rfloor )} ^{d}$ ( Защита 1 )

Это ${\mathcal {Z}}$ доменное представление нетривиальной задачи проектирования цифрового фильтра : решением является любой фильтр во временной области, который представляет или аппроксимирует обратное Z-преобразование $H_{D}(z)$.

Конструктивные решения фильтров

Наивное решение

Концептуально самое простое решение получается путем выборки решения в области непрерывного времени, что тривиально для любого значения задержки. Учитывая непрерывный сигнал $x$ задерживается на $D\in \mathbb {R}$ образцы или $\tau =DT_{s}$ секунды :

$y(t)=x(t-D)$ ${\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}$ $Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).$

В этом случае, $e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega )$ представляет собой фильтр дробной задержки в области непрерывного времени со следующими параметрами:

${\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{constant group delay}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{constant phase delay.}}\end{cases}}$

Наивное решение для выборочного фильтра $h_{ideal}[n]$ — это дискретное обратное преобразование Фурье $H_{ideal}(\omega )$, который создает непричинный БИХ- фильтр в форме кардинального синуса. $sinc()$ сдвинут на $D$:

$h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}$

Область непрерывного времени $sinc$ смещается на дробную задержку, в то время как выборка всегда выравнивается по декартовой плоскости, поэтому:

• когда задержка представляет собой целое число выборок $D\in \mathbb {N}$, выборка сместилась $sinc$ вырождается в смещённый импульс, как и в теоретическом решении.
• когда задержка представляет собой дробное число выборок $D\in \mathbb {R}$, выборка сместилась $sinc$ создает непричинный БИХ-фильтр, который на практике реализовать невозможно.

Идеальная линия дробной задержки получается путем выборки обратного преобразования Фурье фильтра дробной задержки в области непрерывного времени. Обратите внимание, что для целочисленного значения задержки этот случай вырождается в простые сдвинутые импульсы. Задержка дискретизированного сигнала с помощью этого фильтра концептуально совпадает с повторной дискретизацией его аналогового источника с равным периодом дискретизации, но выравнивание выборки смещено на $D\in \mathbb {R}$. Также обратите внимание, что на изображении показаны только несколько выборок около нуля, но непричинный БИХ определяется для бесконечного числа выборок в обоих направлениях оси X.

Усеченное причинно-следственное решение FIR

Концептуально самое простое реализуемое решение — это причинное усечение приведенного выше наивного решения.

$h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}$

Однако усечение импульсной характеристики может вызвать нестабильность, которую можно смягчить несколькими способами:

• Окно усеченной импульсной характеристики и, следовательно, ее сглаживание. Обратите внимание, что в этом случае нам нужно добавить еще один сдвиг $L$ чтобы выровнять окно и $sinc()$ и обеспечить симметричную фильтрацию .

  $h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}$

• Общий метод наименьших квадратов (GLS): итеративно настраивает частотную характеристику путем использования окна наименьшей квадратичной интегральной ошибки, которая минимизирует квадратичную интегральную ошибку между идеальными и усеченными частотными характеристиками фильтра, определяемую как:

$E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}$

• Интерполятор Лагранжа (Максимально плоский фильтр дробной задержки): добавляет ограничения «плоскостности» к первым N производным интегральной ошибки наименьших квадратов. Этот метод представляет особый интерес, поскольку имеет решение в замкнутой форме:

Представление блок-схемы формулы интерполятора Лагранжа.

$h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N$

Далее следует расширение приведенной выше формулы, отображающее результирующие фильтры порядка до $N=3$:

Расширение формулы интерполятора Лагранжа
	$h_{\tau }[0]$	$h_{\tau }[1]$	$h_{\tau }[2]$	$h_{\tau }[3]$
Н = 1	$1-D$	$D$	-	-
Н = 2	${(D-1)(D-2) \over {2}}$	$-D(D-2)$	${D(D-1) \over {2}}$	-
Н = 3	$-{(D-1)(D-2)(D-3) \over {6}}$	${D(D-2)(D-3) \over {2}}$	$-{D(D-1)(D-3) \over {2}}$	${D(D-1)(D-2) \over {6}}$

Всепроходное БИХ-фазовое приближенное решение

Другой подход заключается в разработке БИХ- фильтра порядка $N$ со структурой Z-преобразования, которая делает его всепроходным, но при этом приближается к $D$ задерживать :

$H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}$

Взаимно расположенные нули и полюса $A(z){\text{ and }}A(z^{-1})$ соответственно сгладить частоту $|\centerdot |$ реакции , а фаза является функцией фазы $A(z)$. Следовательно, проблемой становится разработка КИХ-фильтра. $A(z)$, то есть нахождение его коэффициентов $a_{k}$ как функция от D (заметим, что $a_{0}=1$ всегда), так что фаза лучше всего приближается к желаемому значению $\measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega$.

Основные решения:

• Итеративная минимизация фазовой ошибки наименьших квадратов, который определяется как:

$E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega$

• Итеративная минимизация ошибки наименьшего квадрата фазы задержки , который определяется как:

$E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}$

• Всеполюсный фильтр нижних частот Thiran с максимально плоской групповой задержкой . Это дает замкнутое решение для нахождения коэффициентов $a_{k}$ для положительной задержки $D>0$:

$a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}$

Далее следует расширение приведенной выше формулы, отображающее результирующие коэффициенты порядка до $N=3$:

Расширение формулы коэффициентов всеполюсного фильтра нижних частот Thiran
	$a_{0}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$
Н = 1	1	$-{D-1 \over {D+1}}$	-	-
Н = 2	1	$-2{D-2 \over {D+1}}$	${(D-1)(D-2) \over {(D+1)(D+2)}}$	-
Н = 3	1	$-3{D-3 \over {D+1}}$	$3{(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)}}$	$-{(D-1)(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)(D+3)}}$

Коммерческая история

Цифровая линия задержки Eventide DDL 1745

Цифровые линии задержки были впервые использованы для компенсации скорости звука в воздухе в 1973 году, чтобы обеспечить необходимое время задержки для удаленных вышек громкоговорителей на Summer Jam на Уоткинс-Глен рок-фестивале в Нью-Йорке, на котором присутствовало 600 000 человек. из Нью-Йорка Компания Eventide Clock Works предоставила цифровые устройства задержки, каждое из которых обеспечивает задержку 200 миллисекунд. Четыре башни динамиков были расположены на расстоянии 200 футов (60 м) от сцены, их сигнал задерживался на 175 мс, чтобы компенсировать скорость звука между динамиками основной сцены и башнями задержки. Еще шесть башен динамиков были размещены на расстоянии 400 футов от сцены, что потребовало задержки 350 мс, а еще шесть башен были размещены на расстоянии 600 футов от сцены и питались с задержкой 525 мс. Каждый модуль Eventide DDL 1745 содержал сто 1000-битных микросхем сдвигового регистра и специальный цифро-аналоговый преобразователь и стоил 3800 долларов (что эквивалентно 27 679 долларам в 2023 году).

См. также

• Аналоговая линия задержки
• Память линии задержки
• Интерполяция

Дальнейшее чтение

• Валимаки, Веса; Лааксо, Тимо; Карьялайнен, Матти; Лайне, Унто (1996). «Разделение единичной задержки» . Журнал обработки сигналов IEEE . 13 (1): 30–60. Бибкод : 1996ISPM...13...30L . doi : 10.1109/79.482137 — через IEEE Explore.
• Харрис, Фредерик Дж. (январь 1978 г.). «О применении окон для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. дои : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID   426548 — через IEEE Explore.

Внешние ссылки

• Введение в цифровые фильтры Джулиуса Смита
• Спектральная обработка аудиосигнала Джулиуса Смита
• Физическая обработка аудиосигнала Джулиуса Смита
• Дискретное моделирование акустических трубок с использованием фильтров дробной задержки, автор Valimaki Vesa