Полиномы Лежандра

Чтобы узнать об однородном уравнении Лежандра, см. Уравнение Лежандра .

Не путать с полиномом Лагранжа (интерполяционным полиномом).

Первые шесть полиномов Лежандра

В математике полиномы Лежандра , названные в честь Адриана-Мари Лежандра (1782), представляют собой систему полных и ортогональных полиномов с огромным количеством математических свойств и многочисленными приложениями. Их можно определить по-разному, и различные определения подчеркивают разные аспекты, а также предлагают обобщения и связи с различными математическими структурами, физическими и численными приложениями.

С полиномами Лежандра тесно связаны связанные полиномы Лежандра , функции Лежандра , функции Лежандра второго рода, большие q-полиномы Лежандра и ассоциированные функции Лежандра .

Определение по построению как ортогональная система

В этом подходе полиномы определяются как ортогональная система относительно весовой функции $w(x)=1$ за интервал $[-1,1]$. То есть, $P_{n}(x)$ является полиномом степени $n$, такой, что $$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad {\text{if }}n\neq m.$$

С дополнительным условием стандартизации $P_{n}(1)=1$, все полиномы могут быть определены однозначно. Далее приступаем к строительству: $P_{0}(x)=1$ — единственный правильно стандартизованный многочлен степени 0. $P_{1}(x)$ должен быть ортогональным $P_{0}$, что приводит к $P_{1}(x)=x$, и $P_{2}(x)$ определяется требованием ортогональности к $P_{0}$ и $P_{1}$, и так далее. $P_{n}$ фиксируется требованием ортогональности ко всем $P_{m}$ с $m<n$. Это дает $n$ условиях, которые наряду со стандартизацией $P_{n}(1)=1$ исправляет все $n+1$ коэффициенты в $P_{n}(x)$. Приложив усилия, можно систематически определить все коэффициенты каждого многочлена, что приводит к явному представлению в степенях $x$ приведено ниже.

Это определение $P_{n}$'s - самый простой. Оно не апеллирует к теории дифференциальных уравнений. Во-вторых, полнота полиномов непосредственно следует из полноты степеней 1, $x,x^{2},x^{3},\ldots$. Наконец, определяя их через ортогональность по отношению к наиболее очевидной весовой функции на конечном интервале, он устанавливает полиномы Лежандра как одну из трех классических ортогональных полиномиальных систем . Два других — это полиномы Лагерра , ортогональные по полупрямой. $[0,\infty )$, и полиномы Эрмита , ортогональные по всей прямой $(-\infty ,\infty )$, с весовыми функциями, которые являются наиболее естественными аналитическими функциями, обеспечивающими сходимость всех интегралов.

Определение через производящую функцию

Полиномы Лежандра также можно определить как коэффициенты формального разложения по степеням $t$ функции производящей

$${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.$$ ( 2 )

Коэффициент $t^{n}$ является полиномом по $x$ степени $n$ с $|x|\leq 1$. Расширение до $t^{1}$ дает $$P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x.$$Расширение до более высоких порядков становится все более обременительным, но его можно проводить систематически и снова приводит к одной из явных форм, приведенных ниже.

Возможно получение высшего $P_{n}$Однако мы не прибегаем к прямому разложению ряда Тейлора . Уравнение 2 дифференцируется по t с обеих сторон и переставляется так, чтобы получить $${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.$$Заменив частное квадратного корня его определением в уравнении 2 , и приравнивание коэффициентов при степенях t в полученном разложении дает рекуррентную формулу Бонне $$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.$$Это соотношение, наряду с первыми двумя полиномами P ₀ и P ₁ , позволяет рекурсивно генерировать все остальные.

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольным разложением в электростатике, как объясняется ниже, и именно так полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение

Третье определение основано на решениях дифференциального уравнения Лежандра :

$$(1-x^{2})P_{n}''(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$$ ( 1 )

Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки при x = ±1, поэтому, если решение ищется с использованием стандартного метода Фробениуса или метода степенных рядов , ряд относительно начала координат будет сходиться только при | х | <1 вообще. Когда n является целым числом, решение P _n ( x ), регулярное в точке x = 1, также является регулярным в точке x = −1 , и ряд для этого решения заканчивается (т. е. это многочлен). Ортогональность и полнота этих решений лучше всего видна с точки зрения теории Штурма–Лиувилля . Перепишем дифференциальное уравнение как задачу собственных значений: $${\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}\right)P(x)=-\lambda P(x)\,,$$с собственным значением $\lambda$ вместо $n(n+1)$. Если мы потребуем, чтобы решение было регулярным в $x=\pm 1$дифференциальный оператор слева является эрмитовым . Собственные значения имеют вид n ( n + 1) , при этом $n=0,1,2,\ldots$ а собственные функции $P_{n}(x)$. Ортогональность и полнота этого набора решений сразу вытекают из более широкой структуры теории Штурма – Лиувилля.

Дифференциальное уравнение допускает еще одно неполиномиальное решение — функции Лежандра второго рода. $Q_{n}$.Двухпараметрическое обобщение (уравнения 1 ) называется общим дифференциальным уравнением Лежандра и решается с помощью связанных полиномов Лежандра . Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра (обобщенного или нет) с нецелыми параметрами.

В физических условиях дифференциальное уравнение Лежандра возникает естественным образом всякий раз, когда кто-то решает уравнение Лапласа (и связанные с ним уравнения в частных производных ) путем разделения переменных в сферических координатах . С этой точки зрения собственными функциями угловой части оператора Лапласа являются сферические гармоники , из которых полиномы Лежандра являются (с точностью до мультипликативной константы) подмножеством, которое остается инвариантным при поворотах вокруг полярной оси. Полиномы выглядят как $P_{n}(\cos \theta )$ где $\theta$ это полярный угол. Такой подход к полиномам Лежандра обеспечивает глубокую связь с вращательной симметрией. Многие их свойства, кропотливо обнаруживаемые методами анализа, — например теорема сложения, — легче обнаруживаются методами симметрии и теории групп и приобретают глубокий физический и геометрический смысл.

Ортогональность и полнота

Стандартизация $P_{n}(1)=1$ исправляет нормировку полиномов Лежандра (относительно L ² норма на интервале −1 ≤ x ≤ 1 ). Поскольку они также ортогональны относительно одной и той же нормы, два утверждения можно объединить в одно уравнение, $$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn},$$(где δ _mn обозначает дельту Кронекера , равную 1, если m = n , и 0 в противном случае).Эту нормировку легче всего найти, используя формулу Родригеса , приведенную ниже.

Полнота полиномов означает следующее. Для любой кусочно-непрерывной функции $f(x)$ с конечным числом разрывов на интервале [−1, 1] последовательность сумм $$f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)$$сходится в среднем к $f(x)$ как $n\to \infty$, при условии, что мы возьмем $$a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{2}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx.$$

Это свойство полноты лежит в основе всех разложений, обсуждаемых в этой статье, и часто выражается в форме $$\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {2\ell +1}{2}}P_{\ell }(x)P_{\ell }(y)=\delta (x-y),$$с −1 ≤ x ≤ 1 и −1 ≤ y ≤ 1 .

Формула Родригеса и другие явные формулы

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра даёт формула Родригеса : $$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,.$$

Эта формула позволяет получить большое количество свойств $P_{n}$х. Среди них есть явные представления, такие как $${\begin{aligned}P_{n}(x)&=[t^{n}]{\frac {\left((t+x)^{2}-1\right)^{n}}{2^{n}}}=[t^{n}]{\frac {\left(t+x+1\right)^{n}\left(t+x-1\right)^{n}}{2^{n}}},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\[1ex]P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{\!k},\\[1ex]P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\[1ex]P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}.\end{aligned}}$$Выразив полином в виде степенного ряда, ${\textstyle P_{n}(x)=\sum a_{k}x^{k}}$, коэффициенты при степенях $x$ также можно рассчитать по общей формуле: $$a_{k+2}=-{\frac {(l-k)(l+k+1)}{(k+2)(k+1)}}a_{k}.$$Полином Лежандра определяется значениями, используемыми для двух констант. ${\textstyle a_{0}}$ и ${\textstyle a_{1}}$, где ${\textstyle a_{0}=0}$ если $n$ это странно и ${\textstyle a_{1}=0}$ если $n$ четный.

В четвертом представлении $\lfloor n/2\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $n/2$. Последнее представление, также непосредственное из формулы рекурсии, выражает полиномы Лежандра простыми мономами и включает обобщенную форму биномиального коэффициента .

Первые несколько полиномов Лежандра:

$n$	$P_{n}(x)$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)}$
10	${\textstyle {\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)}$

Графики этих полиномов (до n = 5 ) показаны ниже:

Plot of the six first Legendre polynomials.

Применение полиномов Лежандра

1/ r Расширение потенциала

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 году Адрианом -Мари Лежандром. как коэффициенты разложения ньютоновского потенциала $${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma ),$$где r и r ′ — длины векторов x и x ′ соответственно, а γ — угол между этими двумя векторами. Ряд сходится, когда r > r ′ . Выражение дает гравитационный потенциал , связанный с точечной массой , или кулоновский потенциал, связанный с точечным зарядом . Разложение с использованием полиномов Лежандра может быть полезно, например, при интегрировании этого выражения по непрерывному распределению массы или заряда.

Полиномы Лежандра встречаются при решении Лапласа уравнения статического потенциала , ∇ ² Φ( x ) = 0 , в свободной от заряда области пространства, используя метод разделения переменных , где граничные условия обладают осевой симметрией (нет зависимости от азимутального угла ). Где ẑ — ось симметрии, а θ — угол между положением наблюдателя и осью ẑ (зенитный угол), решение для потенциала будет иметь вид $$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,.$$

A _l и B _l определяются согласно граничному условию каждой задачи.

Они также появляются при решении уравнения Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

Полиномы Лежандра в мультипольных разложениях

Diagram for the multipole expansion of electric potential.

Полиномы Лежандра полезны и при расширении функций вида (это то же самое, что и раньше, записанное немного иначе): $${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x),$$которые естественным образом возникают в мультипольных разложениях . Левая часть уравнения представляет собой производящую функцию полиномов Лежандра.

Например, электрический потенциал Φ( r , θ ) (в сферических координатах ) из-за точечного заряда , расположенного на оси z в точке z = a (см. диаграмму справа), изменяется как $$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.$$

Если радиус r точки наблюдения P больше a , то потенциал можно разложить по полиномам Лежандра $$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta ),$$где мы определили η = ⁠ а / р ⁠ < 1 и Икс знак равно потому что θ . Это разложение используется для разработки нормального мультипольного разложения .

И наоборот, если радиус r точки наблюдения P меньше a , потенциал все равно можно разложить по полиномам Лежандра, как указано выше, но с поменянными местами a и r . Это расширение является основой расширения внутреннего мультиполя .

Полиномы Лежандра в тригонометрии

Тригонометрические функции cos nθ , также обозначаемые как полиномы Чебышева T _n (cos θ ) ≡ cos nθ , также могут быть мультипольно расширены полиномами Лежандра P _n (cos θ ) . Первые несколько заказов выглядят следующим образом: $${\begin{alignedat}{2}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{3}}{\bigl (}4P_{2}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}}{\bigl (}8P_{3}(\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4}(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \theta )-7P_{0}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac {1}{63}}{\bigl (}128P_{5}(\cos \theta )-56P_{3}(\cos \theta )-9P_{1}(\cos \theta ){\bigr )},\\[4pt]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{\bigl (}2560P_{6}(\cos \theta )-1152P_{4}(\cos \theta )-220P_{2}(\cos \theta )-33P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{alignedat}}$$

Еще одним свойством является выражение для sin ( n + 1) θ , которое равно $${\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n}P_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \theta ).$$

Полиномы Лежандра в рекуррентных нейронных сетях

Рекуррентная нейронная сеть , содержащая d -мерный вектор памяти, $\mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}$, может быть оптимизировано так, чтобы его нейронная активность подчинялась линейной инвариантной во времени системе, заданной следующим представлением в пространстве состояний : $$\theta {\dot {\mathbf {m} }}(t)=A\mathbf {m} (t)+Bu(t),$$$${\begin{aligned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}},\\B&=\left[b\right]_{i}\in \mathbb {R} ^{d\times 1}{\text{,}}\quad &&b_{i}=(2i+1)(-1)^{i}.\end{aligned}}$$

В этом случае скользящее окно $u$ через прошлое $\theta$ единиц времени лучше всего аппроксимируется линейной комбинацией первых $d$ сдвинутые полиномы Лежандра, взвешенные вместе элементами $\mathbf {m}$ во время $t$: $$u(t-\theta ')\approx \sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde {P}}_{\ell }\left({\frac {\theta '}{\theta }}\right)\,m_{\ell }(t),\quad 0\leq \theta '\leq \theta .$$

В сочетании с методами глубокого обучения эти сети можно научить превосходить по производительности блоки долговременной памяти и соответствующие архитектуры, используя при этом меньше вычислительных ресурсов.

Дополнительные свойства полиномов Лежандра

Полиномы Лежандра имеют определенную четность. То есть четные они или нечетные , в соответствии с $$P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)\,.$$

Еще одним полезным свойством является $$\int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{ for }}n\geq 1,$$что следует из рассмотрения соотношения ортогональности с $P_{0}(x)=1$. Удобно, когда ряд Лежандра ${\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}$ используется для аппроксимации функции или экспериментальных данных: среднее значение ряда в интервале [−1, 1] просто определяется ведущим коэффициентом разложения $a_{0}$.

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизируются» (иногда называемые «нормализацией», но фактическая норма не равна 1), поскольку они масштабируются так, что $$P_{n}(1)=1\,.$$

Производная в конечной точке определяется выражением $$P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$$

Неравенство Аски – Гаспера для полиномов Лежандра имеет вид $$\sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\quad {\text{for }}\quad x\geq -1\,.$$

Полиномы Лежандра скалярного произведения единичных векторов можно расширить с помощью сферических гармоник, используя $$P_{\ell }\left(r\cdot r'\right)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,,$$где единичные векторы r и r ′ имеют сферические координаты ( θ , φ ) и ( θ ′, φ ′) соответственно.

Произведение двух полиномов Лежандра $$\sum _{p=0}^{\infty }t^{p}P_{p}(\cos \theta _{1})P_{p}(\cos \theta _{2})={\frac {2}{\pi }}{\frac {\mathbf {K} \left(2{\sqrt {\frac {t\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}}{t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\right)}{\sqrt {t^{2}-2t\cos \left(\theta _{1}+\theta _{2}\right)+1}}}\,,$$где $K(\cdot )$ — полный эллиптический интеграл первого рода .

Рекуррентные отношения

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как рекурсивная формула Бонне, определяемая формулой $$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)$$и $${\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)$$или, с альтернативным выражением, которое также справедливо в конечных точках $${\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\,.$$

Для интегрирования полиномов Лежандра полезно $$(2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){\bigr )}\,.$$

Из вышеизложенного также видно, что $${\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1{\bigr )}P_{n-4}(x)+\cdots$$или эквивалентно $${\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\|P_{n}\right\|^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\|P_{n-2}\right\|^{2}}}+\cdots$$где ‖ P _n ‖ — норма на интервале −1 ≤ x ≤ 1 $$\|P_{n}\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}{\bigl (}P_{n}(x){\bigr )}^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}\,.$$

Асимптотика

Асимптотически, для $\ell \to \infty$полиномы Лежандра можно записать как $${\begin{aligned}P_{\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \left(\theta \right)}}}\,J_{0}{\left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\\[1ex]&={\sqrt {\frac {2}{\pi \ell \sin \left(\theta \right)}}}\cos \left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\tfrac {\pi }{4}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}$$а для аргументов величины больше 1 $${\begin{aligned}P_{\ell }\left(\cosh \xi \right)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}$$где J ₀ и I ₀ — функции Бесселя .

Нули

Все $n$ нули $P_{n}(x)$ вещественны, отличны друг от друга и лежат в интервале $(-1,1)$. Более того, если рассматривать их как делящие интервал $[-1,1]$ в $n+1$ подинтервалов, каждый подинтервал будет содержать ровно один ноль $P_{n+1}$. Это известно как свойство переплетения. Ввиду свойства четности очевидно, что если $x_{k}$ является нулем $P_{n}(x)$, так и есть $-x_{k}$. Эти нули играют важную роль в численном интегрировании, основанном на квадратуре Гаусса . Конкретная квадратура, основанная на $P_{n}$известна как квадратура Гаусса-Лежандра .

Из этого свойства и фактов, которые $P_{n}(\pm 1)\neq 0$, отсюда следует, что $P_{n}(x)$ имеет $n-1$ локальные минимумы и максимумы $(-1,1)$. Эквивалентно, $dP_{n}(x)/dx$ имеет $n-1$ нули в $(-1,1)$.

Точечные оценки

Четность и нормализация подразумевают значения на границах $x=\pm 1$ быть $$P_{n}(1)=1\,,\quad P_{n}(-1)=(-1)^{n}$$В начале $x=0$ можно показать, что значения определяются выражением $$P_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}{\frac {(2n)!}{\left(n!\right)^{2}}}=(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}$$$$P_{2n+1}(0)=0$$

Полиномы Лежандра с преобразованным аргументом

Сдвинутые полиномы Лежандра

Сдвинутые полиномы Лежандра определяются как $${\widetilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,.$$Здесь функция «сдвига» x ↦ 2 x − 1 представляет собой аффинное преобразование , которое биективно отображает интервал [0, 1] в интервал [−1, 1] , подразумевая, что многочлены P̃ _n ( x ) ортогональны на [0 , 1] : $$\int _{0}^{1}{\widetilde {P}}_{m}(x){\widetilde {P}}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}\,.$$

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра имеет вид $${\widetilde {P}}_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}\,.$$

Аналогом формулы Родригеса для сдвинутых полиномов Лежандра является $${\widetilde {P}}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2}-x\right)^{n}\,.$$

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

$n$	${\widetilde {P}}_{n}(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
4	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$
5	$252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1$

Рациональные функции Лежандра

Основная статья: Рациональные функции Лежандра

Рациональные функции Лежандра представляют собой последовательность ортогональных функций на [0, ∞). Они получаются путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как: $$R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)\,.$$

Они являются собственными функциями сингулярной задачи Штурма – Лиувилля : $$\left(x+1\right){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0$$с собственными значениями $$\lambda _{n}=n(n+1)\,.$$

См. также

• Гауссова квадратура
• Полиномы контрбауэра
• Неравенства Турана
• Вейвлет Лежандра
• Функция Лежандра
• Полиномы Якоби
• Полиномы Романовского
• Расширение Лапласа (потенциал)

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 8» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 332, 773. ISBN.  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 . См. также главу 22 .
• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005). Математические методы для физиков . Эльзевир Академик Пресс. ISBN  0-12-059876-0 .
• Баин, СС (2006). Математические методы в науке и технике . Уайли. гл. 2. ISBN  978-0-470-04142-0 .
• Белоусов, С.Л. (1962). Таблицы нормализованных связанных полиномов Лежандра . Математические таблицы. Том. 18. Пергамон Пресс. ISBN  978-0-08-009723-7 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953). Методы математической физики . Том. 1. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Interscience. ISBN  978-0-471-50447-4 .
• Данстер, Т.М. (2010), «Лежандр и родственные функции» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Эль Аттар, Рефаат (2009). Полиномы Лежандра и функции . CreateSpace. ISBN  978-1-4414-9012-4 .
• Коорнвиндер, Том Х .; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .

Внешние ссылки

• Быстрый неформальный вывод полинома Лежандра в контексте квантовой механики водорода.
• «Полиномы Лежандра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Запись Wolfram MathWorld о полиномах Лежандра
• Статья доктора Джеймса Б. Калверта о полиномах Лежандра из его личной коллекции математики.
• Полиномы Лежандра Карлайла Э. Мура
• Полиномы Лежандра из гиперфизики