Геометрическая топология

Чтобы узнать о других значениях, см. Геометрическую топологию (значения) .

Поверхность Зейферта , ограниченная набором колец Борромео ; эти поверхности можно использовать как инструменты в геометрической топологии.

В математике — геометрическая топология это изучение многообразий и отображений между ними, в частности вложений одного многообразия в другое.

История

Можно сказать , что геометрическая топология как область, отличная от алгебраической топологии, возникла в 1935 году в классификации линзовых пространств с помощью кручения Райдемейстера , которая требовала различения пространств, которые гомотопически эквивалентны , но не гомеоморфны . Это было началом простой теории гомотопий . Использование термина геометрическая топология для их описания, по-видимому, возникло сравнительно недавно.

и многомерной

Многообразия радикально различаются по поведению в высоком и низком измерении.

Многомерная топология относится к многообразиям размерности 5 и выше или, в относительных терминах, к вложениям в коразмерности 3 и выше. Низкоразмерная топология связана с вопросами размерности до 4 или вложениями в коразмерности до 2.

Измерение 4 является особенным, поскольку в некоторых отношениях (топологически) измерение 4 является многомерным, а в других отношениях (дифференцированно) измерение 4 является низкомерным; это перекрытие приводит к явлениям, исключительным для размерности 4, таким как экзотические дифференцируемые структуры на R ⁴ . Таким образом, топологическая классификация 4-многообразий в принципе понятна, и ключевые вопросы таковы: допускает ли топологическое многообразие дифференцируемую структуру, и если да, то сколько? Примечательно, что гладкий случай размерности 4 является последним открытым случаем обобщенной гипотезы Пуанкаре ; см. повороты Глюка .

Разница заключается в том, что теория хирургии работает в размерности 5 и выше (фактически, во многих случаях она работает топологически в размерности 4, хотя это очень сложно доказать), и, таким образом, можно изучать поведение многообразий в размерности 5 и выше. с помощью программы теории хирургии. В размерности 4 и ниже (топологически — в размерности 3 и ниже) теория хирургии не работает. Действительно, один из подходов к обсуждению многообразий низкой размерности состоит в том, чтобы задаться вопросом: «Что, по предсказаниям теории хирургии, будет истинным, если бы это сработало?» – и затем понимать явления низкой размерности как отклонения от этого.

Трюк Уитни требует 2+1 измерений, следовательно, теория хирургии требует 5 измерений.

Точная причина разницы в 5-м измерении заключается в том, что теорема вложения Уитни , ключевой технический трюк, лежащий в основе теории хирургии, требует 2+1 измерения. Грубо говоря, трюк Уитни позволяет «развязать» завязанные сферы, точнее, убрать самопересечения погружений; он делает это через гомотопию диска - диск имеет 2 измерения, а гомотопия добавляет еще 1 - и, таким образом, в коразмерности больше 2 это можно сделать, не пересекая самого себя; следовательно, вложения в коразмерности больше 2 можно понять хирургическим путем. В теории хирургии ключевой шаг находится в среднем измерении, и, таким образом, когда среднее измерение имеет коразмерность больше 2 (в общих чертах достаточно 2½, следовательно, достаточно общего измерения 5), трюк Уитни работает. Ключевым следствием этого является Смейла о h теорема -кобордизме , которая работает в размерности 5 и выше и формирует основу теории хирургии.

Модификация трюка Уитни может работать в 4 измерениях и называется ручками Кассона - поскольку измерений недостаточно, диск Уитни вводит новые изломы, которые можно устранить с помощью другого диска Уитни, что приводит к последовательности («башня»). дисков. Предел этой башни дает топологическую, но не дифференцируемую карту, следовательно, хирургия работает топологически, но не дифференцируемо в измерении 4.

топологии

Основная статья: Список тем геометрической топологии

Фундаментальная группа

Основная статья: Фундаментальная группа

Во всех измерениях фундаментальная группа многообразия является очень важным инвариантом и определяет большую часть структуры; в размерностях 1, 2 и 3 возможные фундаментальные группы ограничены, тогда как в размерности 4 и выше каждая конечно определенная группа является фундаментальной группой многообразия (обратите внимание, что достаточно показать это для 4- и 5-мерных многообразий, а затем брать изделия со сферами, чтобы получить более высокие).

Ориентируемость

Основная статья: Ориентируемость

Многообразие является ориентируемым, если оно имеет последовательный выбор ориентации , а связное ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В этом случае могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости в зависимости от желаемого применения и уровня общности. В формулировках, применимых к общим топологическим многообразиям, часто используются методы теории гомологии , тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, что позволяет формулировать их в терминах дифференциальных форм . Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является понятие ориентируемости семейства пространств, параметризованного каким-либо другим пространством (расслоением ) , для которого в каждом из пространств необходимо выбрать ориентацию, непрерывно меняющуюся по отношению к изменениям в пространстве. значения параметров.

Обработка декомпозиции

Основная статья: Разложение ручки

Шар-3 с прикрепленными тремя ручками-1.

Разложение ручки m представляет собой - многообразия M объединение

$\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M$

где каждый $M_{i}$ получается из $M_{i-1}$ путем прикрепления $i$- ручки . Декомпозиция по дескриптору для многообразия является тем же, чем CW-декомпозиция для топологического пространства — во многих отношениях цель декомпозиции по дескриптору состоит в том, чтобы иметь язык, аналогичный CW-комплексам, но адаптированный к миру гладких многообразий . Таким образом, i- дескриптор является гладким аналогом i -ячейки. Декомпозиции многообразий естественным образом возникают в рамках теории Морса . Модификация структур ручки тесно связана с теорией Серфа .

Локальная плоскостность

Основная статья: Локальная плоскостность

Локальная плоскость — свойство подмногообразия в топологическом многообразии большей размерности . В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий .

Предположим, что d -мерное многообразие N вложено в n -мерное многообразие M (где d < n ). Если $x\in N,$ мы говорим, N что локально плоско в точке x , если существует окрестность $U\subset M$ x такой , что топологическая пара $(U,U\cap N)$ гомеоморфна ​ паре $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$, со стандартным включением $\mathbb {R} ^{d}$ как подпространство $\mathbb {R} ^{n}$. То есть существует гомеоморфизм $U\to R^{n}$ такое, образ что $U\cap N$ совпадает с $\mathbb {R} ^{d}$.

Шенфлиса

Основная статья: теорема Джордана-Шенфлиса

Обобщенная теорема Шенфлиса утверждает, что если ( n − 1)-мерная сфера S вложена в n -мерную сферу S ^н локально плоским образом (т.е. вложение продолжается до вложения утолщенной сферы), то пара ( S ^н , S ) гомеоморфна паре ( S ^н , С ^{п -1} ), где S ^{п -1} — экватор n -сферы. Браун и Мазур получили премию Веблена за независимые доказательства. этой теоремы.

Разделы геометрической топологии

Низкоразмерная топология

Основная статья: Низкоразмерная топология

Низкоразмерная топология включает в себя:

• Поверхности (2-многообразия)
• 3-многообразия
• 4-многообразия

у каждого своя теория, где есть какие-то связи.

Низкоразмерная топология является строго геометрической, что отражено в теореме об униформизации в двух измерениях: каждая поверхность допускает постоянную метрику кривизны; геометрически он имеет одну из трех возможных геометрий: положительная кривизна/сферическая, нулевая кривизна/плоская, отрицательная кривизна/гиперболическая – и гипотеза геометризации (теперь теорема) в трех измерениях – каждое трехмерное многообразие можно разрезать на части, каждая из которых имеет одну из 8 возможных геометрий.

Двумерную топологию можно изучать как комплексную геометрию с одной переменной ( римановы поверхности представляют собой комплексные кривые) – по теореме униформизации каждый конформный класс метрик эквивалентен единственному комплексному, а четырехмерную топологию можно изучать с точки зрения взгляд на сложную геометрию с двумя переменными (комплексные поверхности), хотя не каждое 4-многообразие допускает сложную структуру.

Теория узлов

Основная статья: Теория узлов

Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя узел математика вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены вместе так, что его невозможно развязать. языке узел — это вложение окружности На математическом в 3-мерное евклидово пространство , R ³ (поскольку мы используем топологию, круг связан не с классической геометрической концепцией, а со всеми ее гомеоморфизмами ). Два математических узла эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации R. ³ на себя (так называемая окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной веревкой, которые не предполагают перерезания веревки или пропускания ее через себя.

Чтобы получить более глубокое понимание, математики обобщили концепцию узла несколькими способами. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах и использовать другие объекты, кроме кругов; см. узел (математика) . Узлы более высокой размерности представляют собой n -мерные сферы в m -мерном евклидовом пространстве.

Многомерная

В многомерной топологии характеристические классы являются базовым инвариантом, а теория хирургии — ключевой теорией.

Характеристический класс способ сопоставить каждому главному расслоению топологического пространства X класс когомологий X — это . Класс когомологий измеряет степень «скрученности» расслоения — в частности, есть ли у него сечения или нет. Другими словами, классы характеристик представляют собой глобальные инварианты , которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии .

Теория хирургии — это набор методов, используемых для «контролируемого» получения одного многообразия из другого, представленный Милнором ( 1961 ). Хирургия подразумевает вырезание частей коллектора и замену его частью другого коллектора, совпадающей по разрезу или границе. Это тесно связано с разложением тела ручки , но не идентично ему . Это основной инструмент в изучении и классификации многообразий размерности больше 3.

Говоря более технически, идея состоит в том, чтобы начать с хорошо понятного многообразия M и выполнить над ним операцию, чтобы создать многообразие M ', обладающее некоторым желаемым свойством, таким образом, чтобы эффекты на гомологии , гомотопические группы или другие интересные инварианты многообразие известно.

Классификация экзотических сфер Кервером Милнором и 1963 ( ) привела к появлению теории хирургии как основного инструмента в многомерной топологии.

См. также

• Категория:Карты коллекторов
• Список тем геометрической топологии
• Сантехника (математика)

Ссылки

• Р.Б. Шер и Р.Дж. Даверман (2002), Справочник по геометрической топологии , Северная Голландия. ISBN   0-444-82432-4 .