Переполненность

Сверхполнота — это понятие из линейной алгебры , которое широко используется в математике, информатике, технике и статистике (обычно в виде сверхполных фреймов ). Он был представлен Р. Дж. Даффином и А. С. Шеффером в 1952 году.

Формально подмножество векторов $\{\phi _{i}\}_{i\in J}$ банахова пространства $X$, иногда называемая «системой», является полной , если каждый элемент в $X$ может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована по норме конечными линейными комбинациями элементов из $\{\phi _{i}\}_{i\in J}$. Система называется сверхполной , если она содержит больше векторов, чем необходимо для полноты, т. е. существуют $\phi _{j}\in \{\phi _{i}\}_{i\in J}$ который можно удалить из системы, так что $\{\phi _{i}\}_{i\in J}\setminus \{\phi _{j}\}$ остается завершенным. В таких областях исследований, как обработка сигналов и аппроксимация функций , избыточная полнота может помочь исследователям достичь более стабильного, более надежного или более компактного разложения, чем использование базиса .

Связь между полнотой и рамками

Теория фреймов берет свое начало в статье Даффина и Шеффера о негармонических рядах Фурье. Кадр определяется как набор ненулевых векторов. $\{\phi _{i}\}_{i\in J}$ такой, что для произвольного $f\in {\mathcal {H}}$,

$A\|f\|^{2}\leq \sum _{i\in J}|\langle f,\phi _{i}\rangle |^{2}\leq B\|f\|^{2}$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает внутренний продукт, $A$ и $B$ являются положительными константами, называемыми границами системы координат. Когда $A$ и $B$ можно выбрать так, что $A=B$, каркас называется плотным каркасом.

Видно, что ${\mathcal {H}}=\operatorname {span} \{\phi _{i}\}$.Пример кадра можно привести следующий.Пусть каждый из $\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ и $\{\beta _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ быть ортонормированным базисом ${\mathcal {H}}$, затем

$\{\phi _{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{\infty }\cup \{\beta _{i}\}_{i=1}^{\infty }$

представляет собой рамку ${\mathcal {H}}$ с границами $A=B=2$.

Позволять $S$ быть оператором фрейма,

$Sf=\sum _{i\in J}\langle f,\phi _{i}\rangle \phi _{i}$

Фрейм, который не является базисом Рисса , и в этом случае он состоит из набора функций, превышающих базис, называется сверхполным или избыточным . В этом случае, учитывая $f\in {\mathcal {H}}$, он может иметь разные декомпозиции в зависимости от кадра. Кадр, приведенный в приведенном выше примере, является неполноценным.

Когда кадры используются для оценки функции, может потребоваться сравнить производительность разных кадров. Экономия аппроксимирующих функций различными кадрами может рассматриваться как один из способов сравнения их характеристик.

Учитывая толерантность $\epsilon$ и рама $F=\{\phi _{i}\}_{i\in J}$ в $L^{2}(\mathbb {R} )$, для любой функции $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$, определим набор всех аппроксимирующих функций, удовлетворяющих $\|f-{\hat {f}}\|<\epsilon$

$N(f,\epsilon )=\{{\hat {f}}:{\hat {f}}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}\phi _{i},\|f-{\hat {f}}\|<\epsilon \}$

Тогда пусть

$k_{F}(f,\epsilon )=\inf\{k:{\hat {f}}\in N(f,\epsilon )\}$

$k(f,\epsilon )$ указывает на экономность использования кадра $F$ приблизить $f$. Другой $f$ может иметь разные $k$ на основе твердости, которую необходимо аппроксимировать элементами в рамке. Худший случай оценки функции в $L^{2}(\mathbb {R} )$ определяется как

$k_{F}(\epsilon )=\sup _{f\in L^{2}(\mathbb {R} )}\{k_{F}(f,\epsilon )\}$

Для другого кадра $G$, если $k_{F}(\epsilon )<k_{G}(\epsilon )$, затем кадр $F$ лучше, чем рама $G$ на уровне $\epsilon$. И если существует $\gamma$ что для каждого $\epsilon <\gamma$, у нас есть $k_{F}(\epsilon )<k_{G}(\epsilon )$, затем $F$ лучше, чем $G$ широко.

Переполненные кадры обычно строятся тремя способами.

1. Объедините набор базисов, таких как вейвлет-базис и базис Фурье, чтобы получить сверхполный кадр.
2. Увеличьте диапазон параметров в некотором кадре, например, в кадре Габора и вейвлет- фрейме, чтобы получить переполный кадр.
3. Добавьте некоторые другие функции к существующей полной основе, чтобы получить сверхполный фрейм.

Ниже показан пример неполного кадра. Собранные данные находятся в двумерном пространстве, и в этом случае базис с двумя элементами должен уметь объяснить все данные. Однако если в данные включен шум, базис может оказаться не в состоянии выразить свойства данных. Если для выражения данных используется неполноценный кадр с четырьмя элементами, соответствующими четырем осям на рисунке, каждая точка сможет иметь хорошее выражение с помощью неполного кадра.

• 
  Пример неполного кадра

Гибкость неполного кадра является одним из его ключевых преимуществ при использовании при выражении сигнала или аппроксимации функции. Однако из-за этой избыточности функция может иметь несколько выражений в неполном фрейме. Когда фрейм конечен, разложение можно выразить как

$f=Ax$

где $f$ это функция, которую нужно аппроксимировать, $A$ - матрица, содержащая все элементы кадра, и $x$ коэффициенты $f$ под представительством $A$. Без каких-либо других ограничений фрейм выберет предоставление $x$ с минимальной нормой в $L^{2}(\mathbb {R} )$. Исходя из этого, при решении уравнения можно учитывать и некоторые другие свойства, например разреженность. Поэтому разные исследователи работали над решением этого уравнения, добавляя другие ограничения в целевую функцию. Например, ограничение, минимизирующее $x$норма в $L^{1}(\mathbb {R} )$ можно использовать при решении этого уравнения. Это должно быть эквивалентно регрессии Лассо в статистическом сообществе. Байесовский подход также используется для устранения избыточности в чрезмерно полном кадре. Лювейки и Сейновски предложили алгоритм неполного кадра, рассматривая его как вероятностную модель наблюдаемых данных. Недавно сверхполная система Габора была объединена с методом выбора байесовской переменной для достижения как малых коэффициентов расширения нормы в $L^{2}(\mathbb {R} )$ и разреженность элементов.

Примеры переполненных кадров

В современном анализе обработки сигналов и других областях техники предлагаются и используются различные сверхполные кадры. Здесь представлены и обсуждаются два широко используемых кадра: кадры Габора и вейвлет-фреймы.

Габор оправы

При обычном преобразовании Фурье функция во временной области преобразуется в частотную область. Однакопреобразование показывает только частотное свойство этой функции и теряет свою информацию во временной области. Еслиоконная функция $g$, которое имеет ненулевое значение только в небольшом интервале, умножается на исходное значениеперед выполнением преобразования Фурье, информация как во временной, так и в частотной областях может остатьсяна выбранном интервале. Когда последовательность трансляции $g$ используется при преобразовании,информация о функции во временной области сохраняется после преобразования.

Пусть операторы

$T_{a}:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R),(T_{a}f)(x)=f(x-a)$

$E_{b}:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R),(E_{b}f)(x)=e^{2\pi ibx}f(x)$

$D_{c}:L^{2}(R)\rightarrow L^{2}(R),(D_{c}f)(x)={\frac {1}{\sqrt {c}}}f\left({\frac {x}{c}}\right)$

Фрейм Габора (названный в честь Денниса Габора и также называемый фреймом Вейля - Гейзенберга ) в $L^{2}(R)$ определяется как форма $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$, где $a,b>0$ и $g\in L^{2}(R)$ является фиксированной функцией. Однако не для каждого $a$ и $b$ $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$образует рамку на $L^{2}(R)$. Например, когда $ab>1$, это не рамка для $L^{2}(R)$. Когда $ab=1$, $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$ может быть фреймом, и в этом случае это базис Рисса. Таким образом, возможная ситуация для $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$ быть слишком полным кадром - это $ab<1$.Семья Габор $\{E_{mb/c}T_{nac}g_{c}\}_{m,n\in Z}$ также является фреймом и имеет те же границы фрейма, что и $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}.$

Различные виды оконных функций $g$ может использоваться в рамке Габора. Здесь показаны примеры трех оконных функций, а условие того, что соответствующая система Габора является фреймом, показано какследует.

• 
  Три оконные функции, используемые при генерации кадра Габора.

(1) $g(x)=e^{-x^{2}}$, $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$ это кадр, когда $ab<0.994$

(2) $g(x)={\frac {1}{cosh(\pi x)}}$, $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$ это кадр, когда $ab<1$

(3) $g(x)=I_{[0,c)}(x)$, где $I(x)$ – индикаторная функция. Ситуация для $\{E_{mb}T_{na}g\}_{m,n\in Z}$ Быть рамкой означает следующее.

1) $a>c$ или $a>1$, а не рамка

2) $c>1$ и $a=1$, а не рамка

3) $a\leq c\leq 1$, это рамка

4) $a<1$ и является иррациональным, и $c\in (1,2)$, это рамка

5) $a={\frac {p}{q}}<1$, $p$ и $q$ являются относительно простыми числами, $2-{\frac {1}{q}}<c<2$, а не рамка

6) ${\frac {3}{4}}<a<1$ и $c=L-1+L(1-a)$, где $L\geq 3$ и быть натуральным числом,не рамка

7) $a<1$, $c>1$, $|c-[c]-{\frac {1}{2}}|<{\frac {1}{2}}-a$, где $[c]$ самое большое целое число, не превосходящее $c$, представляет собой рамку.

Вышеприведенное обсуждение представляет собой краткое изложение главы 8.

Вейвлет-кадры

Коллекция вейвлетов обычно относится к набору функций, основанных на $\psi$

$\{2^{\frac {j}{2}}\psi (2^{j}x-k)\}_{j,k\in Z}$

Это формирует ортонормированный базис для $L^{2}(R)$. Однако, когда $j,k$ может принимать значения в $R$, набор представляет собой неполный кадр и называется непрореженным вейвлет-базисом. В общем случаекадр вейвлета определяется как кадр для $L^{2}(R)$ формы

$\{a^{\frac {j}{2}}\psi (a^{j}x-kb)\}_{j,k\in Z}$

где $a>1$, $b>0$, и $\psi \in L^{2}(R)$.Верхнюю и нижнюю границу этого кадра можно вычислить следующим образом.Позволять ${\hat {\psi }}(\gamma )$ быть преобразованием Фурье для $\psi \in L^{1}(R)$

${\hat {\psi }}(\gamma )=\int _{R}\psi (x)e^{-2\pi ix\gamma }dx$

Когда $a,b$ фиксированы, определяют

$G_{0}(\gamma )=\sum _{j\in Z}|{\hat {\psi }}(a^{j}\gamma )|^{2}$

$G_{1}(\gamma )=\sum _{k\neq 0}\sum _{j\in Z}|{\hat {\psi }}(a^{j}\gamma ){\hat {\psi }}(a^{j}\gamma +{\frac {k}{b}})|$

Затем

$B={\frac {1}{b}}\sup _{|\gamma |\in [1,a]}(G_{0}(\gamma )+G_{1}(\gamma ))<\infty$

$A={\frac {1}{b}}\inf _{|\gamma |\in [1,a]}(G_{0}(\gamma )-G_{1}(\gamma ))>0$

Кроме того, когда

$\sum _{j\in Z}|{\hat {\psi }}(2^{j}\gamma )|^{2}=A$

$\sum _{j=0}^{\infty }{\hat {\psi }}(2^{j}\gamma ){\overline {{\hat {\psi }}(2^{j}(\gamma +q))}}=0$, для всех нечетных целых чисел $q$

сгенерированный кадр $\{\psi _{j,k}\}_{j,k\in Z}$ это тесная рамка.

Обсуждение в этом разделе основано на главе 11.

Приложения

Сверхполные кадры Габора и вейвлет-фреймы использовались в различных областях исследований, включая обнаружение сигналов, представление изображений, распознавание объектов, шумоподавление , теорию выборки, теорию операторов , гармонический анализ , нелинейную разреженную аппроксимацию, псевдодифференциальные операторы , беспроводную связь, геофизику, квантовые вычисления. и банки фильтров .