Фурье-оптика

Оптика Фурье — это исследование классической оптики с использованием преобразований Фурье (FT), в которых рассматриваемая форма волны рассматривается как состоящая из комбинации или суперпозиции плоских волн. Он имеет некоторые параллели с принципом Гюйгенса-Френеля , в котором волновой фронт рассматривается как состоящий из комбинации сферических волновых фронтов (также называемых фазовыми фронтами), сумма которых представляет собой изучаемый волновой фронт. Ключевое отличие состоит в том, что оптика Фурье считает плоские волны естественными модами среды распространения, в отличие от Гюйгенса-Френеля, где сферические волны возникают в физической среде.

Искривленный фазовый фронт может быть синтезирован из бесконечного числа этих «естественных мод», т. е. из фазовых фронтов плоских волн, ориентированных в пространстве в разных направлениях. Когда расширяющаяся сферическая волна находится далеко от своих источников, она локально касается плоского фазового фронта (одна плоская волна из бесконечного спектра), который перпендикулярен радиальному направлению распространения. В этом случае дифракции Фраунгофера создается картина , исходящая из единого фазового центра сферической волны. В ближнем поле не существует ни одного четко определенного фазового центра сферической волны, поэтому волновой фронт не касается локально сферического шара. В этом случае дифракции Френеля будет создана картина , исходящая от протяженного источника, состоящего из распределения (физически идентифицируемых) источников сферических волн в пространстве. В ближнем поле для представления волны Френеля в ближнем поле необходим полный спектр плоских волн, даже локально . «Широкую» волну , движущуюся вперед (подобно расширяющейся океанской волне, приближающейся к берегу), можно рассматривать как бесконечное число « Моды плоских волн », все из которых могут (когда они сталкиваются с чем-то, например, с камнем на пути) рассеиваться независимо друг от друга. Эти математические упрощения и расчеты являются областью анализа и синтеза Фурье - вместе они могут описать то, что происходит. когда свет проходит через различные щели, линзы или зеркала, изогнутые в ту или иную сторону, либо полностью или частично отражается.

Оптика Фурье формирует большую часть теории, лежащей в основе методов обработки изображений , а также приложений, в которых информация должна быть извлечена из оптических источников, например, в квантовой оптике . Говоря немного сложнее, подобно концепции частоты и времени, используемой в традиционной теории преобразования Фурье , оптика Фурье использует пространственную частотную область ( k _x , k _y ) как сопряженную пространственную ( x , y ) область. ) домен. такие термины и понятия, как теория преобразования, спектр, полоса пропускания, оконные функции и выборка из одномерной обработки сигналов Обычно используются .

Оптика Фурье играет важную роль в высокоточных оптических приложениях, таких как фотолитография , в которой рисунок на сетке, отображаемый на пластинах для производства полупроводниковых чипов, настолько плотен, что свет (например, DUV или EUV ), исходящий от сетки, дифрагирует. и каждый дифрагированный свет может соответствовать различной пространственной частоте ( k _x , k _y ). Из-за в целом неоднородного рисунка на сетках простой анализ дифракционной решетки может не дать подробностей о том, как свет преломляется от каждой сетки.

Распространение света в однородных средах без источников.

Свет можно описать как волну, распространяющуюся через свободное пространство (вакуум) или материальную среду (например, воздух или стекло). Математически действительная компонента векторного поля, описывающего волну, представляется скалярной волновой функцией u , которая зависит как от пространства, так и от времени: $$u=u(\mathbf {r} ,t)$$где $$\mathbf {r} =(x,y,z)$$представляет положение в трехмерном пространстве (здесь в декартовой системе координат ), а t представляет время.

Волновое уравнение

Оптика Фурье начинается с однородного скалярного волнового уравнения (действительного в областях без источников): $$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$$где $c$ — скорость света , а u ( r , t ) — вещественная декартова компонента электромагнитной волны, распространяющейся через свободное пространство (например, u ( r , t ) = E _i ( r , t ) для i = x , y или z , где E _i — по компонента электрического поля E оси i в декартовой системе координат ).

Синусоидальное устойчивое состояние

Если предполагается свет фиксированной частоты во времени / длине волны / цвете (как от одномодового лазера), то, исходя из инженерного соглашения о времени, которое предполагает $e^{i\omega t}$ временная зависимость в волновых решениях на угловой частоте $\omega =2\pi f$ с $f=1/\tau$ где $\tau$ – период времени волн, гармоническая по времени форма оптического поля задается как $$u(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}.$$где $i$ это мнимая единица , $\operatorname {Re} \left\{x\right\}$ оператор берет на себя реальную часть $x$, $$\omega =2\pi f$$ - угловая частота (в радианах в единицу времени) световых волн, а $$\psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}$$ вообще говоря, комплексная величина, с отдельной амплитудой $a$ в неотрицательном действительном числе и фазе $\phi$.

Уравнение Гельмгольца

Подстановка этого выражения в скалярное волновое уравнение, приведенное выше, дает независимую от времени форму волнового уравнения: $$\operatorname {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0$$где $$k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$$с длиной волны $\lambda$ в вакууме – волновое число (также называемое постоянной распространения), $\psi (\mathbf {r} )$ является пространственной частью комплекснозначной декартовой компоненты электромагнитной волны. Обратите внимание, что константа распространения $k$ и угловая частота $\omega$ линейно связаны друг с другом, что является типичной характеристикой поперечных электромагнитных (ПЭМ) волн в однородных средах.

Поскольку первоначально искомое действительное решение $u(\mathbf {r} ,t)$ скалярного волнового уравнения можно просто получить, взяв действительную часть $\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}$, решение следующего уравнения, известного как уравнение Гельмгольца , в основном связано с тем, что обработка комплексной функции часто намного проще, чем обработка соответствующей действительной функции. $$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=0.$$

Решение уравнения Гельмгольца

Решения уравнения Гельмгольца в декартовой системе координат легко найти с помощью принципа разделения переменных для уравнений в частных производных . Этот принцип гласит, что в разделимых ортогональных координатах решение элементарного произведения этого волнового уравнения может быть построено в следующем виде: $$\psi (x,y,z)=f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)$$т. е. как произведение функции x , умноженной на функцию y , умноженной на функцию z . Если это элементарное произведение подставить в волновое уравнение, используя скалярный лапласиан в декартовой системе координат $$\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}},$$тогда получается следующее уравнение для трех отдельных функций $$f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0$$которое легко переставить в вид: $${\frac {f_{x}''(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f_{z}''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0$$

Теперь можно утверждать, что каждое частное в приведенном выше уравнении по необходимости должно быть постоянным. Чтобы оправдать это, скажем, что первое частное не является константой, а является функцией x . Поскольку ни один из других членов уравнения не зависит от переменной x , первый член также не должен иметь никакой зависимости от x ; это должно быть константой. (Если первый член является функцией x , то невозможно сделать левую часть этого уравнения равной нулю.) Эта константа обозначается как - k _x ² . Аналогично рассуждая о факторах y и z , получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения для f _x , f _y и f _z , а также одно условие разделения :

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=k^{2}\end{aligned}}$$

Каждое из этих трех дифференциальных уравнений имеет одинаковую форму решения: синусы, косинусы или комплексные экспоненты. Мы будем использовать комплексную экспоненту, поскольку $\psi (x,y,z)$ быть сложной функцией. В результате элементарное продуктовое решение $\psi (x,y,z)$ является $${\begin{aligned}\psi (x,y,z)&=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}\end{aligned}}$$с вообще комплексным числом $A$. Это решение является пространственной частью комплекснозначной декартовой компоненты (например, $E_{x}$, $E_{y}$, или $E_{z}$ как составляющая электрического поля вдоль каждой оси в декартовой системе координат ) распространяющейся плоской волны. $k_{i}$ ( $i=x$, $y$, или $z$) здесь является действительным числом, поскольку предполагались волны в среде без источников, поэтому каждая плоская волна не затухает и не усиливается по мере распространения в среде. Отрицательный знак $k_{i}$ ( $i=x$, $y$, или $z$) в волновом векторе $\mathbf {k} =k_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+k_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$ (где ${\textstyle \left|\mathbf {k} \right|=k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$) означает, что вектор направления распространения волны имеет положительное значение $i$ ( $i=x$, $y$, или $z$)-компонента, а положительный знак $k_{i}$ означает негатив $i$ ( $i=x$, $y$, или $z$)-компонента этого вектора.

Решения продукта уравнения Гельмгольца также легко получаются в цилиндрических и сферических координатах , давая цилиндрические и сферические гармоники (при этом остальные разделимые системы координат используются гораздо реже).

Полное решение: интеграл суперпозиции

Общее решение уравнения однородной электромагнитной волны при фиксированной временной частоте $f$ в декартовой системе координат может быть сформирована как взвешенная суперпозиция всех возможных решений элементарных плоских волн как

$$\psi (x,y,z)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}~dk_{x}dk_{y}$$ ( 2.1 )

с ограничениями $k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}$, каждый $k_{i}$ как действительное число, и $k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$ где $\omega =2\pi f$. В этой суперпозиции $\Psi _{0}(k_{x},k_{y})$ - весовой коэффициент или амплитуда составляющей плоской волны с волновым вектором $(k_{x},k_{y},k_{z})$ где $k_{z}$ определяется с точки зрения $k_{x}$ и $k_{y}$ по указанному ограничению.

Дальше пусть $$\psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}.$$Затем: $$\psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}$$

Представление спектра плоских волн общего электромагнитного поля (например, сферической волны) в уравнении ( 2.1 ) является основной основой оптики Фурье (этот момент невозможно подчеркнуть достаточно сильно), поскольку при z = 0 уравнение просто принимает вид связь преобразования Фурье (FT) между полем и его содержимым плоских волн (отсюда и название « оптика Фурье» ).

Таким образом: $$\Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}$$и $$\psi _{0}(x,y)={\mathcal {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}$$

Вся пространственная зависимость каждой компоненты плоской волны явно описывается экспоненциальной функцией. Коэффициент экспоненты является функцией только двух компонент волнового вектора для каждой плоской волны (поскольку другая оставшаяся компонента может быть определена с помощью упомянутых выше ограничений), например $k_{x}$ и $k_{y}$, так же, как в обычном анализе Фурье и преобразованиях Фурье .

Связь между оптикой Фурье и разрешением изображения

Давайте рассмотрим систему визуализации, в которой ось z является оптической осью системы, а плоскость объекта (которая должна быть отображена на плоскости изображения системы) — это плоскость в точке $z=0$. На предметной плоскости пространственная часть комплекснозначной декартовой компоненты волны, как показано выше, равна ${\textstyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ с ограничениями ​ $k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}$, каждый $k_{i}$ как действительное число, и $k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$ где $\omega =2\pi f$. Визуализация — это реконструкция волны на плоскости объекта (имеющей информацию об образце на плоскости объекта, подлежащего отображению) в плоскости изображения посредством надлежащего распространения волны от объекта к плоскостям изображения (например, подумайте о визуализации). изображения в воздушном пространстве.), а волна на плоскости объекта, которая полностью соответствует отображаемому образцу, в принципе описывается неограниченным обратным преобразованием Фурье ${\textstyle \psi _{0,{\text{unc}}}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ где $k_{i}$ принимает бесконечный диапазон действительных чисел. Это означает, что для данной частоты света можно отобразить только часть полной характеристики узора из-за вышеупомянутых ограничений на $k_{i}$; (1) мелкая особенность, для представления которой в обратном преобразовании Фурье требуются пространственные частоты ${\textstyle {\frac {k_{T}}{2\pi }}}$, где $k_{T}$ являются поперечными волновыми числами, удовлетворяющими $k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}$, не могут быть полностью отображены, поскольку волны с такими $k_{T}$ не существуют в данном свете $k$ (Это явление известно как дифракционный предел .), и (2) пространственные частоты с $k_{T}<k$ но близко к $k$ поэтому более высокие углы выхода волны по отношению к оптической оси требуют системы визуализации с высокой числовой апертурой , которая дорога и сложна в изготовлении. Для (1), даже если комплексные продольные волновые числа $k_{z}$ разрешены (из-за неизвестного взаимодействия между светом и рисунком плоскости объекта, который обычно представляет собой твердый материал), $k_{z}$ вызывают затухание света вдоль $z$ оси (Усиление света вдоль $z$ ось физически не имеет смысла, если между плоскостями объекта и изображения нет усиливающего материала, и это обычный случай.) поэтому волны с такой $k_{z}$ может не достигать плоскости изображения, которая обычно находится достаточно далеко от плоскости объекта.

Что касается фотолитографии электронных компонентов, эти (1) и (2) являются причинами того, почему свет более высокой частоты (меньшая длина волны, следовательно, большая величина $k$) или требуется система визуализации с более высокой числовой апертурой для изображения более тонких особенностей интегральных схем на фоторезисте на пластине. В результате машины, реализующие такую ​​оптическую литографию, становятся все более сложными и дорогими, что значительно увеличивает стоимость производства электронных компонентов.

Параксиальное приближение

Параксиальное распространение волн (оптическая ось принимается за ось z)

Предполагается, что решение уравнения Гельмгольца как пространственная часть комплекснозначной декартовой составляющей одночастотной волны имеет вид: $$\psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$$где $\mathbf {k}$ , волновой вектор а $$\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z}$$и $$k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \over c}$$это волновое число. Затем используйте параксиальное приближение , то есть малоугловое приближение, такое что $$k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}$$Итак, с точностью до второго порядка аппроксимации тригонометрических функций (т. е. до второго члена в ряд Тейлора разложения каждой тригонометрической функции ): $${\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\tan \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-\theta ^{2}/2\end{aligned}}$$

где $\theta$ - угол (в радианах) между волновым вектором k и осью z как оптической осью обсуждаемой оптической системы.

Как результат, $$k_{z}=k\cos \theta \approx k(1-\theta ^{2}/2)$$и $$\psi (\mathbf {r} )\approx A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}$$

Параксиальное волновое уравнение

Подставляя это выражение в уравнение Гельмгольца, получаем уравнение параксиальной волны: $$\nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0$$где $$\nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}$$— поперечный оператор Лапласа в декартовой системе координат . При выводе параксиального волнового уравнения используются следующие приближения.

• $\theta$ маленький( $\theta \ll 1$) поэтому термин с $\theta ^{2}$ игнорируется.
• Условия с $2k_{x}$ и $2k_{y}$ намного меньше, чем член с $2k$ (или $2k_{z}$), поэтому эти два термина игнорируются.
• ${\textstyle \left|{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )\right|\ll \left|k{\frac {\partial }{\partial z}}A(\mathbf {r} )\right|}$ так что термин с ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )}$ игнорируется. Это приближение медленно меняющейся огибающей , означающее, что амплитуда или огибающая волны $A(\mathbf {r} )$ медленно меняется по сравнению с основным периодом волны ${\textstyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$.

Приближение дальнего поля

Основная статья: дифракция Фраунгофера

Уравнение ( 2.1 ), приведенное выше, можно асимптотически оценить в дальней зоне (с использованием метода стационарной фазы ), чтобы показать, что поле в удаленной точке $(x,y,z)$ действительно обусловлена ​​исключительно плосковолновой составляющей с волновым вектором $(k_{x},k_{y},k_{z})$ который распространяется параллельно вектору $(x,y,z)$, плоскость которого касается фазового фронта в точке $(x,y,z)$. Математические детали этого процесса можно найти в работах Скотта [1998] или Скотта [1990]. Результатом интегрирования стационарной фазы приведенного выше выражения является следующее выражение:

$$E_{u}(r,\theta ,\phi )~=~2\pi i~(k~\cos \theta )~{\frac {e^{-ikr}}{r}}~E_{u}(k~\sin \theta ~\cos \phi ,k~\sin \theta ~\sin \phi )$$ ( 2.2 )

что ясно указывает на то, что поле в $(x,y,z)$ прямо пропорциональна спектральной составляющей в направлении $(x,y,z)$, где,

• ${\textstyle x=r~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle y=r~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle z=r~\cos \theta ~}$

и

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Другими словами, диаграмма направленности любого плоского распределения поля представляет собой FT (преобразование Фурье) этого распределения источника (см. Принцип Гюйгенса-Френеля , в котором то же уравнение разрабатывается с использованием подхода функции Грина ). Обратите внимание, что это НЕ плоская волна. ${\frac {e^{-ikr}}{r}}$ радиальная зависимость представляет собой сферическую волну - как по величине, так и по фазе, - локальная амплитуда которой равна FT распределения плоскости источника под этим дальним углом поля. Спектр плоских волн не обязательно означает, что поле как суперпозиция компонентов плоских волн в этом спектре ведет себя как плоская волна на больших расстояниях.

Пространственная и угловая ширина полосы пропускания

Уравнение ( 2.2 ), приведенное выше, имеет решающее значение для установления связи между пространственной полосой пропускания (с одной стороны) и угловой полосой пропускания (с другой) в дальней зоне. Обратите внимание, что термин «дальнее поле» обычно означает, что мы говорим о сходящейся или расходящейся сферической волне с довольно четко выраженным фазовым центром. Связь между пространственной и угловой полосой пропускания в дальней зоне важна для понимания свойств фильтрации нижних частот тонких линз. См. раздел 6.1.3 , где описаны условия определения дальней зоны.

Как только концепция угловой ширины полосы понята, учёный-оптик может «прыгать взад и вперед» между пространственной и спектральной областями, чтобы быстро получить информацию, которая обычно не была бы так легко доступна только с помощью одних лишь соображений пространственной области или лучевой оптики. Например, любая полоса пропускания источника, лежащая за краем угла до первой линзы (этот крайний угол определяет полосу пропускания оптической системы), не будет захватываться системой, подлежащей обработке.

Кстати, учёные-электромагнетики разработали альтернативный способ расчета электрического поля в дальней зоне, который не требует интегрирования стационарной фазы. Они разработали концепцию, известную как «фиктивные магнитные токи», обычно обозначаемые М и определяемые как $$\mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{\text{aper}}\times \mathbf {\hat {z}} .$$В этом уравнении предполагается, что единичный вектор в направлении z указывает на полупространство, где будут выполняться расчеты дальнего поля. Эти эквивалентные магнитные токи получаются с использованием принципов эквивалентности , которые в случае бесконечного плоского интерфейса позволяют любые электрические токи J «отображать» , в то время как фиктивные магнитные токи получаются из электрического поля, вдвое превышающего апертурное (см. Скотт [1998] ). Затем излучаемое электрическое поле рассчитывается из магнитных токов с использованием уравнения, аналогичного уравнению для магнитного поля, излучаемого электрическим током. Таким образом, получается векторное уравнение для излучаемого электрического поля через апертурное электрическое поле, причем вывод не требует использования идей стационарной фазы.

Спектр плоских волн: основа оптики Фурье

Концепция спектра плоских волн является основной основой оптики Фурье. Спектр плоских волн представляет собой непрерывный спектр однородных плоских волн, и в спектре имеется одна компонента плоской волны для каждой точки касания на фазовом фронте в дальней зоне. Амплитуда этой составляющей плоской волны будет амплитудой оптического поля в этой точке касания. Опять же, это верно только в дальнем поле, грубо определяемом как диапазон за пределами $2D^{2}/\lambda$ где $D$ - максимальная линейная протяженность оптических источников и $\lambda$ — длина волны (Скотт [1998]). Спектр плоских волн часто считается дискретным для определенных типов периодических решеток, хотя на самом деле спектры решеток также являются непрерывными, поскольку ни одно физическое устройство не может иметь бесконечную протяженность, необходимую для создания истинного линейчатого спектра.

Как и в случае с электрическими сигналами, полоса пропускания в оптике является мерой того, насколько детализировано изображение; чем мельче детализация, тем большая полоса пропускания требуется для ее представления. Электрический сигнал постоянного тока (постоянного тока) постоянен и не имеет колебаний; плоская волна, распространяющаяся параллельно оптике ( $z$) ось имеет постоянное значение в любой плоскости x - y и, следовательно, аналогична (постоянной) постоянной составляющей электрического сигнала. Пропускная способность электрических сигналов связана с разницей между самой высокой и самой низкой частотой, присутствующей в спектре сигнала, практически с критерием отсечения высокочастотных и низкочастотных краев спектра для представления полосы пропускания в числе. Для оптических систем полоса пропускания также связана с пространственно-частотным составом (пространственная полоса пропускания), но она также имеет второстепенное значение. Он также измеряет, насколько далеко от оптической оси наклонены соответствующие плоские волны, поэтому этот тип полосы пропускания часто называют также угловой полосой пропускания. Для создания короткого импульса в электрической цепи требуется более широкий диапазон частот, а для создания острого пятна в оптической системе требуется более широкий диапазон угловой (или пространственной частоты) (см. обсуждение, связанное с функцией рассеяния точки ).

Спектр плоских волн естественным образом возникает как собственная функция или решение «естественной моды» однородного уравнения электромагнитной волны в прямоугольных координатах (см. также «Электромагнитное излучение » , которое выводит волновое уравнение из уравнений Максвелла в средах без источников, или Скотт [1998]). . В частотной области с предполагаемым временным соглашением $e^{i\omega t}$уравнение однородной электромагнитной волны становится так называемым уравнением Гельмгольца и принимает вид

$$\nabla ^{2}E_{u}+k^{2}E_{u}=0$$ ( 2.3 )

где $u=x,y,z$ и $k=2\pi /\lambda$ – волновое число среды.

Решения для собственных функций (естественный режим): предыстория и обзор

В случае дифференциальных уравнений, как и в случае матричных уравнений, всякий раз, когда правая часть уравнения равна нулю (например, вынуждающая функция, вынуждающий вектор или источник силы равна нулю), уравнение все еще может допускать нетривиальное решение , известное в прикладной математике как решение собственной функции , в физике как решение «естественного режима» и в теории электрических цепей как «реакция при нулевом входе». Эта концепция охватывает широкий спектр физических дисциплин. Общие физические примеры резонансных естественных мод включают резонансные колебательные моды струнных инструментов (1D), ударных инструментов (2D) или бывшего моста через пролив Такома (3D). Примеры распространения собственных мод включают моды волновода , моды оптического волокна , солитоны и волны Блоха . Бесконечная однородная среда допускает прямоугольные, круговые и сферические гармонические решения уравнения Гельмгольца в зависимости от рассматриваемой системы координат. Распространяющиеся плоские волны, которые мы будем изучать в этой статье, возможно, являются самым простым типом распространяющихся волн, встречающихся в любой среде.

Существует поразительное сходство между приведенным выше уравнением Гельмгольца ( 2.3 ), которое можно записать $$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)f=0,$$и обычная форма уравнения для собственных значений/собственных векторов квадратной матрицы A , $$\left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {x} =0,$$

тем более что и скалярный лапласиан $\nabla ^{2}$ и матрица A являются линейными операторами в соответствующих функциях/векторных пространствах. (Знак минус в этом матричном уравнении, по сути, несущественен. Однако знак плюс в уравнении Гельмгольца имеет значение.) Возможно, стоит отметить, что решения для собственных функций / решения для собственных векторов уравнения Гельмгольца / матричные уравнения часто дают ортогональный набор собственных функций/собственных векторов, которые охватывают (т. е. образуют базисный набор) рассматриваемое функциональное/векторное пространство. Заинтересованный читатель может исследовать другие функциональные линейные операторы (то есть для уравнений, отличных от уравнения Гельмгольца), которые приводят к возникновению различных видов ортогональных собственных функций, таких как полиномы Лежандра , полиномы Чебышева и полиномы Эрмита .

В случае матричного уравнения, когда A является квадратной матрицей, собственные значения $\lambda$ можно найти, установив определитель матрицы равным нулю, т.е. найдя место, где матрица не имеет обратной. (Такая квадратная матрица называется сингулярной .) Конечные матрицы имеют только конечное число собственных значений/собственных векторов, тогда как линейные операторы могут иметь счетное бесконечное число собственных значений/собственных функций (в ограниченных областях) или несчетно бесконечные (непрерывные) спектры решения, как в неограниченных областях.

В некоторых физических приложениях, таких как вычисление полос в периодическом объеме , часто бывает так, что элементы матрицы будут очень сложными функциями частоты и волнового числа, и матрица будет неособой (т. е. она имеет обратная матрица.) для большинства комбинаций частоты и волнового числа, но также будет сингулярным (т. е. у него нет обратной матрицы.) для некоторых конкретных комбинаций. Найдя, какие комбинации частоты и волнового числа приводят определитель матрицы к нулю, можно определить характеристики распространения среды. Соотношения этого типа между частотой и волновым числом известны как дисперсионные соотношения , и некоторые физические системы могут допускать множество различных видов дисперсионных соотношений. Примером из электромагнетизма является обычный волновод, который может допускать множество дисперсионных соотношений, каждое из которых связано с уникальной модой распространения волновода. Каждая мода распространения волновода известна как собственная функция. решение (или решение собственной моды) уравнений Максвелла в волноводе. Свободное пространство также допускает решения для собственных мод (естественных мод) (известных чаще как плоские волны), но с той разницей, что для любой заданной частоты свободное пространство допускает непрерывный модальный спектр, тогда как волноводы имеют дискретный модовый спектр. В этом случае дисперсионное уравнение линейное, как в разделе 1.3 .

K-пространство

Для данного $k$ такой как $k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$ для однородного вакуумного пространства условие разделения, $$k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}$$которое идентично уравнению евклидовой метрики в трехмерном конфигурационном пространстве, предполагает понятие k-вектора в трехмерном «k-пространстве», определенного (для распространения плоских волн) в прямоугольных координатах как: $$\mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z}}$$и в сферической системе координат как

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Эти отношения сферической системы координат будут использованы в следующем разделе .

Понятие k-пространства занимает центральное место во многих дисциплинах техники и физики, особенно при изучении периодических объемов, например, в кристаллографии и зонной теории полупроводниковых материалов.

Двумерное преобразование Фурье

Уравнение спектрального анализа (расчет спектра функции $u(x,y)$): $$U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy$$

Уравнение синтеза (восстанавливающее функцию $u(x,y)$ из его спектра): $$u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}$$

Нормирующий коэффициент ${1}/{(2\pi )^{2}}$ присутствует всякий раз, когда используется угловая частота (радианы), но не когда используется обычная частота (циклы).

Оптические системы: общий обзор и аналогия с системами обработки электрических сигналов

В общих чертах оптическая система состоит из трех частей; входную плоскость и выходную плоскость, а также набор компонентов между этими плоскостями, которые преобразуют изображение f, сформированное во входной плоскости, в другое изображение g , сформированное в выходной плоскости. оптической системы Выходное изображение g связано с входным изображением f путем свертки входного изображения с функцией оптического импульсного отклика оптической системы h (известной как функция рассеяния точки для фокусированных оптических систем). Функция импульсного отклика однозначно определяет поведение ввода-вывода оптической системы. Условно за оптическую ось системы принимается ось z . В результате оба изображения и функция импульсного отклика являются функциями поперечных координат x и y . $$g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)$$

Импульсная характеристика системы оптического изображения представляет собой поле выходной плоскости, которое создается, когда точечный источник света идеального математического оптического поля, то есть импульсный вход в систему, помещается во входную плоскость (обычно на оси, т. е. на оптической оси). На практике не обязательно иметь идеальный точечный источник для определения точной импульсной характеристики. Это связано с тем, что любая полоса пропускания источника, лежащая за пределами полосы пропускания рассматриваемой оптической системы, в любом случае не будет иметь значения (поскольку она даже не может быть уловлена ​​оптической системой), поэтому в ней нет необходимости при определении импульсной характеристики. Источнику необходимо иметь как минимум такую ​​же (угловую) полосу пропускания, как и оптическая система.

Оптические системы обычно попадают в одну из двух категорий. Первыми являются обычные сфокусированные оптические системы формирования изображения (например, камеры), в которых входная плоскость называется плоскостью объекта, а выходная плоскость называется плоскостью изображения. Оптическое поле в плоскости изображения (выходная плоскость системы формирования изображения) должно представлять собой высококачественное воспроизведение оптического поля в плоскости объекта (входная плоскость системы формирования изображения). Функция импульсного отклика системы оптического формирования изображения должна аппроксимировать двумерную дельта-функцию в месте (или в линейно масштабированном месте) в выходной плоскости, соответствующем местоположению импульса (идеального точечного источника) во входной плоскости. Фактическая функцию функция импульсного отклика системы визуализации обычно напоминает Эйри , радиус которой порядка длины волны используемого света. Функция импульсного отклика в этом случае обычно называется функцией рассеяния точки , поскольку математическая точка света в плоскости объекта была расширена до функции Эйри в плоскости изображения.

Второй тип — системы оптической обработки изображений, в которых необходимо локализовать и изолировать существенную особенность оптического поля входной плоскости. В этом случае желательно, чтобы импульсная характеристика такой системы представляла собой близкую копию (картинку) того признака, который ищется в поле входной плоскости, чтобы свертка импульсного отклика (изображение искомого признака) ) против поля входной плоскости создаст яркое пятно в месте расположения объекта на выходной плоскости. Именно этот последний тип системы оптической обработки изображений и является предметом данного раздела. В разделе 6.2 представлена ​​одна аппаратная реализация операций оптической обработки изображений, описанных в этом разделе.

Входная плоскость

Входная плоскость определяется как геометрическое место всех точек таких, что z = 0. Таким образом, входное изображение f имеет вид $$f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}$$

Выходная плоскость

Выходная плоскость определяется как геометрическое место всех точек, таких что z = d . выходное изображение g Таким образом, $$g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}$$

Двумерная свертка входной функции с функцией импульсного отклика

$$g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)$$то есть,

$$g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h(x-x',y-y')~f(x',y')~dx'dy'$$ ( 4.1 )

Внимательный читатель заметит, что приведенный выше интеграл молчаливо предполагает, что импульсная характеристика НЕ ​​является функцией положения (x',y') импульса света во входной плоскости (если бы это было не так, этот тип свертки было бы невозможно). Это свойство известно как инвариантность к сдвигу (Скотт [1998]). Ни одна оптическая система не является полностью инвариантной к сдвигу: поскольку идеальная, математическая точка света сканируется в сторону от оптической оси, аберрации в конечном итоге ухудшают импульсный отклик (известный как кома в системах фокусировки изображений). Однако высококачественные оптические системы часто «достаточно инвариантны к сдвигу» в определенных областях входной плоскости, поэтому мы можем рассматривать импульсную характеристику как функцию только разницы между координатами входной и выходной плоскостей и, таким образом, безнаказанно использовать приведенное выше уравнение. .

Кроме того, это уравнение предполагает единичное увеличение. Если увеличение присутствует, то уравнение. ( 4.1 ) становится

$$g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h_{M}(x-Mx',y-My')~f(x',y')~dx'dy'$$ ( 4.2 )

который в основном переводит функцию импульсного отклика h _M () из x' в x = Mx' . В уравнении ( 4.2 ), h _M будет увеличенной версией функции импульсного отклика h аналогичной системы без увеличения, так что h _M ( x , y ) = h ( x / M , y / M ).

Вывод уравнения свертки

Расширение до двух измерений тривиально, за исключением той разницы, что причинность существует во временной области, но не в пространственной. Причинность означает, что импульсный отклик h ( t - t' ) электрической системы, вызванный импульсом, приложенным в момент времени t' , обязательно должен быть равен нулю для всех моментов времени t, таких что t - t' < 0.

Получение сверточного представления ответа системы требует представления входного сигнала как взвешенной суперпозиции над последовательностью импульсных функций с использованием свойства просеивания дельта -функций Дирака . $$f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'$$

Тогда предполагается, что рассматриваемая система является линейной , то есть, что выход системы из-за двух разных входов (возможно, в два разных момента времени) представляет собой сумму отдельных выходов системы для двух входов, когда вводится индивидуально. Таким образом, оптическая система не может содержать ни нелинейных материалов, ни активных устройств (за исключением, возможно, предельно линейных активных устройств). Выход системы для одного входа дельта-функции определяется как импульсный отклик системы h ( t - t ' ). И, исходя из нашего предположения о линейности (т. е. что выходной сигнал системы на вход последовательности импульсов представляет собой сумму выходных сигналов каждого отдельного импульса), мы теперь можем сказать, что общая входная функция f ( t ) дает выходной сигнал: $$g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'$$где h ( t - t' ) — (импульсный) отклик линейной системы на входной сигнал дельта-функции δ ( t - t' ), примененный в момент времени t' . Вот откуда берется приведенное выше уравнение свертки. Уравнение свертки полезно, потому что зачастую гораздо проще найти реакцию системы на входные данные дельта-функции, а затем выполнить приведенную выше свертку, чтобы найти ответ на произвольный входной сигнал, чем пытаться найти ответ на произвольный ввод напрямую. Кроме того, импульсная характеристика (во временной или частотной области) обычно дает представление о соответствующих показателях качества системы. В случае большинства объективов функция рассеяния точки (PSF) является довольно распространенным показателем качества для целей оценки.

Та же логика используется в связи с принципом Гюйгенса-Френеля или формулировкой Страттона-Чу, в которой «импульсный отклик» называется функцией Грина системы. Таким образом, работа линейной оптической системы в пространственной области в этом отношении аналогична принципу Гюйгенса – Френеля.

Функция передачи системы

Если последнее уравнение выше преобразовано Фурье, оно будет выглядеть следующим образом: $$G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )$$где

• $G(\omega )$ это спектр выходного сигнала
• $H(\omega )$ передаточная функция системы
• $F(\omega )$ это спектр входного сигнала

Аналогичным образом, уравнение. ( 4.1 ) можно преобразовать Фурье, чтобы получить:

$$G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})$$

Передаточная функция системы, $H(\omega )$. В оптической визуализации эта функция более известна как оптическая передаточная функция (Гудмана) .

Еще раз можно отметить из обсуждения условия синуса Аббе , что это уравнение предполагает единичное увеличение.

Это уравнение приобретает свой реальный смысл, когда преобразование Фурье $~G(k_{x},k_{y})$ связан с коэффициентом плоской волны, поперечные волновые числа которой равны $~(k_{x},k_{y})$. Таким образом, спектр плоских волн входной плоскости преобразуется в спектр плоских волн выходной плоскости посредством мультипликативного действия передаточной функции системы. Именно на этом этапе понимания предыдущие знания о спектре плоских волн становятся неоценимыми для концептуализации оптических систем Фурье.

Приложения принципов оптики Фурье

Оптика Фурье используется в области оптической обработки информации, основой которой является классический процессор 4F.

Свойства преобразования Фурье линзы таких обеспечивают многочисленные применения в обработке оптических сигналов, как пространственная фильтрация , оптическая корреляция и компьютерные голограммы .

Оптическая теория Фурье используется в интерферометрии , оптических пинцетах , атомных ловушках и квантовых вычислениях . Концепции оптики Фурье используются для восстановления фазы интенсивности света в плоскости пространственных частот (см. адаптивно-аддитивный алгоритм ).

Фурье-преобразующее свойство линз.

Если пропускающий объект поместить на одном фокусном расстоянии перед линзой , то его преобразование Фурье будет сформировано на одном фокусном расстоянии позади линзы. Рассмотрите рисунок справа (нажмите для увеличения)

О свойстве преобразования Фурье линз

На этом рисунке предполагается плоская волна, падающая слева. Функция пропускания в передней фокальной плоскости (т. е. плоскости 1) пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как в левой части уравнения. ( 2.1 ) (заданный для z = 0), и при этом создает спектр плоских волн, соответствующий ФП функции пропускания, как в правой части уравнения. ( 2.1 ) (при z > 0). Различные компоненты плоской волны распространяются под разными углами наклона относительно оптической оси линзы (т. е. горизонтальной оси). Чем тоньше особенности прозрачности, тем шире угловая полоса спектра плоской волны. Мы рассмотрим одну из таких компонент плоской волны, распространяющуюся под углом θ к оптической оси. Предполагается, что θ мало ( параксиальное приближение ), так что $${\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta$$и $${\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}$$и $${\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}$$

На рисунке фаза плоской волны , движущейся горизонтально от передней фокальной плоскости к плоскости линзы, равна $$e^{ikf\cos \theta }$$а фаза сферической волны от линзы до пятна в задней фокальной плоскости равна: $$e^{ikf/\cos \theta }$$а сумма двух длин путей равна f (1 + θ ² /2 + 1 - я ² /2) = 2 f ; т. е. это постоянная величина, независимая от угла наклона θ для параксиальных плоских волн. Каждая параксиальная плоская волновая составляющая поля в передней фокальной плоскости выглядит как точечное пятно функции рассеяния в задней фокальной плоскости с интенсивностью и фазой, равными интенсивности и фазе исходной плосковолновой составляющей в передней фокальной плоскости. Другими словами, поле в задней фокальной плоскости представляет собой преобразование Фурье поля в передней фокальной плоскости.

Все компоненты ФП вычисляются одновременно – параллельно – со скоростью света. Например, свет распространяется со скоростью примерно 1 фут (0,30 м) в наносекунду, поэтому, если линза имеет фокусное расстояние 1 фут (0,30 м), все 2D FT можно вычислить примерно за 2 нс (2 × 10 ⁻⁹ секунды). Если фокусное расстояние 1 дюйм, то время меньше 200 пс. Ни один электронный компьютер не может конкурировать с такими цифрами и, возможно, никогда не надеется на это, хотя суперкомпьютеры могут оказаться быстрее оптики, каким бы невероятным это ни казалось. Однако их скорость достигается за счет объединения множества компьютеров, которые по отдельности все же медленнее оптики. Недостаток оптического Фурье-преобразования заключается в том, что, как показывает вывод, соотношение Фурье-преобразования справедливо только для параксиальных плоских волн, поэтому этот «компьютер» Фурье по своей сути имеет ограниченную полосу пропускания. С другой стороны, поскольку длина волны видимого света очень мала по сравнению даже с самыми маленькими размерами видимых элементов изображения, т.е. $$k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}$$(для всех k _x , k _y в пределах пространственной полосы изображения, так что k _z почти равен k ), параксиальное приближение на практике не является сильно ограничивающим. И, конечно же, это аналоговый, а не цифровой компьютер, поэтому точность ограничена. Кроме того, выделить фазу может быть непросто; часто это определяется интерферометрически.

Оптическая обработка особенно полезна в приложениях реального времени, где требуется быстрая обработка огромных объемов 2D-данных, особенно в отношении распознавания образов.

Усечение объекта и феномен Гиббса

Пространственно модулированное электрическое поле, показанное в левой части уравнения. ( 2.1 ), обычно занимает только конечную (обычно прямоугольную) апертуру в плоскости x,y. Функция прямоугольной апертуры действует как 2D-фильтр с квадратной вершиной, где поле предполагается равным нулю за пределами этого 2D-прямоугольника. Интегралы пространственной области для расчета коэффициентов ФП в правой части уравнения. ( 2.1 ) обрезаются на границе этого отверстия. Такое усечение шага может внести неточности как в теоретические расчеты, так и в измеренные значения коэффициентов плоских волн на правой части уравнения. ( 2.1 ).

Всякий раз, когда функция прерывисто усекается в одной области FT, в другой области FT вводятся уширение и пульсация. Прекрасным примером из оптики является функция рассеяния точки, которая для осевого плосковолнового освещения квадратичной линзы (с круглой апертурой) представляет собой функцию Эйри, J ₁ ( x )/ x . Буквально точечный источник был «распространен» (с добавлением ряби), чтобы сформировать функцию рассеяния точки Эйри (в результате усечения спектра плоских волн конечной апертурой линзы). Этот источник ошибок известен как феномен Гиббса , и его можно смягчить, просто обеспечив, чтобы весь значительный контент находился вблизи центра прозрачности, или используя оконные функции , которые плавно сужают поле до нуля на границах кадра. По теореме о свертке ПФ произвольной функции прозрачности, умноженной (или усеченной) на апертурную функцию, равно ПФ неусеченной функции прозрачности, свернутой с ПФ апертурной функции, которая в этом случае становится тип «функции Грина» или «функции импульсного отклика» в спектральной области. Следовательно, изображение круглой линзы равно функции плоскости объекта, свернутой с функцией Эйри (ФП функции круглой апертуры равна J ₁ ( x )/ x и ПФ функции прямоугольной апертуры является произведением функций sinc, sin x / x ).

Анализ Фурье и функциональная декомпозиция

Несмотря на то, что входная прозрачность занимает только конечную часть плоскости x - y (плоскость 1), однородные плоские волны, составляющие спектр плоских волн, занимают всю плоскость x - y , поэтому (для этой цели) только продольная плоскость Необходимо учитывать фазу волны (в направлении z , от плоскости 1 к плоскости 2), а не фазу, поперечную направлению z . Конечно, очень заманчиво думать, что если плоская волна, исходящая из конечной апертуры транспаранта, наклонена слишком далеко от горизонтали, она каким-то образом вообще «не попадет» в линзу, но опять-таки, поскольку однородная плоская волна распространяется бесконечно далеко в во всех направлениях в поперечной плоскости ( x - y ) компоненты плоской волны не могут пройти мимо линзы.

Этот вопрос вызывает, возможно, основную трудность анализа Фурье, а именно то, что функция входной плоскости, определенная на конечном носителе (т. е. на собственной конечной апертуре), аппроксимируется другими функциями (синусоидами), имеющими бесконечный носитель (т. е. , они определены на всей бесконечной плоскости x — y ). Это невероятно неэффективно с вычислительной точки зрения, и это основная причина, по которой были задуманы вейвлеты , то есть для представления функции (определенной на конечном интервале или площади) в терминах колебательных функций, которые также определены на конечных интервалах или площадях. Таким образом, вместо того, чтобы получить частотный контент всего изображения сразу (вместе с частотным контентом всей остальной части плоскости x - y , в которой изображение имеет нулевое значение), результатом будет частотный контент различных части изображения, что обычно гораздо проще. К сожалению, вейвлеты в плоскости x - y не соответствуют ни одному известному типу распространяющейся волновой функции, точно так же, как синусоиды Фурье (в плоскость x - y ) соответствуют плоским волновым функциям в трех измерениях. Однако ПФ большинства вейвлетов хорошо известны и, возможно, можно показать, что они эквивалентны некоторому полезному типу распространяющегося поля.

С другой стороны, функции sinc и функции Эйри , которые являются не только функциями рассеяния точки для прямоугольных и круглых апертур соответственно, но также являются кардинальными функциями, обычно используемыми для функциональной декомпозиции в теории интерполяции/выборки [Scott 1990] - действительно соответствуют сходящиеся или расходящиеся сферические волны, и, следовательно, потенциально могут быть реализованы как совершенно новое функциональное разложение функции плоскости объекта, тем самым приводя к другой точке зрения, аналогичной по своей природе оптике Фурье. По сути, это будет то же самое, что и обычная лучевая оптика, но с учетом эффектов дифракции. В этом случае каждая функция рассеяния точки будет своего рода «гладким пикселем», почти так же, как солитон в волокне представляет собой «гладкий импульс».

Возможно, добротностью линзы с этой точки зрения «функции рассеяния точки» будет вопрос, насколько хорошо линза преобразует функцию Эйри в плоскости объекта в функцию Эйри в плоскости изображения в зависимости от радиального расстояния от оптического объектива. оси, или как функция размера предметной плоскости, функция Эйри. Это чем-то похоже на функцию распространения точки, за исключением того, что теперь мы на самом деле рассматриваем ее как своего рода передаточную функцию плоскости ввода-вывода (например, MTF), а не в абсолютном выражении по отношению к идеальной точке. Точно так же гауссовы вейвлеты, которые соответствуют перетяжке распространяющегося гауссова луча, также потенциально могут быть использованы в еще одном функциональном разложении поля предметной плоскости.

Дальняя зона и 2D ² / λ-критерий

На рисунке выше, иллюстрирующем свойство линз Фурье-преобразования, линза находится в ближнем поле прозрачности плоскости объекта, поэтому поле плоскости объекта в линзе можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, каждая из которых распространяется со скоростью некоторый угол относительно оси Z. В этом отношении критерий дальнего поля в общих чертах определяется как: Диапазон = 2 D ² /λ, где D — максимальная линейная протяженность оптических источников, а λ — длина волны (Скотт [1998]). D 10 прозрачности порядка см ( ⁻² м), а длина волны света порядка 10 ⁻⁶ м, поэтому D /λ для всей прозрачности порядка 10 ⁴ . На этот раз D порядка 10 ² м или сотни метров. С другой стороны, расстояние в дальней зоне от пятна PSF имеет порядок λ. Это связано с тем, что D для пятна имеет порядок λ, так что D /λ порядка единицы; на этот раз D (т. е. λ) имеет порядок λ (10 ⁻⁶ м).

Поскольку линза находится в дальней зоне любого пятна PSF, поле, падающее на линзу из пятна, можно рассматривать как сферическую волну, как в уравнении ( 2.2 ), а не как спектр плоской волны, как в уравнении. ( 2.1 ). С другой стороны, линза находится в ближнем поле всей прозрачности входной плоскости, поэтому уравнение. ( 2.1 ) – полный спектр плоских волн – точно представляет поле, падающее на линзу от более крупного и протяженного источника.

Объектив как фильтр нижних частот

По сути, линза представляет собой плосковолновой фильтр нижних частот (см. Фильтр нижних частот ). Рассмотрим «маленький» источник света, расположенный на оси предметной плоскости линзы. Предполагается, что источник достаточно мал, и по критерию дальнего поля линза находится в дальнем поле «маленького» источника. Тогда поле, излучаемое небольшим источником, представляет собой сферическую волну, которая модулируется ФП распределения источника, как в уравнении. ( 2.2 ) Тогда линза пропускает - из плоскости предмета в плоскость изображения - только ту часть излучаемой сферической волны, которая лежит внутри краевого угла линзы. В этом случае в дальней зоне усечение излучаемой сферической волны эквивалентно усечению спектра плоских волн небольшого источника. Таким образом, компоненты плоской волны в этой сферической волне в дальнем поле, которые лежат за краевым углом линзы, не захватываются линзой и не передаются в плоскость изображения. Примечание: эта логика справедлива только для небольших источников, например, когда линза находится в дальней зоне источника, согласно 2 Д ² критерий /λ, упомянутый ранее. Если прозрачность объектной плоскости представить как суммирование по небольшим источникам (как в интерполяционной формуле Уиттекера-Шеннона , Скотт [1990]), спектр каждого из которых усекается таким образом, то страдает каждая точка всей прозрачности объектной плоскости. тот же эффект от этой фильтрации нижних частот.

Потеря содержания высоких (пространственных) частот вызывает размытие и потерю резкости (см. обсуждение, связанное с функцией рассеяния точки ). Усечение полосы пропускания приводит к тому, что (фиктивный, математический, идеальный) точечный источник в плоскости объекта становится размытым (или растягивается) в плоскости изображения, что приводит к появлению термина «функция рассеяния точки». Всякий раз, когда полоса пропускания расширяется или сжимается, размер изображения обычно соответственно сокращается или расширяется таким образом, что произведение пространства на полосу пропускания остается постоянным в соответствии с принципом Гейзенберга (Скотт [1998] и условие синуса Аббе ).

Когерентность и преобразование Фурье

При работе в частотной области при предполагаемом e ^jωt (инженерная) зависимость от времени, неявно предполагается когерентный (лазерный) свет, который имеет зависимость от дельта-функции в частотной области. Свет на разных частотах (дельта-функция) будет «распылять» спектр плоских волн под разными углами, и в результате эти компоненты плоских волн будут фокусироваться в разных местах выходной плоскости. Свойство линз Фурье-преобразования лучше всего работает с когерентным светом, если только нет какой-либо особой причины объединять свет разных частот для достижения какой-то особой цели.

Аппаратная реализация передаточной функции системы: коррелятор 4F

Основная статья: Оптический коррелятор

Теория оптических передаточных функций, представленная в разделе 5, несколько абстрактна. Однако существует одно очень известное устройство, реализующее передаточную функцию системы H аппаратно с использованием всего лишь двух одинаковых линз и прозрачной пластины - коррелятор 4F. Хотя одним из важных применений этого устройства, безусловно, будет реализация математических операций взаимной корреляции и свертки , это устройство с длиной в 4 фокусных расстояния на самом деле выполняет широкий спектр операций по обработке изображений, которые выходят далеко за рамки того, что следует из его названия. Схема типичного коррелятора 4F представлена ​​на рисунке ниже (нажмите для увеличения). Это устройство можно легко понять, объединив представление спектра плоской волны электрического поля ( раздел 1.5 ) со свойством преобразования Фурье квадратичных линз ( раздел 6.1 ), чтобы получить операции оптической обработки изображения, описанные в разделе 5 .

4F Коррелятор

Коррелятор 4F основан на теореме о свертке из теории преобразования Фурье , которая утверждает, что свертка в пространственной области ( x , y ) эквивалентна прямому умножению в области пространственной частоты ( k _x , k _y ) (также известной как спектральная область ). . И снова предполагается, что плоская волна падает слева, а прозрачность, содержащая одну двумерную функцию f ( x , y ), помещается во входную плоскость коррелятора, расположенную на одно фокусное расстояние перед первой линзой. Прозрачность пространственно модулирует падающую плоскую волну по величине и фазе, как и в левой части уравнения. ( 2.1 ) и при этом создает спектр плоских волн, соответствующий ФП функции пропускания, как в правой части уравнения. ( 2.1 ). Затем этот спектр формируется как «изображение» на одно фокусное расстояние позади первой линзы, как показано. Маска пропускания, содержащая ПФ второй функции g ( x , y ), размещается в этой же плоскости, на одно фокусное расстояние позади первой линзы, в результате чего пропускание через маску становится равным произведению: F ( k _Икс , k _y ) × G ( k _Икс , k _y ). Это произведение теперь лежит во «входной плоскости» второй линзы (на одно фокусное расстояние впереди), так что ПФ этого произведения (т. е. ( x свертка f , y ) и g ( x , y ) ), формируется в задней фокальной плоскости второй линзы.

Если идеальный математический точечный источник света разместить на оси входной плоскости первой линзы, то в выходной плоскости первой линзы будет создано однородное коллимированное поле. Когда это однородное коллимированное поле умножается на маску плоскости Фурье, а затем преобразуется Фурье второй линзой, поле выходной плоскости (которое в данном случае является импульсной характеристикой коррелятора) представляет собой просто нашу корреляционную функцию g ( x , й ). В практических приложениях g ( x , y ) будет объектом некоторого типа, который необходимо идентифицировать и расположить внутри поля входной плоскости (см. Скотт [1998]). В военных приложениях таким объектом может быть танк, корабль или самолет, который необходимо быстро идентифицировать в более сложной сцене.

Коррелятор 4F является отличным устройством для иллюстрации «системных» аспектов оптических приборов, упомянутых в разделе 5 выше. Функция маски плоскости ПФ, G ( k _x , k _y ) представляет собой передаточную функцию системы коррелятора, которую мы обычно обозначаем как H ( k _x , k _y ), и это ПФ функции импульсного отклика. коррелятора h ( x , y ), который является просто нашей корреляционной функцией g ( x , y ). И, как упоминалось выше, импульсная характеристика коррелятора — это всего лишь изображение функции, которую мы пытаемся найти во входном изображении. В корреляторе 4F передаточная функция системы H ( k _x , k _y ) напрямую умножается на спектр F ( k _x , k _y ) входной функции, чтобы получить спектр выходной функции. Вот как системы обработки электрических сигналов работают с одномерными временными сигналами.

Восстановление изображения

Размытие изображения с помощью функции рассеяния точки широко изучается при оптической обработке информации. Одним из способов уменьшить размытие является использование фильтра Винера. Например, предположим, что $o(x,y)$ - распределение интенсивности от некогерентного объекта, $i(x,y)$ - это распределение интенсивности его изображения, которое размыто пространственно-инвариантной функцией распределения точек. $s(x,y)$ и шум $n(x,y)$ введенные в процесс обнаружения: $$i(x,y)=o(x,y)\otimes s(x,y)+n(x,y)$$

Цель восстановления изображения — найти фильтр линейного восстановления, который минимизирует среднеквадратическую ошибку между истинным распределением и оценкой. ${\hat {o}}(x,y)$. То есть минимизировать $$\varepsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}$$

Решением этой задачи оптимизации является фильтр Винера : $$H\left(f_{X},f_{Y}\right)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\left|S\left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}},$$где $S\left(f_{X},f_{Y}\right)$, $\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)$, $\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)$ – спектральные плотности мощности функции рассеяния точки, объекта и шума.

Геометрия записи

Рагнарссон предложил метод оптической реализации фильтров восстановления Винера с помощью голографической техники, подобный установке, показанной на рисунке. Вывод функции установки описывается следующим образом.

Предположим, что имеется прозрачность в качестве плоскости записи и импульс, излучаемый точечным S. источником Волна импульса коллимируется линзой Л 1, образуя распределение, равное импульсной характеристике $h$. Тогда распределение $h$ затем делится на две части:

1. Верхняя часть сначала фокусируется (т.е. преобразуется Фурье) линзой L2 в точку в передней фокальной плоскости линзы L3 , образуя виртуальный точечный источник, генерирующий сферическую волну. Затем волна коллимируется линзой L 3 и создает наклонную плоскую волну вида $r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}$ в плоскости записи.
2. Нижняя часть напрямую коллимируется линзой L3 , что обеспечивает распределение амплитуды. ${\frac {1}{\lambda f}}H{\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)}$.

Следовательно, общее распределение интенсивности равно $${\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)&=\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}\\&=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}$$

Предполагать $H$ имеет амплитудное распределение $A$ и распределение фаз $\psi$ такой, что $$H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)=S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right],$$

тогда мы можем переписать интенсивность следующим образом: $$I\left(x_{2},y_{2}\right)=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].$$

Заметим, что для точки начала плоскости пленки ( $(x_{2},y_{2})=\mathbf {0}$), зарегистрированная волна от нижней части должна быть значительно сильнее, чем от верхней части, поскольку волна, проходящая по нижней траектории, фокусируется, что приводит к соотношению ${\textstyle r_{0}\ll {\frac {1}{\lambda f}}}$.

В работе Рагнарссона этот метод основан на следующих постулатах:

1. Предположим, что существует прозрачность с ее амплитудным коэффициентом пропускания $t$ пропорционально $s(x,y)$, который записал известную импульсную характеристику размытой системы.
2. Максимальная фаза $\phi$ сдвиг, вносимый фильтром, намного меньше, чем $2\pi$ радиан, так что $e^{j\phi }\approx 1+j\phi$.
3. Фазовый сдвиг прозрачности после отбеливания линейно пропорционален плотности серебра. $D$ присутствует до отбеливания.
4. Плотность линейно пропорциональна логарифму экспозиции $$I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}.$$
5. Средняя экспозиция ${\bar {I}}$ гораздо сильнее, чем переменное воздействие $$\Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)={\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].$$

По этим постулатам мы имеем следующую связь: $$\Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (\log I)\approx {\frac {\Delta I}{I}}.$$

В итоге мы получаем амплитудный коэффициент пропускания в виде фильтра Винера: $$\Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^{2}}}.$$

Послесловие: Спектр плоских волн в более широком контексте функциональной декомпозиции.

Электрические поля можно представить математически разными способами. С точки зрения Гюйгенса-Френеля или Страттона -Чу электрическое поле представляется как суперпозиция точечных источников, каждый из которых порождает поле функции Грина . Тогда общее поле представляет собой взвешенную сумму всех отдельных полей функции Грина. Это кажется наиболее естественным способом рассмотрения электрического поля для большинства людей – без сомнения, потому что большинство из нас в тот или иной момент рисовали круги с помощью транспортира и бумаги, почти так же, как это делал Томас Янг в своей классической книге. Статья о двухщелевом эксперименте . Однако это далеко не единственный способ представить электрическое поле, которое также можно представить в виде спектра синусоидально изменяющихся плоских волн. Кроме того, Фриц Цернике предложил еще одно функциональное разложение, основанное на его полиномах Цернике , определенных на единичном круге. Полиномы Цернике третьего (и более низкого) порядка соответствуют нормальным аберрациям линзы. И еще одна функциональная декомпозиция может быть сделана с точки зрения Функции Sinc и функции Эйри, как в интерполяционной формуле Уиттекера-Шеннона и теореме выборки Найквиста-Шеннона . Все эти функциональные декомпозиции полезны в разных обстоятельствах. Ученый-оптик, имеющий доступ к этим различным репрезентативным формам, может получить более глубокое понимание природы этих чудесных полей и их свойств. Эти разные взгляды на поле не являются противоречивыми или противоречивыми, скорее, исследуя их связи, часто можно получить более глубокое понимание природы волновых полей.

Функциональная декомпозиция и собственные функции

Двойные объекты расширения собственных функций и функциональной декомпозиции , кратко упомянутые здесь, не являются полностью независимыми. Разложение собственных функций до определенных линейных операторов, определенных в данной области, часто дает счетный бесконечный набор ортогональных функций , которые охватывают эту область. В зависимости от оператора и размерности (а также формы и граничных условий) его области определения в принципе возможны многие различные типы функциональных разложений.

См. также

• Метод углового спектра
• Синусоидальное состояние Аббе
• Адаптивно-аддитивный алгоритм
• Принцип Гюйгенса – Френеля
• Функция распределения точек
• Фазово-контрастная микроскопия
• Дифракция Фраунгофера
• Дифракция Френеля
• Геометрическая оптика
• Гильбертово пространство
• Оптический коррелятор
• Оптическое преобразование Хартли
• Синтез волнового поля

Ссылки

• Даффье, Пьер-Мишель (1983). Преобразование Фурье и его приложения в оптике . Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons .
• Гудман, Джозеф (2005). Введение в оптику Фурье (3-е изд.). Издательство Робертс и компания. ISBN  0-9747077-2-4 . Проверено 28 октября 2017 г.
• Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли . ISBN  0-201-11609-Х .
• Уилсон, Раймонд (1995). Ряды Фурье и методы оптических преобразований в современной оптике . Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-30357-7 .
• Скотт, Крейг (1998). Введение в оптику и оптическое изображение . Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-7803-3440-Х .
• Скотт, Крейг (1990). Современные методы анализа и проектирования отражательных антенн . Артех Хаус . ISBN  0-89006-419-9 .
• Скотт, Крейг (1989). Метод спектральных областей в электромагнетике . Артех Хаус . ISBN  0-89006-349-4 .
• Введение в оптику Фурье и коррелятор 4F

Внешние ссылки

• Амбс, Пьер (2010). «Оптические вычисления: 60-летнее приключение» . Достижения оптических технологий . 2010 . Хиндави Лимитед: 1–15. дои : 10.1155/2010/372652 . ISSN   1687-6393 .
• Страттон, Дж.А.; Чу, ЖЖ (1 июля 1939 г.). «Теория дифракции электромагнитных волн» (PDF) . Физический обзор . 56 (1). Американское физическое общество (APS): 99–107. дои : 10.1103/physrev.56.99 . ISSN   0031-899X .