Борнологическое пространство

В математике , особенно в функциональном анализе , борнологическое пространство — это тип пространства, который в некотором смысле обладает минимальной структурой, необходимой для решения вопросов ограниченности множеств и линейных отображений , точно так же, как топологическое пространство обладает минимальный объем структуры, необходимый для решения вопросов преемственности . Борнологические пространства отличаются тем свойством, что линейное отображение борнологического пространства в любые локально выпуклые пространства непрерывно тогда и только тогда, когда оно является ограниченным линейным оператором .

Борнологические пространства впервые были изучены Джорджем Макки . Название придумал Бурбаки. после «борне» — французское слово, означающее « ограниченный ».

Борнологии и ограниченные карты

Основная статья: Борнология

Борнология площадке на съемочной $X$ это коллекция ${\mathcal {B}}$ подмножеств $X$ которые удовлетворяют всем следующим условиям:

1. ${\mathcal {B}}$ обложки $X;$ то есть, $X=\cup {\mathcal {B}}$;
2. ${\mathcal {B}}$ устойчив относительно включений; то есть, если $B\in {\mathcal {B}}$ и $A\subseteq B,$ затем $A\in {\mathcal {B}}$;
3. ${\mathcal {B}}$ устойчив при конечных объединениях; то есть, если $B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}$ затем $B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}$;

Элементы коллекции ${\mathcal {B}}$ называются ${\mathcal {B}}$-ограниченные или просто ограниченные множества , если ${\mathcal {B}}$ понятно. Пара $(X,{\mathcal {B}})$ называется ограниченной структурой или борнологическим множеством .

Базовая фундаментальная или система борнологии ${\mathcal {B}}$ является подмножеством ${\mathcal {B}}_{0}$ из ${\mathcal {B}}$ так, что каждый элемент ${\mathcal {B}}$ является подмножеством некоторого элемента ${\mathcal {B}}_{0}.$ Учитывая коллекцию ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X,$ наименьшая борнология, содержащая ${\mathcal {S}}$ называется борнологией, порожденной ${\mathcal {S}}.$

Если $(X,{\mathcal {B}})$ и $(Y,{\mathcal {C}})$ являются борнологическими множествами, то их произведение борнологии на $X\times Y$ Борнология имеет в своей основе совокупность всех множеств вида $B\times C,$ где $B\in {\mathcal {B}}$ и $C\in {\mathcal {C}}.$ Подмножество $X\times Y$ ограничен в борнологии произведения тогда и только тогда, когда его образ при канонических проекциях на $X$ и $Y$ оба ограничены.

Ограниченные карты

Если $(X,{\mathcal {B}})$ и $(Y,{\mathcal {C}})$ являются борнологическими множествами, то функция $f:X\to Y$ называется локально ограниченным отображением или ограниченным отображением (относительно этих борнологий), если оно отображает ${\mathcal {B}}$-ограниченные подмножества $X$ к ${\mathcal {C}}$-ограниченные подмножества $Y;$ то есть, если $f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.$ Если вдобавок $f$ является биекцией и $f^{-1}$ также ограничено, тогда $f$ называется борнологическим изоморфизмом .

Векторные борнологии

Основная статья: Векторная борнология

Позволять $X$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {K}$ где $\mathbb {K}$ имеет рождение ${\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.$ Борнология ${\mathcal {B}}$ на $X$ называется векторной борнологией на $X$ если оно устойчиво относительно сложения векторов, скалярного умножения и образования сбалансированных оболочек (т. е. если сумма двух ограниченных множеств ограничена и т. д.).

Если $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) и ${\mathcal {B}}$ это борнология на $X,$ то следующие условия эквивалентны:

1. ${\mathcal {B}}$ является векторной борнологией;
2. Конечные суммы и сбалансированные оболочки ${\mathcal {B}}$-ограниченные множества ${\mathcal {B}}$-ограниченный;
3. Карта скалярного умножения $\mathbb {K} \times X\to X$ определяется $(s,x)\mapsto sx$ и дополнительная карта $X\times X\to X$ определяется $(x,y)\mapsto x+y,$ оба ограничены, когда их домены несут свои рожденные продукты (т. е. они отображают ограниченные подмножества в ограниченные подмножества).

Векторная борнология ${\mathcal {B}}$ называется выпуклой векторной борнологией, если она устойчива относительно образования выпуклых оболочек (т.е. выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена), тогда ${\mathcal {B}}.$ И векторная борнология ${\mathcal {B}}$ называется разделенным, если единственное ограниченное векторное подпространство $X$ — 0-мерное тривиальное пространство $\{0\}.$

Обычно, $\mathbb {K}$ является либо действительным, либо комплексным числом, и в этом случае векторная борнология ${\mathcal {B}}$ на $X$ будем называть выпуклой векторной борнологией, если ${\mathcal {B}}$ имеет базу, состоящую из выпуклых множеств.

Подмножества родоядных

Подмножество $A$ из $X$ называется рожденоядным и рожденоядным, если оно поглощает любое ограниченное множество.

В векторной борнологии $A$ является рожденоядным, если оно поглощает каждое ограниченное сбалансированное множество и в выпуклой векторной борнологии $A$ является рожденоядным, если поглощает каждый ограниченный диск.

Две топологии TVS в одном и том же векторном пространстве имеют одни и те же ограниченные подмножества тогда и только тогда, когда у них одни и те же рожденоядные животные.

Каждое рождённое подмножество локально выпуклого метризуемого топологического векторного пространства является окрестностью начала координат.

Конвергенция Макки

Последовательность $x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ в ТВС $X$ называется сходящейся по Макки к $0$ если существует последовательность положительных действительных чисел $r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }$ расходится к $\infty$ такой, что $(r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $0$ в $X.$

Борнология топологического векторного пространства

Каждое топологическое векторное пространство $X,$ по крайней мере, в недискретнозначном поле дает борнологию на $X$ путем определения подмножества $B\subseteq X$ быть ограниченным (или ограниченным по фон Нейману) тогда и только тогда, когда для всех открытых множеств $U\subseteq X$ содержащий нуль, существует $r>0$ с $B\subseteq rU.$ Если $X$ является локально выпуклым топологическим векторным пространством , тогда $B\subseteq X$ ограничен тогда и только тогда, когда все непрерывные полунормы на $X$ ограничены $B.$

Множество всех ограниченных подмножеств топологического векторного пространства $X$ называется борнологией или борнологией фон Неймана . $X.$

Если $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство , то поглощающий диск $D$ в $X$ является рожденоядным (соответственно инфрарожденным) тогда и только тогда, когда его функционал Минковского локально ограничен (соответственно инфраограничен).

Индуцированная топология

Если ${\mathcal {B}}$ является выпуклой векторной борнологией в векторном пространстве $X,$ тогда коллекция ${\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)$ всех выпуклых сбалансированных подмножеств $X$ которые являются рожденоядными, образует базис окрестности в начале координат локально выпуклой топологии на $X$ называется топологией, индуцированной ${\mathcal {B}}$.

Если $(X,\tau )$ является TVS, то борнологическое пространство, связанное с $X$ векторное пространство $X$ наделенный локально выпуклой топологией, индуцированной борнологией фон Неймана $(X,\tau ).$

Теорема - Позволять $X$ и $Y$ быть локально выпуклым TVS и пусть $X_{b}$ обозначать $X$ наделенный топологией, индуцированной борнологией фон Неймана $X.$ Определять $Y_{b}$ сходным образом. Тогда линейное отображение $L:X\to Y$ является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда $L:X_{b}\to Y$ является непрерывным.

Более того, если $X$ является борнологическим, $Y$ является Хаусдорфом, и $L:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением, то также $L:X\to Y_{b}.$ Если вдобавок $X$ также ультраборнологический, то непрерывность $L:X\to Y$ подразумевает непрерывность $L:X\to Y_{ub},$ где $Y_{ub}$ ультраборнологическое пространство, связанное с $Y.$

Квазиборнологические пространства

Квазиборнологические пространства были введены С. Айахеном в 1968 году.

Топологическое векторное пространство (ТВП) $(X,\tau )$ с непрерывным двойным $X^{\prime }$ называется квазиборнологическим пространством если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Каждый ограниченный линейный оператор из $X$ в другой TVS является непрерывным .
2. Каждый ограниченный линейный оператор из $X$ в полную метризуемую TVS непрерывна.
3. Каждый узел в рожденоядной струне является окрестностью начала координат.

Всякая псевдометризуемая TVS квазиборнологична. ТВС $(X,\tau )$ в котором каждое рожденоядное множество является окрестностью начала координат, является квазиборнологическим пространством. Если $X$ является квазиборнологической TVS, то это тончайшая локально выпуклая топология на $X$ это грубее, чем $\tau$ делает $X$ в локально-выпуклое борнологическое пространство.

Борнологическое пространство

В функциональном анализе локально выпуклое топологическое векторное пространство является борнологическим пространством, если его топология может быть восстановлена ​​​​из его борнологии естественным путем.

Всякое локально-выпуклое квазиборнологическое пространство является борнологическим, но существуют борнологические пространства, не являющиеся квазиборнологическими.

Топологическое векторное пространство (ТВП) $(X,\tau )$ с непрерывным двойным $X^{\prime }$ называется борнологическим пространством , если оно локально выпукло и выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Всякое выпуклое, сбалансированное и рожденоядное множество в $X$ является окрестностью нуля.
2. Каждый ограниченный линейный оператор из $X$ в локально выпуклую TVS непрерывна .
   • Напомним, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно отображает любую последовательность, сходящую к $0$ в области к ограниченному подмножеству кодомена. В частности, любое линейное отображение, секвенциально непрерывное в начале координат, ограничено.
3. Каждый ограниченный линейный оператор из $X$ в полунормированное пространство является непрерывным.
4. Каждый ограниченный линейный оператор из $X$ в банахово пространство является непрерывным.

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством , то к этому списку можно добавить:

5. Локально выпуклая топология, индуцированная борнологией фон Неймана на $X$ то же самое, что $\tau ,$ $X$задана топология.
6. Каждая ограниченная полунорма на $X$ является непрерывным.
7. Любая другая топология хаусдорфова локально выпуклого топологического векторного пространства на $X$ который имеет ту же (фон Неймановскую) борнологию, что и $(X,\tau )$ обязательно грубее, чем $\tau .$
8. $X$ — индуктивный предел нормированных пространств.
9. $X$ — индуктивный предел нормированных пространств $X_{D}$ как $D$ варьируется по замкнутым и ограниченным дискам $X$ (или как $D$ варьируется по ограниченным дискам $X$).
10. $X$ несет топологию Макки $\tau (X,X^{\prime })$ и все ограниченные линейные функционалы на $X$ являются непрерывными.
11. $X$ имеет оба следующих свойства:
    • $X$ является выпукло-секвенциальным или C-секвенциальным , что означает, что каждое выпуклое секвенциально открытое подмножество $X$ открыт,
    • $X$ является последовательно борнологическим или S-борнологическим , что означает, что каждое выпуклое и рожденоядное подмножество $X$ последовательно открыт.
    где подмножество $A$ из $X$ называется секвенциально открытой, если каждая последовательность, сходящаяся к $0$ в конечном итоге принадлежит $A.$

Всякий секвенциально непрерывный линейный оператор из локально выпуклого борнологического пространства в локально выпуклое TVS непрерывен, где напомним, что линейный оператор секвенциально непрерывен тогда и только тогда, когда он секвенциально непрерывен в начале координат. Таким образом, для линейных отображений борнологического пространства в локально выпуклое пространство непрерывность эквивалентна секвенциальной непрерывности в начале координат. В более общем плане у нас даже есть следующее:

• Любая линейная карта $F:X\to Y$ из локально-выпуклого борнологического пространства в локально-выпуклое пространство $Y$ который отображает нулевые последовательности в $X$ ограниченным подмножествам ​ $Y$ обязательно является непрерывным.

Достаточные условия

Теорема Макки – Улама — Продукт коллекции $X_{\bullet }=(X_{i})_{i\in I}$ локально-выпуклое борнологическое пространство борнологично тогда и только тогда, когда $I$ не допускает меры Улама .

Как следствие теоремы Макки-Улама, «для всех практических целей произведение борнологических пространств является борнологическим».

Все следующие топологические векторные пространства являются борнологическими:

• Любая локально выпуклая псевдометризуемая TVS борнологична.
  • Таким образом, каждое нормированное пространство и пространство Фреше борнологичны.
• Любой строгий индуктивный предел борнологических пространств, в частности любое строгое LF -пространство , является борнологическим.
  • Это показывает, что существуют борнологические пространства, которые не метризуемы.
• Счетное произведение локально выпуклых борнологических пространств является борнологическим.
• Факторы хаусдорфовых локально-выпуклых борнологических пространств являются борнологическими.
• Прямая сумма и индуктивный предел хаусдорфовых локально выпуклых борнологических пространств являются борнологическими.
• Пространства Фреше- Монтеля имеют борнологические сильные двойственные пространства .
• Сильный двойник любого рефлексивного пространства Фреше является борнологическим.
• Если сильное двойственное метризуемому локально выпуклому пространству сепарабельно , то оно борнологическое.
• Векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого борнологического пространства. $X$ который имеет конечную коразмерность в $X$ является борнологическим.
• Наилучшая локально выпуклая топология векторного пространства является борнологической.

Контрпримеры

Существует борнологическое LB-пространство , сильный бидуал которого не является борнологическим.

Замкнутое векторное подпространство локально выпуклого борнологического пространства не обязательно является борнологическим. Существует замкнутое векторное подпространство локально выпуклого борнологического пространства, которое является полным (и, следовательно, секвенциально полным), но не является ни бочоночным, ни борнологическим.

Борнологические пространства не обязательно должны быть бочоночными , а бочоночные пространства не обязательно должны быть борнологическими. Поскольку каждое локально выпуклое ультраборнологическое пространство является бочкообразным, отсюда следует, что борнологическое пространство не обязательно является ультраборнологическим.

Характеристики

• Сильное двойственное пространство локально выпуклому борнологическому пространству полно .
• Всякое локально-выпуклое борнологическое пространство является инфрабаррельным .
• Всякая хаусдорфова последовательно полная борнологическая ТВС является ультраборнологической .
  • Таким образом, любое полное хаусдорфово борнологическое пространство является ультраборнологическим.
  • В частности, каждое пространство Фреше является ультраборнологическим.
• Конечное произведение локально выпуклых ультраборнологических пространств является ультраборнологическим.
• Каждое хаусдорфово борнологическое пространство является квазибочоночным .
• Учитывая борнологическое пространство $X$ с непрерывным двойным $X^{\prime },$ топология $X$ совпадает с топологией Макки $\tau (X,X^{\prime }).$
  • В частности, борнологические пространства — это пространства Макки .
• Каждое квазиполное (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества полны) борнологическое пространство является бочоночным . Однако существуют борнологические пространства, которые не имеют цилиндрической формы.
• Каждое борнологическое пространство является индуктивным пределом нормированных пространств (и банаховых пространств, если пространство также квазиполно).
• Позволять $X$ — метризуемое локально выпуклое пространство с непрерывным двойственным $X^{\prime }.$ Тогда следующие условия эквивалентны:
  1. $\beta (X^{\prime },X)$ является борнологическим.
  2. $\beta (X^{\prime },X)$ является квазиствольным .
  3. $\beta (X^{\prime },X)$ является бочковым .
  4. $X$ это выдающееся пространство .
• Если $L:X\to Y$ является линейным отображением локально выпуклых пространств, и если $X$ является борнологическим, то следующие условия эквивалентны:
  1. $L:X\to Y$ является непрерывным.
  2. $L:X\to Y$ является последовательно непрерывным.
  3. Для каждого набора $B\subseteq X$ это ограничено $X,$ $L(B)$ ограничен.
  4. Если $x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ является нулевой последовательностью в $X$ затем $L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }$ является нулевой последовательностью в $Y.$
  5. Если $x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ является сходящейся нулевой последовательностью Макки в $X$ затем $L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }$ является ограниченным подмножеством $Y.$
• Предположим, что $X$ и $Y$ являются локально выпуклыми TVS и что пространство непрерывных линейных отображений $L_{b}(X;Y)$ наделена топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $X.$ Если $X$ является борнологическим пространством, и если $Y$ завершено ​ тогда $L_{b}(X;Y)$ это полноценный ТВС.
  • В частности, сильный двойник локально выпуклого борнологического пространства является полным. Однако оно не обязательно должно быть роднологическим.

Подмножества

• В локально-выпуклом борнологическом пространстве каждое выпуклое множество рожденных $B$ это район $0$ ( $B$ не обязательно должен быть диском).
• Каждое рождённое подмножество локально выпуклого метризуемого топологического векторного пространства является окрестностью начала координат.
• Замкнутые векторные подпространства борнологического пространства не обязательно должны быть борнологическими.

Ультраборнологические пространства

Основная статья: Ультраборнологическое пространство

Диск в топологическом векторном пространстве. $X$ называется инфрарождённым, если он поглощает все банаховы диски .

Если $X$ локально выпукла и хаусдорфова, то диск инфрарожденен тогда и только тогда, когда он поглощает все компакт-диски.

Локально выпуклое пространство называется ультраборнологическим, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Каждый диск инфрарожденных является окрестностью начала координат.
2. $X$ — индуктивный предел пространств $X_{D}$ как $D$ варьируется на всех компакт-дисках в $X.$
3. Полунорма ​ по $X$ ограниченное на каждом банаховом диске, обязательно непрерывно.
4. Для всякого локально выпуклого пространства $Y$ и каждая линейная карта $u:X\to Y,$ если $u$ ограничено на каждом банаховом диске, тогда $u$ является непрерывным.
5. Для каждого банахова пространства $Y$ и каждая линейная карта $u:X\to Y,$ если $u$ ограничено на каждом банаховом диске, тогда $u$ является непрерывным.

Характеристики

Конечное произведение ультраборнологических пространств является ультраборнологическим. Индуктивные пределы ультраборнологических пространств являются ультраборнологическими.

См. также

• Борнология - математическое обобщение ограниченности.
• Набор Bornivorous - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство линейных карт
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.
• Векторная борнология

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . ОСЛК   17499190 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнология и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. xii+144. ISBN  0-7204-0712-5 . МР   0500064 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . ISBN  9780821807804 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .