Диофантово уравнение

Нахождение всех прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон эквивалентно решению диофантова уравнения. $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

В математике диофантово уравнение — это уравнение , обычно полиномиальное уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, для которого только целочисленные интерес представляют решения. Линейное диофантово уравнение приравнивает к константе сумму двух или более мономов , каждый из которых имеет одну степень . Экспоненциальное диофантово уравнение – это уравнение, в котором неизвестные могут фигурировать в показателях .

В диофантовых задачах меньше уравнений, чем неизвестных, и они включают в себя поиск целых чисел, которые одновременно решают все уравнения. Поскольку такие системы уравнений определяют алгебраические кривые , алгебраические поверхности или, в более общем плане, алгебраические множества , их изучение является частью алгебраической геометрии , называемой диофантовой геометрией .

Слово «диофантовый» относится к эллинистическому математику III века Диофанту Александрийскому , который исследовал такие уравнения и был одним из первых математиков, введших символизм в алгебру . Математическое исследование диофантовых задач, начатое Диофантом, теперь называется диофантовым анализом .

В то время как отдельные уравнения представляют собой своего рода загадку и рассматривались на протяжении всей истории, формулировка общих теорий диофантовых уравнений (за исключением случаев линейных и квадратных уравнений) была достижением двадцатого века.

Примеры

В следующих диофантовых уравнениях w, x, y и z являются неизвестными, а остальным буквам даны константы:

$ax+by=c$	Это линейное диофантово уравнение или тождество Безу .
$w^{3}+x^{3}=y^{3}+z^{3}$	Наименьшее нетривиальное решение в натуральных числах равно 12. 3 + 1 3 = 9 3 + 10 3 = 1729 . Известно, что как очевидное свойство 1729 года, номер такси (также называемый номером Харди-Рамануджана ) Рамануджан передал его Харди во время встречи в 1917 году. Существует бесконечно много нетривиальных решений.
$x^{n}+y^{n}=z^{n}$	Для n = 2 существует бесконечно много решений ( x, y, z ) : тройки Пифагора . Для больших целочисленных значений n ( Великая теорема Ферма первоначально заявленная Ферма в 1637 году и доказанная Эндрю Уайлсом в 1995 году) ) утверждает, что нет целочисленных положительных решений ( x, y, z ) .
$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$	Это уравнение Пелла , названное в честь английского математика Джона Пелла . Его изучал Брахмагупта в VII веке, а также Ферма в 17 веке.
${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$	Гипотеза Эрдеша – Штрауса утверждает, что для каждого натурального числа n ≥ 2 существует решение относительно x, y и z , причем все они являются положительными целыми числами. Хотя этот пример обычно не выражается в полиномиальной форме, он эквивалентен полиномиальному уравнению $4xyz=yzn+xzn+xyn=n(yz+xz+xy).$
$x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}$	ошибочно предположил, Эйлер что не имеет нетривиальных решений. доказал, Элкис что существует бесконечно много нетривиальных решений, а компьютерный поиск Фрая определил наименьшее нетривиальное решение, 95800. 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 .

Линейные диофантовы уравнения

Одно уравнение

Простейшее линейное диофантово уравнение имеет вид $$ax+by=c,$$ где a , b и c — целые числа. Решения описываются следующей теоремой:

Это диофантово уравнение имеет решение где x и y — целые числа) тогда и только тогда, когда c кратно наибольшему общему делителю a b и ( . Более того, если ( x, y ) — решение, то остальные решения имеют вид ( x + kv, y − ku ) , где k — произвольное целое число, а u и v — частные a и b (соответственно) по наибольшему общему делителю a и b .

Доказательство: если d является наибольшим общим делителем, тождество Безу утверждает существование целых чисел e и f таких, что ae + bf = d . Если c кратно d , то c = dh для некоторого целого числа h и ( eh, fh ) является решением. С другой стороны, для каждой пары целых чисел x и y наибольший общий делитель d чисел a и b делит ax + на . Таким образом, если уравнение имеет решение, то c должно быть кратно d . Если a = ud и b = vd , то для каждого решения ( x, y ) мы имеем $${\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}$$ показывая, что ( x + kv, y − ku ) является другим решением. Наконец, даны два решения такие, что $$ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,$$ можно сделать вывод, что $$u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.$$ Поскольку u и v , взаимно просты лемма Евклида показывает, что v делит x ₂ − x ₁ и, таким образом, существует целое число k такое, что оба $$x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.$$ Поэтому, $$x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,$$что завершает доказательство.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках описывает важный класс линейных диофантовых систем уравнений: пусть $n_{1},\dots ,n_{k}$ быть k попарно взаимно простыми целыми числами, большими единицы, $a_{1},\dots ,a_{k}$ — k произвольных целых чисел, а N — произведение $n_{1}\cdots n_{k}.$ Китайская теорема об остатках утверждает, что следующая линейная диофантова система имеет ровно одно решение. $(x,x_{1},\dots ,x_{k})$ такой, что 0 ≤ x < N и что другие решения получаются добавлением к x кратного N : $${\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}$$

Система линейных диофантовых уравнений

В более общем смысле, каждую систему линейных диофантовых уравнений можно решить путем вычисления нормальной формы Смита ее матрицы способом, аналогичным использованию сокращенной формы эшелона строк для решения системы линейных уравнений над полем. Используя матричные обозначения, можно записать любую систему линейных диофантовых уравнений: $$AX=C,$$где A — m × n целочисленная матрица размера , X — n × 1 матрица-столбец неизвестных размером , а C — целочисленная матрица-столбец размера m × 1 .

Вычисление нормальной формы Смита A дает две унимодулярные матрицы (то есть матрицы, которые обратимы в целых числах и имеют определитель ±1) U и V соответствующих размеров m × m и n × n , такие, что матрица $$B=[b_{i,j}]=UAV$$таково, что b _i,i не равно нулю, если i не больше некоторого целого числа k , а все остальные записи равны нулю. Таким образом, решаемую систему можно переписать в виде $$B(V^{-1}X)=UC.$$Вызов y _i записей V ⁻¹ X и d _i те же, что и D = UC , это приводит к системе $${\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}$$

Эта система эквивалентна данной в следующем смысле: матрица-столбец целых чисел x является решением данной системы тогда и только тогда, когда x = Vy для некоторой матрицы-столбца целых чисел y такой, что By = D .

Отсюда следует, что система имеет решение тогда и только тогда, когда b _i,i делит d _i для i ≤ k и d _i = 0 для i > k . Если это условие выполнено, решения данной системы будут $$V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,$$где h _{k +1} , …, h _n — произвольные целые числа.

Нормальную форму Эрмита можно также использовать для решения систем линейных диофантовых уравнений. Однако нормальная форма Эрмита не дает решений напрямую; Чтобы получить решения нормальной формы Эрмита, необходимо последовательно решить несколько линейных уравнений. Тем не менее, Ричард Зиппель писал, что нормальная форма Смита «несколько больше, чем это на самом деле необходимо для решения линейных диофантовых уравнений. Вместо того, чтобы приводить уравнение к диагональной форме, нам нужно только сделать его треугольным, что называется нормальной формой Эрмита. Нормальную форму Эрмита значительно легче вычислить, чем нормальную форму Смита».

Целочисленное линейное программирование сводится к нахождению некоторых целочисленных решений (оптимальных в некотором смысле) линейных систем, включающих в себя также неравенства . Таким образом, системы линейных диофантовых уравнений являются основными в этом контексте, и в учебниках по целочисленному программированию обычно рассматриваются системы линейных диофантовых уравнений.

Однородные уравнения

Однородное диофантово уравнение — это диофантово уравнение, определяемое однородным полиномом . Типичным таким уравнением является уравнение Великой теоремы Ферма.

$x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.$

Поскольку однородный многочлен от n неопределенных определяет гиперповерхность в проективном пространстве размерности n - 1 , решение однородного диофантова уравнения - это то же самое, что поиск рациональных точек проективной гиперповерхности.

Решение однородного диофантова уравнения, как правило, является очень сложной задачей, даже в простейшем нетривиальном случае трех неопределенных (в случае двух неопределенных проблема эквивалентна проверке, ли рациональное число является d- й степенью другого рационального числа) . Свидетельством сложности проблемы является Великая теорема Ферма (при d > 2 не существует целочисленного решения приведенного выше уравнения), для решения которой потребовалось более трех столетий усилий математиков.

Для степеней выше трех наиболее известными результатами являются теоремы, утверждающие, что решений нет (например, Великая теорема Ферма) или что число решений конечно (например, теорема Фалтинга ).

Для третьей степени существуют общие методы решения, которые работают почти со всеми уравнениями, встречающимися на практике, но не известен алгоритм, работающий для каждого кубического уравнения.

Вторая степень

Однородные диофантовы уравнения второй степени решать легче. Стандартный метод решения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти одно решение или доказать, что решения не существует. Когда решение найдено, затем выводятся все решения.

Чтобы доказать отсутствие решения, можно сократить уравнение по модулю p . Например, диофантово уравнение

$x^{2}+y^{2}=3z^{2},$

не имеет другого решения, кроме тривиального решения (0, 0, 0) . Фактически, разделив x, y и z на их наибольший общий делитель , можно предположить, что они взаимно просты . Квадраты по модулю 4 конгруэнтны 0 и 1. Таким образом, левая часть уравнения конгруэнтна 0, 1 или 2, а правая часть конгруэнтна 0 или 3. Таким образом, равенство можно получить только если x, y и z все четны и, следовательно, не взаимно просты. Таким образом, единственным решением является тривиальное решение (0, 0, 0) . не существует рациональной точки Это показывает, что на окружности радиуса ${\sqrt {3}},$ сосредоточено в начале координат.

В более общем смысле принцип Хассе позволяет решить, имеет ли однородное диофантово уравнение второй степени целочисленное решение, и вычислить решение, если оно существует.

Если известно нетривиальное целочисленное решение, все остальные решения можно получить следующим образом.

Геометрическая интерпретация

Позволять

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$

— однородное диофантово уравнение, где $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — квадратичная форма (т. е. однородный многочлен степени 2) с целыми коэффициентами. Тривиальное решение – это решение, при котором все $x_{i}$ равны нулю. Если $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ является нетривиальным целочисленным решением этого уравнения, то $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ — однородные координаты рациональной точки гиперповерхности, определяемой Q . И наоборот, если ${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ — однородные координаты рациональной точки этой гиперповерхности, где $q,p_{1},\ldots ,p_{n}$ являются целыми числами, то $\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)$ является целочисленным решением диофантова уравнения. Более того, целочисленные решения, определяющие данную рациональную точку, представляют собой все последовательности вида

$\left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),$

где k — любое целое число, а d — наибольший общий делитель числа $p_{i}.$

Отсюда следует, что решение диофантова уравнения $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ полностью сводится к нахождению рациональных точек соответствующей проективной гиперповерхности.

Параметризация

Пусть сейчас $A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ быть целым решением уравнения $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ Поскольку Q — многочлен второй степени, линия, проходящая через A, пересекает гиперповерхность в одной другой точке, что является рациональным тогда и только тогда, когда линия рациональна (то есть, если линия определяется рациональными параметрами). Это позволяет параметризовать гиперповерхность линиями, проходящими через A , а рациональными точками являются те, которые получены из рациональных прямых, то есть те, которые соответствуют рациональным значениям параметров.

Точнее, можно поступить следующим образом.

Переставляя индексы, можно без ограничения общности предположить, что $a_{n}\neq 0.$ Тогда можно перейти к аффинному случаю, рассмотрев аффинную гиперповерхность, определяемую формулой

$q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),$

который имеет рациональную точку

$R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).$

Если эта рациональная точка является особой точкой , то есть если все частные производные равны нулю в R , все линии, проходящие через R, содержатся в гиперповерхности, и одна из них имеет конус . Замена переменных

$y_{i}=x_{i}-r_{i}$

не меняет рациональные точки и преобразует q в однородный полином от n - 1 переменных. Таким образом, в этом случае проблему можно решить, применив метод к уравнению с меньшим количеством переменных.

Если многочлен q является произведением линейных многочленов (возможно, с нерациональными коэффициентами), то он определяет две гиперплоскости . Пересечение этих гиперплоскостей представляет собой рациональную плоскость и содержит рациональные особые точки. Таким образом, этот случай является частным случаем предыдущего случая.

В общем случае рассмотрим параметрическое уравнение прямой, проходящей через R :

${\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}$

Подставив это в q , получим полином второй степени по , _x1 равен нулю x1 _при = r1 _{который} . Таким образом, оно делится на x ₁ – r ₁ . Частное линейно по x ₁ , и его можно решить, чтобы выразить x ₁ как частное двух многочленов степени не выше двух по $t_{2},\ldots ,t_{n-1},$ с целыми коэффициентами:

$x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.$

Подставив это в выражения для $x_{2},\ldots ,x_{n-1},$ получаем для i = 1, …, n − 1 ,

$x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},$

где $f_{1},\ldots ,f_{n}$ являются полиномами степени не выше двух с целыми коэффициентами.

Тогда можно вернуться к однородному случаю. Пусть для i = 1, …, n ,

$F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),$

быть гомогенизацией ​ $f_{i}.$ Эти квадратичные многочлены с целыми коэффициентами образуют параметризацию проективной гиперповерхности, определяемой Q :

${\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}$

Точка проективной гиперповерхности, определяемая Q, является рациональной тогда и только тогда, когда ее можно получить из рациональных значений $t_{1},\ldots ,t_{n-1}.$ Как $F_{1},\ldots ,F_{n}$ являются однородными многочленами, дело не меняется, если все t _i умножить на одно и то же рациональное число. Таким образом, можно предположить, что $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$ являются взаимно простыми целыми числами . Отсюда следует, что целочисленными решениями диофантова уравнения являются в точности последовательности $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ где для i = 1, ..., n ,

$x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},$

где k — целое число, $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$ — взаимно простые целые числа, а d — наибольший общий делитель n целых чисел. $F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).$

Можно было бы надеяться, что взаимнопростость t _i может означать, что d = 1 . К сожалению, это не так, как показано в следующем разделе.

Пример пифагорейских троек

Уравнение

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

вероятно, первое однородное диофантово уравнение второй степени, которое было изучено. Ее решениями являются тройки Пифагора . Это также однородное уравнение единичной окружности . В этом разделе мы покажем, как описанный выше метод позволяет получить формулу Евклида для генерации троек Пифагора.

Чтобы точно получить формулу Евклида, мы начинаем с решения (−1, 0, 1) , соответствующего точке (−1, 0) единичной окружности. Линия, проходящая через эту точку, может быть параметризована ее наклоном:

$y=t(x+1).$

Поместив это в уравнение окружности

$x^{2}+y^{2}-1=0,$

каждый получает

$x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.$

Деление на x + 1 дает результат

$x-1+t^{2}(x+1)=0,$

что легко решить в x :

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.$

Отсюда следует

$y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.$

Усредняя, ​​как описано выше, все решения получаются как

${\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}$

где k — любое целое число, s и t — взаимно простые целые числа, а d — наибольший общий делитель трех числителей. Фактически, d = 2, если s и t оба нечетны, и d = 1, если один из них нечетный, а другой четный.

Примитивные тройки — это решения, где k = 1 и s > t > 0 .

Это описание решений немного отличается от формулы Евклида, поскольку формула Евклида рассматривает только те решения, у которых все x, y и z положительны, и не делает различия между двумя тройками, которые отличаются заменой x и y .

Диофантовый анализ

Типичные вопросы

Вопросы, задаваемые при диофантовом анализе, включают:

1. Есть ли какие-либо решения?
2. Существуют ли какие-либо решения помимо тех, которые легко найти путем проверки ?
3. Существует ли конечное или бесконечное число решений?
4. Все ли решения можно найти теоретически?
5. Можно ли на практике вычислить полный список решений?

Эти традиционные проблемы часто оставались нерешенными на протяжении веков, и математики постепенно (в некоторых случаях) начали понимать их глубину, а не относиться к ним как к головоломкам.

Типичная проблема

Приведенная информация состоит в том, что возраст отца на 1 меньше, чем в два раза, чем возраст его сына, и что цифры AB, составляющие возраст отца, перевернуты в возрасте сына (т. е. BA ). Это приводит к уравнению 10 A + B = 2(10 B + A ) − 1 , таким образом 19 B − 8 A = 1 . Проверка дает результат A = 7 , B = 3 , и, таким образом, AB равен 73 годам, а BA равен 37 годам. Легко показать, что не существует другого решения с целыми положительными числами A и B меньше 10.

Многие известные головоломки в области развлекательной математики приводят к диофантовым уравнениям. Примеры включают задачу о пушечном ядре , задачу Архимеда о скоте , обезьяну и кокосы .

17 и 18 веков

В 1637 году Пьер де Ферма нацарапал на полях своего экземпляра «Арифметики» : «Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертые степени, или вообще любую степень, превышающую вторую, на две, как полномочия». Выражаясь более современным языком: «Уравнение а ^н + б ^н = с ^н не имеет решений для любого числа n выше 2». После этого он написал: «Я нашел поистине чудесное доказательство этого утверждения, которое эти поля слишком узки, чтобы вместить его». Однако такое доказательство ускользало от математиков на протяжении столетий, и как таковое его утверждение стало известно как Великая теорема Ферма . Лишь в 1995 году оно было доказано британским математиком Эндрю Уайлсом .

В 1657 году Ферма попытался решить диофантово уравнение 61 х ² + 1 = и ² (решено Брахмагуптой более 1000 лет назад). В конечном итоге уравнение было решено Эйлером в начале 18 века, который также решил ряд других диофантовых уравнений. Наименьшее решение этого уравнения в целых положительных числах — x = 226153980 , y = 1766319049 (см. метод Чакравалы ).

Десятая проблема Гильберта

Основная статья: десятая проблема Гильберта

В 1900 году Дэвид Гильберт предложил разрешимость всех диофантовых уравнений как десятую из своих фундаментальных проблем . В 1970 году Юрий Матиясевич решил его отрицательно, опираясь на работы Джулии Робинсон , Мартина Дэвиса и Хилари Патнэм , чтобы доказать, что общего алгоритма решения всех диофантовых уравнений не может существовать .

Диофантова геометрия

Диофантова геометрия — это применение методов алгебраической геометрии , которое рассматривает уравнения, которые также имеют геометрическое значение. Центральной идеей диофантовой геометрии является идея рациональной точки , а именно решения полиномиального уравнения или системы полиномиальных уравнений , которая является вектором в заданном поле K , когда K является не алгебраически замкнутым .

Современные исследования

Самый старый общий метод решения диофантова уравнения (или доказательства отсутствия решения) — это метод бесконечного спуска , который был введен Пьером де Ферма . Другой общий метод — это принцип Хассе , который использует модульную арифметику по модулю всех простых чисел для поиска решений. Несмотря на множество усовершенствований, эти методы не могут решить большинство диофантовых уравнений.

Трудность решения диофантовых уравнений иллюстрируется десятой проблемой Гильберта , поставленной в 1900 году Дэвидом Гильбертом ; нужно было найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное диофантово уравнение с целыми коэффициентами целочисленное решение. Из теоремы Матиясевича следует, что такого алгоритма не может существовать.

В течение 20-го века был глубоко изучен новый подход, заключающийся в использовании алгебраической геометрии . Фактически, диофантово уравнение можно рассматривать как уравнение гиперповерхности , а решениями уравнения являются точки гиперповерхности, имеющие целочисленные координаты.

Этот подход в конечном итоге привел к доказательству Эндрю Уайлсом в 1994 году Великой теоремы Ферма , сформулированной без доказательства около 1637 года. Это еще одна иллюстрация сложности решения диофантовых уравнений.

Бесконечные диофантовы уравнения

Пример бесконечного диофантова уравнения: $$n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,$$что можно выразить так: «Сколькими способами данное целое число n можно записать в виде суммы квадрата плюс дважды квадрат плюс трижды квадрат и так далее?» Количество способов, которыми это можно сделать для каждого n, образует целочисленную последовательность. Бесконечные диофантовы уравнения связаны с тэта-функциями и бесконечномерными решетками. Это уравнение всегда имеет решение при любом положительном n . Сравните это с: $$n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,$$которая не всегда имеет решение для положительного n .

Экспоненциальные диофантовые уравнения

Если в диофантовом уравнении есть дополнительная переменная или переменные, выступающие в качестве показателей степени , то это экспоненциальное диофантово уравнение. Примеры включают в себя:

• уравнение Рамануджана –Нагелла , 2 ^н − 7 = х ²
• уравнение гипотезы Ферма–Каталана и гипотезы Била , a ^м + б ^н = с ^к с ограничениями неравенства на показатели
• уравнение Эрдеша –Мозера , 1 ^к + 2 ^к + ⋯ + ( м – 1) ^к = м ^к

Общая теория таких уравнений не существует; частные случаи, такие как гипотеза Каталана и Великая теорема Ферма были рассмотрены . Однако большинство из них решаются с помощью специальных методов, таких как теорема Штормера , или даже методом проб и ошибок .

См. также

• Куттака , алгоритм Арьябхаты для решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными

Ссылки

• Морделл, ЖЖ (1969). Диофантовы уравнения . Чистая и прикладная математика. Том. 30. Академическая пресса . ISBN  0-12-506250-8 . Збл   0188.34503 .
• Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том. 1467. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-54058-Х . Збл   0754.11020 .
• Шори, Теннесси; Тайдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Кембриджские трактаты по математике. Том. 87. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-26826-5 . Збл   0606.10011 .
• Смарт, Найджел П. (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 41. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-64156-Х . Збл   0907.11001 .
• Стиллвелл, Джон (2004). Математика и ее история (Второе изд.). Springer Science + Business Media Inc. ISBN  0-387-95336-1 .

Дальнейшее чтение

• Бахмакова, Изабель (1966). «Диофант и Ферма». Журнал истории наук и их приложений . 19 (4): 289–306. дои : 10.3406/rhs.1966.2507 . JSTOR   23905707 .
• Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения . Москва: Наука, 1972. Немецкий перевод: Diophant und diophantische Gleichungen . Биркхаузер, Базель/Штутгарт, 1974. Английский перевод: Диофант и диофантовые уравнения . Переведено Эйбом Шенитцером при редакционной поддержке Харди Гранта и обновлено Джозефом Сильверманом. Математические выставки Дольчиани, 20. Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия. 1997.
• Башмакова, Изабелла Г. « Арифметика алгебраических кривых от Диофанта до Пуанкаре» Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
• Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е.И. История диофантового анализа от Диофанта до Ферма . Москва: Наука, 1984.
• Башмакова, Изабелла Г. «Диофантовы уравнения и эволюция алгебры», Переводы Американского математического общества 147 (2), 1990, стр. 85–100. Перевод А. Шеницера и Х. Гранта.
• Диксон, Леонард Юджин (2005) [1920]. История теории чисел . Том II: Диофантовый анализ . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-44233-4 . МР   0245500 . Збл   1214.11002 .
• Рашед, Рошди; Хаузель, Кристиан (2013). «Арифметика» Диофанта . дои : 10.1515/9783110336481 . ISBN  978-3-11-033593-4 .
• Рашед, Рошди, История классического диофантового анализа: от Абу Камиля до Ферма , Берлин, Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер.

Внешние ссылки

• Диофантово уравнение . Из MathWorld в Wolfram Research .
• «Диофантовые уравнения» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-калькулятор Дарио Альперна . Проверено 18 марта 2009 г.