Артин дирижер

В математике проводник Артина — число или идеал , связанный с характером группы Галуа локального функциональном или глобального поля , введенный Эмилем Артином ( 1930 , 1931 ) как выражение, появляющееся в уравнении Артина L-функции .

Местные артинские дирижеры

Предположим, что L — конечное расширение Галуа локального поля K с группой G. Галуа Если $\chi$ является персонажем G , то артинский дирижёр $\chi$ это число

f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{i}}{g_{0}}}(\chi (1)-\chi (G_{i}))

где G _i — i - я группа ветвления (в нижней нумерации ) порядка g _i , а χ( G _i ) — среднее значение $\chi$ on G _i. ^[1] По результату Артина, локальный проводник является целым числом. ^[2]^[3] Эвристически дирижер Артина измеряет, насколько действие высших групп ветвления далеко от тривиальности. В частности, если х неразветвлен, то ее артиновский проводник равен нулю. Таким образом, если L неразветвлено над K , то проводники Артина всех х равны нулю.

Дикий инвариант ^[3] или Лебедь-проводник ^[4] персонажа

f(\chi )-(\chi (1)-\chi (G_{0})),

другими словами, сумма членов более высокого порядка с i > 0.

Глобальные дирижеры Артина

Глобальный артинский дирижер представления $\chi$ группы Галуа G конечного расширения L / K глобальных полей является идеалом K , определяемым как

{\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}

где произведение происходит по простым числам p из K , а f (χ, p ) — локальный артиновский проводник ограничения $\chi$ группе разложения некоторого простого числа L, лежащего над p . ^[2] Поскольку локальный проводник Артина равен нулю в неразветвленных простых числах, указанное выше произведение необходимо брать только для простых чисел, которые разветвляются в L / K .

Представление Артина и характер Артина

Предположим, что L — конечное расширение Галуа локального поля K с группой G. Галуа Персонаж Артина G _- of G это персонаж

a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi

а представление Артина AG _с — это комплексное линейное представление группы G этим характером. Вейль (1946) просил напрямую построить представление Артина. Серр ( 1960 что представление Артина может быть реализовано над локальным полем Ql _. для любого простого числа l, не равного характеристике вычета p ) показал , Фонтейн (1971) показал, что его можно реализовать над соответствующим кольцом векторов Витта. В общем случае его невозможно реализовать над рациональными числами или над локальным полем Q _p , что позволяет предположить, что не существует простого способа явно построить представление Артина. ^[5]

Представление лебедя

Символ лебедя sw _G определяется выражением

sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1

где r _g — характер регулярного представления, а 1 — характер тривиального представления. ^[6] это персонаж представления G. Персонаж Лебедь — Свон ( 1963 ) показал, что существует единственное проективное представление группы G над l -адическими целыми числами с характером Лебедя.

Приложения

Проводник Артина появляется в формуле проводника-дискриминанта для дискриминанта глобального поля. ^[5]

Оптимальный уровень в гипотезе модульности Серра выражается через проводник Артина.

Проводник Артина появляется в функциональном уравнении L-функции Артина .

Представления Артина и Свона используются для определения проводника эллиптической кривой или абелева многообразия.

Примечания

^ Теплица (1967) стр.158
^ Перейти обратно: ^а ^б Серр (1967) стр.159
^ Перейти обратно: ^а ^б Манин, Ю. Я.; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 329. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 .
^ Снайт (1994) стр.249
^ Перейти обратно: ^а ^б Серр (1967) стр.160
^ Снайт (1994) стр.248

Ссылки

Артин, Эмиль (1930), «К теории L-рядов с общими групповыми характерами», Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке), 8 : 292–306, doi : 10.1007/BF02941010 , JFM 56.0173.02 , S2CID 120987633
Артин, Эмиль (1931), «Теоретико-групповая структура дискриминантов полей алгебраических чисел». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1931 (164): 1–11, doi : 10.1515/crll.1931.164.1 , ISSN 0075-4102 , S2CID 117731518 , Zbl 0001.00801
Фонтен, Жан-Марк (1971), «О представлениях Артена», Конференция по теории чисел (Университет Бордо, Бордо, 1969) , Мемуары Математического общества Франции, том. 25, Париж: Математическое общество Франции , стр. 71–81, МР 0374106
Серр, Жан-Пьер (1960), «О рациональности представлений Артена», Annals of Mathematics , Second Series, 72 (2): 405–420, doi : 10.2307/1970142 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970142 , MR 0171775
Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl 0153.07403.
Снайт, вице-президент (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 40, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-46015-8 , Збл 0991.20005
Свон, Ричард Г. (1963), «Кольцо Гротендика конечной группы», Топология , 2 (1–2): 85–110, doi : 10.1016/0040-9383(63)90025-9 , ISSN 0040-9383 , МР 0153722
Вейль, Андре (1946), «Будущее математики», Bol. Соц. Мачта. Сан-Паулу , 1 :55–68, MR 0020961.

[S67158-1] Теплица (1967) стр.158

[S67159-2] Перейти обратно: ^а ^б Серр (1967) стр.159

[MP329-3] Перейти обратно: ^а ^б Манин, Ю. Я.; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 329. ИСБН 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 .

[Sn249-4] Снайт (1994) стр.249

[S67160-5] Перейти обратно: ^а ^б Серр (1967) стр.160

[Sn248-6] Снайт (1994) стр.248

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]