Принципы действия

Принципы действия лежат в основе фундаментальной физики, от классической механики до квантовой механики, физики элементарных частиц и общей теории относительности. Принципы действия начинаются с энергетической функции, называемой лагранжианом, описывающей физическую систему. Накопленное значение этой энергетической функции между двумя состояниями системы называется действием . Принципы действия применяют вариационное исчисление к действию . Действие зависит от функции энергии, а функция энергии зависит от положения, движения и взаимодействий в системе: изменение действия позволяет вывести уравнения движения без вектора или сил.

Несколько различных принципов действия различаются ограничениями на их начальные и конечные условия. Названия принципов действия со временем развивались и различаются деталями конечных точек путей и характером вариаций. Квантовые принципы действия обобщают и оправдывают старые классические принципы. Принципы действия лежат в основе фейнмановской версии квантовой механики , общей теории относительности и квантовой теории поля .

Принципы действия имеют столь же широкое применение, как и в физике, включая многие проблемы классической механики, но особенно в современных задачах квантовой механики и общей теории относительности. Эти приложения накапливались в течение двух столетий по мере роста мощности метода и его дальнейшего математического развития.

В этой статье представлены концепции принципов действия и обобщаются другие статьи с более подробной информацией о концепциях и конкретных принципах.

Общие понятия

Принципы действия представляют собой « интегральные » подходы, а не « дифференциальный » подход ньютоновской механики . Основные идеи основаны на энергии, путях, энергетической функции, называемой лагранжианом вдоль путей, и выборе пути в соответствии с «действием», непрерывной суммой или интегралом лагранжиана вдоль пути.

Энергия, а не сила

Вводное изучение механики, науки о взаимодействующих объектах, обычно начинается с законов Ньютона, основанных на понятии силы , определяемой ускорением, которое она вызывает при применении к массе : $F=ma.$ Этот подход к механике фокусируется на одной точке пространства и времени, пытаясь ответить на вопрос: «Что произойдет дальше?». Механика, основанная на принципах действия, начинается с концепции действия , энергетического компромисса между кинетической и потенциальной энергией , определяемого физикой проблемы. Эти подходы отвечают на вопросы, касающиеся начальной и конечной точек: по какой траектории баскетбольный мяч попадет в кольцо? Если мы сегодня запустим ракету на Луну, как она сможет приземлиться там через 5 дней? Формы Ньютона и принципа действия эквивалентны, и любая из них может решить одни и те же проблемы, но выбор подходящей формы значительно облегчит решение.

Функция энергии в принципах действия — это не полная энергия ( сохраняющаяся в изолированной системе ), а лагранжиан — разница между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия объединяет энергию движения всех объектов системы; потенциальная энергия зависит от мгновенного положения объектов и управляет их движением. Движение объектов помещает их в новые положения с новыми значениями потенциальной энергии, что дает новое значение лагранжиана.

Использование энергии вместо силы дает немедленные преимущества в качестве основы механики. Механика силы включает трехмерное векторное исчисление с тремя пространственными координатами и тремя координатами импульса для каждого объекта в сценарии; энергия — это скалярная величина, объединяющая информацию от всех объектов, что во многих случаях дает немедленное упрощение. Компоненты силы различаются в зависимости от системы координат; значение энергии одинаково во всех системах координат. Сила требует инерциальной системы отсчета; как только скорости приближаются к скорости света , специальная теория относительности оказывает глубокое влияние на механику, основанную на силах. В принципах действия относительность просто требует другого лагранжиана: сам принцип не зависит от систем координат.

Пути, а не точки

Пояснительные диаграммы в силовой механике обычно сосредоточены на одной точке, например, на центре импульса , и показывают векторы сил и скоростей. Объяснительные диаграммы механики, основанной на действии, имеют две точки, между которыми соединяются действительные и возможные пути. Эти схематические обозначения подтверждают различные сильные стороны каждого метода.

Схематическая помощь для сил

Схематическое пособие по принципу действия

В зависимости от принципа действия две точки, соединенные путями на диаграмме, могут представлять два положения частиц в разное время или две точки могут представлять значения в конфигурационном пространстве или в фазовом пространстве . Математические технологии и терминологию принципов действия можно изучить, думая в терминах физического пространства, а затем применять их в более мощных и общих абстрактных пространствах.

Действия по пути

Принципы действия присваивают номер — действие — каждому возможному пути между двумя точками. Это число вычисляется путем сложения значения энергии для каждого небольшого участка пути, умноженного на время, проведенное на этом участке:

действие $S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\big (}{\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t){\big )}\,dt,$

где вид кинетики ( ${\text{KE}}$) и потенциал ( ${\text{PE}}$) выражения энергии зависят от физической задачи, а их значение в каждой точке пути зависит от относительных координат, соответствующих этой точке. Энергетическая функция называется лагранжианом; в простых задачах это кинетическая энергия минус потенциальная энергия системы.

Вариант пути

Система, движущаяся между двумя точками, выбирает один конкретный путь; другие подобные пути не выбираются. Каждый путь соответствует значению действия. Принцип действия предсказывает или объясняет, что конкретный выбранный путь имеет стационарное значение для действия системы: аналогичные пути рядом с выбранным имеют очень похожую ценность действия. Это изменение ценности действия является ключом к принципам действия.

Символ $\delta$ используется для обозначения изменений пути , поэтому принцип действия математически выглядит как

$(\delta A)_{C}=0,$

это означает, что в стационарной точке изменение действия $A$ с некоторыми фиксированными ограничениями $C$ равен нулю. Для принципов действия стационарная точка может быть минимумом или седловой точкой , но не максимумом. Эллиптические планетарные орбиты представляют собой простой пример двух путей с равным действием – по одному в каждом направлении вокруг орбиты; ни то, ни другое не может быть минимальным или «наименьшим действием». Изменение пути, подразумеваемое $\delta$ это не то же самое, что дифференциал типа $dt$. Интеграл действия зависит от координат объектов, а эти координаты зависят от пройденного пути. Таким образом, интеграл действия — это функционал , функция от функции.

Принципы сохранения

Основная статья: теорема Нётер

Важный результат геометрии, известный как теорема Нётер, гласит, что любые сохраняющиеся величины в лагранжиане предполагают непрерывную симметрию и наоборот. Например, независимый от времени лагранжиан соответствует системе с сохраняющейся энергией; независимость пространственной трансляции подразумевает сохранение импульса; инвариантность углового вращения подразумевает сохранение углового момента. Эти примеры представляют собой глобальные симметрии, где независимость сама по себе не зависит от пространства и времени; более общие локальные симметрии, функционально зависящие от пространства и времени, приводят к калибровочной теории . Наблюдаемое сохранение изоспина было использовано Чэнь Нин Яном и Робертом Миллсом в 1953 году для построения калибровочной теории мезонов , что привело несколько десятилетий спустя к современной теории физики элементарных частиц .

Четкие принципы

Принципы действия применимы к широкому кругу физических проблем, включая всю фундаментальную физику. Единственными серьезными исключениями являются случаи, связанные с трением или когда заданы только начальное положение и скорости. Различные принципы действия имеют разное значение для вариаций; каждое конкретное применение принципа действия требует определенного лагранжиана, описывающего физику. Общее название любого или всех этих принципов — «принцип наименьшего действия». Для обсуждения названий и исторического происхождения этих принципов см. « Имена принципов действия» .

Фиксированные конечные точки с сохраненной энергией

Основная статья: принцип Мопертюи

Дуэйн Уэйд выполняет штрафные броски, иллюстрируя физические ограничения, подходящие для применения принципа наименьшего действия Мопертюи.

Когда общая энергия и конечные точки фиксированы, применяется принцип наименьшего действия Мопертюи . Например, для набора очков в баскетболе мяч должен покинуть руку игрока и пройти через кольцо, но время полета не ограничено. Принцип наименьшего действия Мопертюи математически выражается как стационарное условие. $$(\delta W)_{E}=0$$ о сокращенном действии $$W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,$$ (иногда пишется $S_{0}$), где $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N})$ – импульсы частиц или сопряженные импульсы обобщенных координат , определяемые уравнением $$p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},$$ где $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$ является лагранжианом . В некоторых учебниках пишут $(\delta W)_{E}=0$ как $\Delta S_{0}$, чтобы подчеркнуть, что вариация, используемая в этой форме принципа действия, отличается от вариации Гамильтона . Здесь полная энергия $E$ фиксируется во время изменения, но не во времени, что является обратным ограничениям принципа Гамильтона. Следовательно, один и тот же путь и конечные точки в двух формах требуют разного времени и энергии. Решениями в случае этой формы принципа Мопертюи являются орбиты : функции, связывающие координаты друг с другом, в которых время является просто индексом или параметром.

Независящие от времени потенциалы; нет сил

Основная статья: принцип Ферма

Для стационарной системы действие $S$ относится просто к сокращенному действию $W$ на стационарном пути, как $$\Delta S=\Delta W-E\Delta T$$ для энергии $E$ и разница во времени $\Delta T=t_{2}-t_{1}$. Для твердого тела без результирующей силы действия идентичны, и вариационные принципы становятся эквивалентными Ферма : принципу наименьшего времени $$\delta (t_{2}-t_{1})=0.$$

Фиксированные события

Основная статья: принцип Гамильтона

Путь к Луне должен учитывать движение Луны во время путешествия.

Когда физическая задача дает две конечные точки как положение и время, то есть как события , принцип действия Гамильтона применяется . Например, представьте, что вы планируете путешествие на Луну. Во время вашего путешествия Луна продолжит движение по орбите вокруг Земли: это движущаяся цель. Принцип Гамильтиона для объектов в позициях $\mathbf {q} (t)$ математически записывается как $$(\delta {\mathcal {S}})_{T}=0,\ \mathrm {where} \ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.$$ Ограничение $T=t_{2}-t_{1}$ означает, что мы рассматриваем только пути, занимающие одно и то же время, а также соединяющие одни и те же две точки $\mathbf {q} (t_{1})$ и $\mathbf {q} (t_{2})$. Лагранжиан ​ $L=T-V$ это разница между кинетической и потенциальной энергией в каждой точке пути. Решение полученных уравнений дает мировую линию $\mathbf {q} (t)$. Начиная с принципа Гамильтона, локальное дифференциальное уравнение Эйлера – Лагранжа можно вывести для систем с фиксированной энергией. Действие $S$ в принципе Гамильтона — это преобразование Лежандра действия в принципе Мопертюи.

Классическая теория поля

Основная статья: Лагранжиан (теория поля)

Концепции и многие методы, полезные для механики частиц, также применимы к непрерывным полям. Интеграл действия пробегает лагранжианскую плотность, но понятия настолько близки, что плотность часто называют просто лагранжианом.

Квантовые принципы действия

Для квантовой механики принципы действия имеют существенные преимущества: нужен только один механический постулат, если в действии используется ковариантный лагранжиан, результат релятивистски правильный, и они явно переходят к классическим эквивалентам.

И Ричард Фейнман , и Джулиан Швингер разработали принципы квантового действия, основанные на ранних работах Поля Дирака . Интегральный метод Фейнмана не был вариационным принципом, а сводился к классическому принципу наименьшего действия; это привело к его диаграммам Фейнмана . Дифференциальный подход Швингера связывает бесконечно малые изменения амплитуды с бесконечно малыми изменениями действия.

Принцип действия Фейнмана

Основная статья: Формулировка интеграла по траектории

Когда квантовые эффекты важны, необходимы новые принципы действия. Вместо того, чтобы частица следовала по пути, квантовая механика определяет амплитуду вероятности. $\psi (x_{k},t)$ в один момент $x_{k}$ и время $t$ связано с амплитудой вероятности в другой момент позже:

$\psi (x_{k+1},t+\epsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{iS(x_{k+1},x_{k})/\hbar }\psi (x_{k},t)\,dx_{k},$

где $S(x_{k+1},x_{k})$ это классическое действие. Вместо одного пути со стационарным действием складываются все возможные пути (интеграл по $x_{k}$), взвешенный по комплексной амплитуде вероятности $e^{iS/\hbar }$. Фаза амплитуды определяется действием, деленным на постоянную Планка или квант действия: $S/\hbar$. Когда действие частицы много больше, чем $\hbar$, $S/\hbar \gg 1$, фаза быстро меняется по трассе: амплитуда в среднем достигает небольшого числа. Таким образом, постоянная Планка устанавливает границу между классической и квантовой механикой.

Все пути вносят свой вклад в принцип квантового действия. В конечной точке, где пути встречаются, складываются пути с одинаковыми фазами, а с фазами, отличающимися на $\pi$ вычесть. Близко к пути, ожидаемому в классической физике, фазы имеют тенденцию выравниваться; эта тенденция сильнее для более массивных объектов, имеющих большую величину действия. В классическом пределе доминирует один путь – путь стационарного действия.

Принцип действия Швингера

Основная статья: квантовый принцип действия Швингера

Подход Швингера связывает изменения амплитуд перехода $(q_{\text{f}}|q_{\text{i}})$ к вариациям элемента матрицы действий:

$\delta (q_{r_{\text{f}}}|q_{r_{\text{i}}})=i(q_{r_{\text{f}}}|\delta S|q_{r_{\text{i}}}),$

где находится оператор действия

$S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.$

Форма Швингера делает анализ изменения самого лагранжиана, например, изменения мощности потенциального источника, особенно прозрачным.

Оптико-механическая аналогия

Основная статья: оптико-механическая аналогия Гамильтона

Поверхности постоянного действия, показанные в виде волновых фронтов, перпендикулярных путям света, в случае света.

Для каждого пути интеграл действия строит значение от нуля в начальной точке до конечного значения в конце. Любой близлежащий путь имеет одинаковые значения на одинаковом расстоянии от начальной точки. Линии или поверхности постоянного значения частичного действия могут быть нарисованы поперек путей, создавая волнообразное представление действия. Подобный анализ связывает корпускулярные лучи геометрической оптики с волновыми фронтами принципа Гюйгенса-Френеля .

[Мопертюи] ... таким образом указал на ту замечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которую гораздо раньше наблюдал Джон Бернулли и которая позже была полностью развита в гениальной оптико-механической теории Гамильтона. Эта аналогия сыграла фундаментальную роль в развитии современной волновой механики.

— К. Ланцос

Приложения

См. Также: Лагранжиан (теория поля) § Примеры.

Принципы действия применяются для вывода дифференциальных уравнений, таких как уравнения Эйлера – Лагранжа. или как прямое применение к физическим проблемам.

Классическая механика

Принципы действия могут быть непосредственно применены ко многим задачам классической механики , например, к форме упругих стержней под нагрузкой, форма жидкости между двумя вертикальными пластинами ( капилляр ), или движение маятника, когда его опора находится в движении.

Химия

Принципы квантового действия используются в квантовой теории атомов в молекулах ( QTAIM ), способе разложения вычисленной электронной плотности молекул на атомы как способ получить представление о химической связи.

Общая теория относительности

Вдохновленный работами Эйнштейна по общей теории относительности , известный математик Дэвид Гильберт применил принцип наименьшего действия для вывода уравнений поля общей теории относительности. Его действие, теперь известное как действие Эйнштейна-Гильберта ,

$S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,$

содержал релятивистски инвариантный элемент объема ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ Риччи и скалярная кривизна $R$. Масштабный коэффициент $\kappa$ Эйнштейна гравитационная постоянная .

Другие приложения

Принцип действия настолько важен в современной физике и математике , что широко применяется, в том числе в термодинамике , механика жидкости , теория относительности , квантовая механика , физика элементарных частиц и теория струн .

История

Основная статья: История вариационных принципов в физике

Принципу действия предшествуют более ранние идеи в оптике . В древней Греции Евклид писал в своей «Катоптрике» , что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения . Герой Александрийский позже показал, что этот путь имеет наименьшую длину и наименьшее время.

Основываясь на ранних работах Пьера Луи Мопертюи , Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа, определяющих версии принципа наименьшего действия , Уильям Роуэн Гамильтон и совместно с Карлом Густавом Якоби разработали вариационную форму классической механики, известную как уравнение Гамильтона-Якоби .

В 1915 году Дэвид Гильберт применил вариационный принцип для вывода Альберта Эйнштейна уравнений общей теории относительности .

В 1933 году физик Поль Дирак продемонстрировал, как этот принцип можно использовать в квантовых вычислениях, обнаружив квантовомеханическую основу принципа квантовой интерференции амплитуд. Впоследствии Джулиан Швингер и Ричард Фейнман независимо применили этот принцип в квантовой электродинамике.