Группа Гротендика

В математике , группа Гротендика или группа разностей , ^[1]коммутативного моноида $M$ является некоторой абелевой группой . Эта абелева группа строится из $M$ наиболее универсальным образом в том смысле, что любая абелева группа, содержащая гомоморфный образ M $,$ будет также содержать гомоморфный образ группы Гротендика $M$ . Конструкция группы Гротендика получила свое название от конкретного случая в теории категорий , введенного Александром Гротендиком в его доказательстве теоремы Гротендика-Римана-Роха , которое привело к развитию K-теории . Этот частный случай представляет собой категории прямой с суммой качестве в моноид классов изоморфизма объектов абелевой его операции .

коммутативного моноида Группа Гротендика

Мотивация [ править ]

Для данного коммутативного моноида $M$ «наиболее общая» абелева группа $K$ , возникающая из $M,$ должна быть построена путем введения обратных элементов ко всем элементам $M$ . Такая абелева группа $K$ всегда существует; она называется группой Гротендика группы $M$ . Оно характеризуется некоторым универсальным свойством и может быть также конкретно построено $М.$ из

Если $M$ не обладает свойством отмены то $такие есть существуют$ , $в$ M $($ что $a\neq b$ и $ac=bc$ ), то группа Гротендика $K$ не может содержать $M$ . В частности, в случае моноидной операции, обозначенной мультипликативно, которая имеет нулевой элемент , удовлетворяющий $0.x=0$ для каждого $x\in M,$ группа Гротендика должна быть тривиальной группой ( группой только с одним элементом), поскольку необходимо иметь

x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0

для каждого $х$ .

Универсальная собственность [ править ]

Пусть M — коммутативный моноид. Ее группа Гротендика представляет собой абелеву группу K с моноидным гомоморфизмом. $i\colon M\to K$ удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого моноидного гомоморфизма $f\colon M\to A$ из M в абелеву группу A существует единственный групповой гомоморфизм $g\colon K\to A$ такой, что $f=g\circ i.$

Это выражает тот факт, что любая абелева группа A , содержащая гомоморфный образ M, также содержать гомоморфный образ K , причем K — «самая общая» абелева группа, содержащая гомоморфный образ M. будет

Явные конструкции [ править ]

Чтобы построить группу Гротендика K коммутативного моноида M , формируется декартово произведение $M\times M$ . Две координаты предназначены для обозначения положительной и отрицательной частей, поэтому $(m_{1},m_{2})$ соответствует $m_{1}-m_{2}$ чернила .

Дополнение к $M\times M$ определяется по координатам:

(m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})

.

Далее определяется отношение эквивалентности на $M\times M$ , такой, что $(m_{1},m_{2})$ эквивалентно $(n_{1},n_{2})$ если для некоторого элемента k из M закон m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (элемент k необходим, поскольку сокращения выполняется не во всех моноидах). Класс эквивалентности элемента ( m ₁ , m ₂ ) обозначается [( m ₁ , m ₂ )]. Определим K как множество классов эквивалентности. Поскольку операция сложения на M × M совместима с нашим отношением эквивалентности, получается сложение на K , и K становится абелевой группой. Единичным элементом K является [(0, 0)], а обратным к [( m ₁ , m ₂ )] является [( m ₂ , m ₁ )]. Гомоморфизм $i:M\to K$ отправляет элемент m в [( m , 0)].

Альтернативно, группа Гротендика K группы M также может быть построена с использованием генераторов и отношений : обозначая $(Z(M),+')$ свободная абелева группа порожденная множеством M , группа Гротендика K является фактором , $Z(M)$ подгруппой созданной , $\{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}$ . (Здесь +′ и −′ обозначают сложение и вычитание в свободной абелевой группе $Z(M)$ а + обозначает сложение в моноиде М. ) Эта конструкция имеет то преимущество, что ее можно выполнить для любой полугруппы М и дает группу, которая удовлетворяет соответствующим универсальным свойствам для полугрупп, т. е. «наиболее общую и наименьшую группу, содержащую гомоморфный образ из М ". Это известно как «групповое пополнение полугруппы» или «группа дробей полугруппы».

Свойства [ править ]

На языке теории категорий любая универсальная конструкция порождает функтор ; таким образом, получается функтор из категории коммутативных моноидов в категорию абелевых групп , который переводит коммутативный моноид M в его группу Гротендика K . Этот функтор слева сопряжен с функтором забвения из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Для коммутативного моноида M отображение i : M → K инъективно M тогда и только тогда, когда обладает свойством сокращения, и биективно тогда и только тогда, когда M уже является группой.

Пример: целые числа [ править ]

Самый простой пример группы Гротендика — построение целых чисел $\mathbb {Z}$ из (аддитивных) натуральных чисел $\mathbb {N}$ . Прежде всего заметим, что натуральные числа (включая 0) вместе с обычным сложением действительно образуют коммутативный моноид. $(\mathbb {N} ,+).$ Теперь, когда кто-то использует конструкцию группы Гротендика, мы получаем формальные различия между натуральными числами как элементами n - m и имеем отношение эквивалентности

n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k

для некоторых

k\iff n+m'=n'+m

.

Теперь определите

\forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}

Это определяет целые числа $\mathbb {Z}$ . Действительно, это обычная конструкция для получения целых чисел из натуральных чисел. См. «Строительство» в разделе «Целые числа» для более подробного объяснения.

Пример: положительные рациональные числа [ править ]

Аналогично, группа Гротендика мультипликативного коммутативного моноида $(\mathbb {N} ^{*},\times )$ (начиная с 1) состоит из формальных дробей $p/q$ с эквивалентностью

p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr

для некоторых

r\iff pq'=p'q

которые, конечно, можно отождествить с положительными рациональными числами .

Пример: группа Гротендика многообразия [ править ]

Группа Гротендика является фундаментальной конструкцией К-теории . Группа $K_{0}(M)$ компактного с операцией моноида , многообразия M определяется как группа Гротендика коммутативного моноида всех классов изоморфизма векторных расслоений конечного ранга на M заданной прямой суммой. Это дает контравариантный функтор от многообразий к абелевым группам. Этот функтор изучается и расширяется в топологической К-теории .

Пример: группа кольца Гротендика [ править ]

Нулевая алгебраическая K-группа $K_{0}(R)$ (не обязательно коммутативного ) кольца R является группой Гротендика моноида, состоящей из классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R , с операцией моноида, заданной прямой суммой . Затем $K_{0}$ является ковариантным функтором колец в абелевы группы.

Два предыдущих примера связаны: рассмотрим случай, когда $R=C^{\infty }(M)$ — кольцо комплекснозначных на гладких функций многообразии M. компактном В этом случае проективные R -модули двойственны векторным расслоениям над M (по теореме Серра–Свона ). Таким образом $K_{0}(R)$ и $K_{0}(M)$ это одна и та же группа.

Группа расширения Гротендика и

Определение [ править ]

Другая конструкция, носящая название группы Гротендика , следующая: пусть R — конечномерная алгебра над некоторым полем k или, в более общем смысле, артиновым кольцом . Затем определим группу Гротендика $G_{0}(R)$ как абелева группа, порожденная множеством $\{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}$ классов изоморфизма конечно порожденных R -модулей и следующие соотношения: для каждой короткой точной последовательности

0\to A\to B\to C\to 0

-модулей R добавим соотношение

[A]-[B]+[C]=0.

что для любых двух конечно порожденных R -модулей M и N Из этого определения следует , $[M\oplus N]=[M]+[N]$ , из-за расщепления короткой точной последовательности

0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.

Примеры [ править ]

Пусть K — поле. Тогда группа Гротендика $G_{0}(K)$ — абелева группа, порожденная символами $[V]$ для любого конечномерного K - векторного пространства V . Фактически, $G_{0}(K)$ изоморфен $\mathbb {Z}$ чьим генератором является элемент $[K]$ . Здесь символ $[V]$ для конечномерного K -векторного пространства V определяется как $[V]=\dim _{K}V$ , размерность векторного пространства V . Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность K -векторных пространств.

0\to V\to T\to W\to 0

Поскольку любая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется, справедливо соотношение $T\cong V\oplus W$ . Фактически, для любых двух конечномерных векторных пространств V и W справедливо следующее:

\dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)

Следовательно, полученное выше равенство удовлетворяет условию символа $[V]$ в группе Гротендика.

[T]=[V\oplus W]=[V]+[W]

Заметим, что любые два изоморфных конечномерных K -векторных пространства имеют одинаковую размерность. Кроме того, любые два конечномерных K -векторных пространства V и W одной размерности изоморфны друг другу. Фактически, каждое конечное n -мерное K -векторное пространство V изоморфно $K^{\oplus n}$ . Таким образом, наблюдение из предыдущего абзаца доказывает следующее уравнение:

[V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]

Следовательно, каждый символ $[V]$ генерируется элементом $[K]$ с целыми коэффициентами, откуда следует, что $G_{0}(K)$ изоморфен $\mathbb {Z}$ с генератором $[K]$ .

В более общем смысле, пусть $\mathbb {Z}$ быть набором целых чисел. Группа Гротендика $G_{0}(\mathbb {Z} )$ — абелева группа, порожденная символами $[A]$ для любых конечно порожденных абелевых групп A . Прежде всего отметим, что любая конечная абелева группа G удовлетворяет условию $[G]=0$ . Имеет место следующая короткая точная последовательность, где отображение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ это умножение на n .

0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0

Точная последовательность подразумевает, что $[\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0$ , поэтому каждая циклическая группа имеет свой символ, равный 0. Это, в свою очередь, означает, что каждая конечная абелева группа G удовлетворяет условию $[G]=0$ по основной теореме о конечных абелевых группах.

Заметим, что по фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах каждая абелева группа A изоморфна прямой сумме периодической подгруппы и абелевой группы без кручения, изоморфной $\mathbb {Z} ^{r}$ для некоторого неотрицательного целого числа r называемого рангом A , и обозначаемого $r={\mbox{rank}}(A)$ . Определите символ $[A]$ как $[A]={\mbox{rank}}(A)$ . Тогда группа Гротендика $G_{0}(\mathbb {Z} )$ изоморфен $\mathbb {Z}$ с генератором $[\mathbb {Z} ].$ Действительно, наблюдение, сделанное в предыдущем абзаце, показывает, что каждая абелева группа A имеет свой символ $[A]$ то же самое с символом $[\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]$ где $r={\mbox{rank}}(A)$ . При этом ранг абелевой группы удовлетворяет условиям символа $[A]$ группы Гротендика. Предположим, что имеется следующая короткая точная последовательность абелевых групп:

0\to A\to B\to C\to 0

Тогда тензоризация с рациональными числами $\mathbb {Q}$ следует следующее уравнение.

0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0

Поскольку приведенное выше представляет собой короткую точную последовательность $\mathbb {Q}$ -векторных пространствах, последовательность расщепляется. Таким образом, имеем следующее уравнение.

\dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )

С другой стороны, также имеет место следующее соотношение; для получения дополнительной информации см. Ранг абелевой группы .

\operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )

Следовательно, имеет место следующее уравнение:

[B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]

Следовательно, было показано, что $G_{0}(\mathbb {Z} )$ изоморфен $\mathbb {Z}$ с генератором $[\mathbb {Z} ].$

Универсальная собственность [ править ]

Группа Гротендика обладает универсальным свойством. Дается предварительное определение: функция $\chi$ из множества классов изоморфизма в абелеву группу $X$ называется аддитивным , если для каждой точной последовательности $0\to A\to B\to C\to 0$ , надо $\chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.$ Тогда для любой аддитивной функции $\chi :R{\text{-mod}}\to X$ , существует единственный групповой гомоморфизм $f:G_{0}(R)\to X$ такой, что $\chi$ факторы через $f$ и карта, которая принимает каждый объект ${\mathcal {A}}$ к элементу, представляющему его класс изоморфизма в $G_{0}(R).$ Конкретно это означает, что $f$ удовлетворяет уравнению $f([V])=\chi (V)$ для каждого конечно порожденного $R$ -модуль $V$ и $f$ — единственный групповой гомоморфизм, который делает это.

Примерами аддитивных функций являются функции характера из теории представлений : Если $R$ является конечномерным $k$ -алгебра, то можно сопоставить характер $\chi _{V}:R\to k$ каждому конечномерному $R$ -модуль $V:\chi _{V}(x)$ определяется след как $k$ - линейная карта , получаемая умножением на элемент $x\in R$ на $V$ .

Выбрав подходящий базис и записав соответствующие матрицы в блочно-треугольной форме, легко увидеть, что характер-функции аддитивны в указанном выше смысле. Благодаря универсальному свойству это дает нам «универсальный характер». $\chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)$ такой, что $\chi ([V])=\chi _{V}$ .

Если $k=\mathbb {C}$ и $R$ это групповое кольцо $\mathbb {C} [G]$ конечной группы $G$ то это отображение характеров даже дает естественный изоморфизм $G_{0}(\mathbb {C} [G])$ и кольцо с персонажем $Ch(G)$ . В модулярной теории представлений конечных групп $k$ может быть поле ${\overline {\mathbb {F} _{p}}},$ алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами. В этом случае аналогично определенное отображение, которое соответствует каждому $k[G]$ -модуля, его характер Брауэра также является естественным изоморфизмом $G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)$ на ринг персонажей Брауэра. Таким образом группы Гротендика появляются в теории представлений.

Это универсальное свойство также делает $G_{0}(R)$ «универсальный приемник» обобщенных эйлеровых характеристик . В частности, для любого ограниченного комплекса объектов в $R{\text{-mod}}$

\cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots

есть канонический элемент

[A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).

Фактически группа Гротендика была первоначально введена для изучения эйлеровых характеристик.

точных категорий Группы Гротендика

Общее обобщение этих двух понятий даёт группа Гротендика точной категории. ${\mathcal {A}}$ . Проще говоря, точная категория — это категория вместе с классом выделенных коротких последовательностей A → B → C. аддитивная Выделенные последовательности называются «точными последовательностями», отсюда и название. Точные аксиомы этого выдающегося класса не имеют значения для построения группы Гротендика.

Группа Гротендика определяется так же, как и раньше, как абелева группа с одним генератором [ M ] для каждого (класса изоморфизма) объекта(ов) категории ${\mathcal {A}}$ и одно отношение

[A]-[B]+[C]=0

для каждой точной последовательности

A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C

.

Альтернативно и эквивалентно, можно определить группу Гротендика, используя универсальное свойство: отображение $\chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X$ от ${\mathcal {A}}$ в абелеву группу X называется «аддитивной», если для каждой точной последовательности $A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C$ надо $\chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0$ ; абелева группа G вместе с аддитивным отображением $\phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G$ называется группой Гротендика ${\mathcal {A}}$ тогда и только тогда, когда каждое аддитивное отображение $\chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X$ факторы исключительно за счет $\phi$ .

Каждая абелева категория является точной категорией, если использовать стандартную интерпретацию слова «точный». Это дает понятие группы Гротендика из предыдущего раздела, если выбрать ${\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}$ категорию конечно порожденных R -модулей как ${\mathcal {A}}$ . Это на самом деле абелевское уравнение, поскольку R предполагалось, что артиново (и, следовательно, нётерово в предыдущем разделе ).

С другой стороны, каждая аддитивная категория также точна, если объявить точными те и только те последовательности, которые имеют вид $A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B$ с каноническими морфизмами включения и проекции. Эта процедура дает группу Гротендика коммутативного моноида. $(\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )$ в первом смысле (здесь $\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})$ означает «набор» [игнорируя все фундаментальные вопросы] классов изоморфизма в ${\mathcal {A}}$ .)

триангулированных категорий Группы Гротендика

Обобщая еще больше, можно также определить группу Гротендика для триангулированных категорий . Конструкция по существу аналогична, но использует отношения [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0 всякий раз, когда существует отмеченный треугольник X → Y → Z → X [1].

Дальнейшие примеры [ править ]

В абелевой категории конечномерных векторных пространств над полем k два векторных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Таким образом, для векторного пространства V

[V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).

Более того, для точной последовательности

0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0

m = l + n , поэтому

\left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].

Таким образом

[V]=\dim(V)[k],

и

K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })

изоморфен

\mathbb {Z}

и генерируется

[k].

Наконец, для ограниченного комплекса конечномерных векторных пространств V *

[V^{*}]=\chi (V^{*})[k]

где

\chi

— стандартная характеристика Эйлера, определяемая формулой

\chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).

Для окольцованного пространства $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , можно рассмотреть категорию ${\mathcal {A}}$ всех локально свободных над X. пучков $K_{0}(X)$ затем определяется как группа Гротендика этой точной категории, и это снова дает функтор.

Для окольцованного пространства $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , можно также определить категорию ${\mathcal {A}}$ быть категорией всех когерентных пучков на X . Сюда входит особый случай (если кольцевое пространство является аффинной схемой ) ${\mathcal {A}}$ являющаяся категорией конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом R . В обоих случаях ${\mathcal {A}}$ является абелевой категорией и тем более точной категорией, поэтому применима приведенная выше конструкция.

В случае, когда R — конечномерная алгебра над некоторым полем, группы Гротендика $G_{0}(R)$ (определяется через короткие точные последовательности конечно порожденных модулей) и $K_{0}(R)$ (определяемые через прямую сумму конечно порожденных проективных модулей) совпадают. Фактически обе группы изоморфны свободной абелевой группе, порожденной классами изоморфизма простых R -модулей.

Есть еще одна группа Гротендика. $G_{0}$ кольца или окруженного пространства, что иногда бывает полезно. В качестве категории в данном случае выбирается категория всех квазикогерентных пучков на кольцевом пространстве, которая сводится к категории всех модулей над некоторым кольцом R в случае аффинных схем. $G_{0}$ является не функтором, но тем не менее несет важную информацию.

Поскольку (ограниченная) производная категория триангулирована, для производных категорий также существует группа Гротендика. Это имеет применение, например, в теории представлений. Однако для неограниченной категории группа Гротендика исчезает. Для производной категории некоторой комплексной конечномерной положительно градуированной алгебры существует подкатегория в неограниченной производной категории, содержащая абелеву категорию A конечномерных градуированных модулей , группа Гротендика которой является q -адическим пополнением группы Гротендика A .

См. также [ править ]

Поле дробей
Локализация
Топологическая К-теория
Спектральная последовательность Атьи–Хирцебруха для вычисления топологической K-теории

Ссылки [ править ]

^ Брунс, Винфрид; Губеладзе, Иосиф (2009). Многогранники, кольца и K-теория . Спрингер. п. 50. ISBN 978-0-387-76355-2 .

Майкл Ф. Атья , K-Теория (Заметки Д.У. Андерсона, осень 1964 г.), опубликовано в 1967 г., WA Benjamin Inc., Нью-Йорк.
Ачар, Прамод Н.; Строппель, Катарина (2013), «Пополнения групп Гротендика», Бюллетень Лондонского математического общества , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi : 10.1112/blms/bds079 , MR 3033967 , S2CID 260493607 .
«Группа Гротендика» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Группа Гротендика» . ПланетаМатематика .
Группа Гротендика алгебраических векторных расслоений; Расчеты аффинного и проективного пространства
Группа Гротендика гладкой проективной комплексной кривой

[1] Брунс, Винфрид; Губеладзе, Иосиф (2009). Многогранники, кольца и K-теория . Спрингер. п. 50. ISBN 978-0-387-76355-2 .

[1]