Спинор Дирака

В квантовой теории поля — спинор Дирака это спинор , который описывает все известные фундаментальные частицы , являющиеся фермионами , за возможным исключением нейтрино . Он появляется в плосковолновом решении уравнения Дирака и представляет собой определенную комбинацию двух спиноров Вейля , а именно биспинора , преобразующегося «спинорально» под действием группы Лоренца .

Спиноры Дирака важны и интересны во многих отношениях. Прежде всего, они важны, поскольку описывают все известные фермионы фундаментальных частиц в природе ; сюда входят электрон и кварки . Алгебраически они ведут себя в определенном смысле как «квадратный корень» вектора . Это неочевидно при непосредственном рассмотрении, но за последние 60 лет постепенно стало ясно, что спинорные представления имеют фундаментальное значение для геометрии . Например, фактически все римановы многообразия могут иметь спиноры и спиновые связи построенные на них с помощью алгебры Клиффорда . Спинор Дирака характерен для пространства-времени Минковского и преобразований Лоренца ; общий случай очень похож.

Данная статья посвящена спинору Дирака в представлении Дирака . Это соответствует конкретному представлению гамма-матриц и лучше всего подходит для демонстрации решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Существуют и другие представления, в первую очередь киральное представление , которое лучше подходит для демонстрации киральной симметрии решений уравнения Дирака. Киральные спиноры можно записать как линейные комбинации спиноров Дирака, представленных ниже; таким образом, ничего не теряется и не приобретается, кроме изменения точки зрения на дискретную симметрию решений.

Оставшаяся часть этой статьи изложена в педагогической манере с использованием обозначений и соглашений, характерных для стандартного представления спинора Дирака в учебниках по квантовой теории поля. Основное внимание уделяется алгебре плоских волновых решений. О том, как преобразуется спинор Дирака под действием группы Лоренца, рассказывается в статье о биспинорах .

Определение

Спинор Дирака – это биспинор. $u\left({\vec {p}}\right)$ в плосковолновом подходе $$\psi (x)=u\left({\vec {p}}\right)\;e^{-ip\cdot x}$$свободного уравнения Дирака для спинора с массой $m$, $$\left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0$$который в натуральных единицах становится $$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0$$и с помощью косой черты Фейнмана можно записать $$\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0$$

Пояснения к терминам, входящим в анзац, приведены ниже.

• Поле Дирака $\psi (x)$, релятивистское со спином 1/2 поле или, конкретно, функция в пространстве Минковского $\mathbb {R} ^{1,3}$ ценится в $\mathbb {C} ^{4}$, четырехкомпонентная комплексная векторная функция.
• Спинор Дирака связан с плоской волной с волновым вектором. ${\vec {p}}$ является $u\left({\vec {p}}\right)$, а $\mathbb {C} ^{4}$ вектор, который постоянен по отношению к положению в пространстве-времени, но зависит от импульса ${\vec {p}}$.
• Внутренний продукт пространства Минковского для векторов $p$ и $x$ является $p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\vec {p}}t-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}$.
• Четырехимпульс плоской волны равен ${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right):=\left(\pm E_{\vec {p}},{\vec {p}}\right)}$ где ${\vec {p}}$ является произвольным,
• В данной инерциальной системе отсчета координаты равны $x^{\mu }$. Эти координаты параметризуют пространство Минковского. В этой статье, когда $x^{\mu }$ появляется в аргументе, индекс иногда опускается.

Спинор Дирака для решения с положительной частотой можно записать как $$u\left({\vec {p}}\right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,$$где

• $\phi$ является произвольным двухспинором, точнее $\mathbb {C} ^{2}$ вектор.
• ${\vec {\sigma }}$ – вектор Паули ,
• $E_{\vec {p}}$ положительный квадратный корень ${\textstyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$. Для этой статьи ${\vec {p}}$ нижний индекс иногда опускается, а энергия просто пишется $E$.

В натуральных единицах, когда m ² добавляется в п ² или когда m добавляется к ${p\!\!\!/}$, m означает mc в обычных единицах; когда m добавляется к E , m означает mc ² в обычных единицах. Когда м добавляется к $\partial _{\mu }$ или чтобы $\nabla$ это значит ${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$ (которая называется обратной приведенной комптоновской длиной волны ) в обычных единицах.

Вывод из уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет вид $$\left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$$

Чтобы получить выражение для четырехспинора ω , матрицы α и β должны быть заданы в конкретной форме. Точная форма, которую они принимают, зависит от представления. На протяжении всей этой статьи используется представление Дирака. В этом представлении матрицы имеют вид $${\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}$$

Эти две матрицы 4×4 связаны с гамма-матрицами Дирака . Обратите внимание, что 0 и I здесь представляют собой матрицы 2×2.

Следующий шаг – поиск решений вида $$\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)},$$одновременно разбивая ω на два двухспинора: $$\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.$$

Результаты

Использование всей приведенной выше информации для включения в уравнение Дирака приводит к $$E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}.$$Это матричное уравнение на самом деле представляет собой два связанных уравнения: $${\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}$$

Решив второе уравнение для χ , получим $$\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}.$$

Обратите внимание, что это решение должно иметь ${\textstyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ для того, чтобы решение было действительным в системе отсчета, где частица имеет ${\vec {p}}={\vec {0}}$.

Вывод знака энергии в этом случае. Мы рассматриваем потенциально проблемный термин ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$.

• Если ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$, четко ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ как ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}$.
• С другой стороны, пусть ${\textstyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$, ${\vec {p}}=p{\hat {n}}$ с ${\hat {n}}$ единичный вектор, и пусть $p\rightarrow 0$.

$${\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}$$

Следовательно, отрицательное решение явно следует опустить, и ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$. Конец вывода.

Собирая эти части, полное решение с положительной энергией обычно записывается как $$\psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}$$Вышеупомянутое вводит коэффициент нормализации ${\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$ выведено в следующем разделе.

Решив вместо этого 1-е уравнение для $\phi$ найден другой набор решений: $$\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,.$$

В этом случае необходимо обеспечить соблюдение этого ${\textstyle E=-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ чтобы это решение было справедливым в системе отсчета, где частица имеет ${\vec {p}}={\vec {0}}$. Доказательство проводится аналогично предыдущему случаю. Это так называемое решение с отрицательной энергией . Иногда может сбиваться с толку носить с собой явно отрицательную энергию, поэтому принято менять знак как на энергии, так и на импульсе и записывать это как $$\psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}$$

В дальнейшем развитии, $\psi ^{(+)}$Решения -типа называются решениями частиц , описывающими частицу с положительной массой и спином 1/2, несущую положительную энергию, а $\psi ^{(-)}$Решения -типа называются решениями античастиц , снова описывающими частицу с положительной массой и спином 1/2, снова несущую положительную энергию. В лабораторных условиях считается, что оба имеют положительную массу и положительную энергию, хотя они по-прежнему во многом двойственны друг другу, а перевернутый знак на плоской волне античастицы предполагает, что она «путешествует назад во времени». Интерпретация «обратного времени» немного субъективна и неточна, равносильна размахиванию руками, когда единственным доказательством являются эти решения. Это действительно становится более убедительным при рассмотрении квантованного поля Дирака. Более точное значение того, что эти два набора решений «противоположны друг другу», дано в разделе, посвященном зарядовому сопряжению , ниже.

Хиральный базис

В киральном представлении для $\gamma ^{\mu }$, пространство решений параметризуется $\mathbb {C} ^{2}$ вектор $\xi$, со спинорным решением Дирака $$u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma \cdot p}}\,\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}\cdot p}}\,\xi \end{pmatrix}}$$где $\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})$ являются 4-векторами Паули и ${\sqrt {\cdot }}$ – квадратный корень эрмитовой матрицы.

Спиновая ориентация

Два спинора

В представлении Дирака наиболее удобными определениями двух спиноров являются: $$\phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$и $$\chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$$поскольку они образуют ортонормированный базис относительно (комплексного) скалярного произведения.

Матрицы Паули

Матрицы Паули ​ $$\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$$

Используя их, можно получить то, что иногда называют вектором Паули : $${\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}$$

Ортогональность

Спиноры Дирака обеспечивают полный и ортогональный набор решений уравнения Дирака . Это легче всего продемонстрировать, записывая спиноры в системе покоя, где это становится очевидным, а затем повышая их до произвольной системы координат Лоренца. В системе покоя, где трехимпульс исчезает: ${\vec {p}}={\vec {0}},$ можно определить четыре спинора $$u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}$$

Знакомство с косой чертой Фейнмана $${p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }$$

усиленные спиноры можно записать как $$u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}$$и $$v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}$$

Сопряженные спиноры определяются как ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ которое, как можно показать, решает сопряженное уравнение Дирака $${\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0$$

при этом производная понимается как действующая влево. Тогда сопряженные спиноры будут $${\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}$$и $${\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}$$

Выбранная здесь нормировка такова, что скалярный инвариант ${\overline {\psi }}\psi$ действительно инвариантен во всех системах Лоренца. Конкретно это означает $${\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}$$

Полнота

Четыре спинора системы покоя $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ указывают на то, что существует четыре различных действительных линейно независимых решения уравнения Дирака. То, что они действительно являются решениями, можно прояснить, заметив, что уравнение Дирака, записанное в импульсном пространстве, имеет вид $$({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0$$и $$({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0$$

Это следует из того, что $${p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}$$что, в свою очередь, следует из антикоммутационных соотношений для гамма-матриц : $$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }$$с $\eta ^{\mu \nu }$ метрический тензор в плоском пространстве (в искривленном пространстве гамма-матрицы можно рассматривать как своего рода vielbein , хотя это выходит за рамки данной статьи). Возможно, полезно отметить, что уравнение Дирака, записанное в системе покоя, принимает вид $$\left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0$$и $$\left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0$$так что спиноры системы покоя можно правильно интерпретировать как решения уравнения Дирака. Здесь четыре уравнения, а не восемь. Хотя 4-спиноры записываются как четыре комплексных числа, что предполагает наличие 8 действительных переменных, только четыре из них обладают динамической независимостью; остальные четыре не имеют значения и всегда могут быть параметризованы. То есть можно взять каждый из четырех векторов $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ и умножить каждый на отдельную глобальную фазу $e^{i\eta }.$ Эта фаза ничего не меняет; ее можно интерпретировать как своего рода глобальную калибровочную свободу. Это не значит, что «фазы не имеют значения», как, конечно, и есть; уравнение Дирака должно быть записано в комплексной форме, а фазы связаны с электромагнетизмом. Фазы даже имеют физическое значение, как предполагает эффект Ааронова-Бома : поле Дирака, связанное с электромагнетизмом, представляет собой U (1) пучок волокон ( круговой пучок ), а эффект Ааронова-Бома демонстрирует голономность этого пучка. Все это не имеет прямого влияния на подсчет числа различных компонент поля Дирака. В любой ситуации есть только четыре реальных, отдельных компонента.

При соответствующем выборе гамма-матриц можно записать уравнение Дирака в чисто вещественной форме, имея только вещественные решения: это уравнение Майораны . Однако оно имеет только два линейно независимых решения. Эти решения не связаны с электромагнетизмом; они описывают массивную электрически нейтральную частицу со спином 1/2. По-видимому, связь с электромагнетизмом удваивает количество решений. Но, конечно, это имеет смысл: связь с электромагнетизмом требует взять реальное поле и усложнить его. Приложив некоторые усилия, уравнение Дирака можно интерпретировать как «комплексифицированное» уравнение Майораны. Это легче всего продемонстрировать в общих геометрических условиях, выходящих за рамки этой статьи.

Матрицы проекций собственного состояния энергии

Обычно определяют пару проекций матриц $\Lambda _{+}$ и $\Lambda _{-}$, которые проецируют собственные состояния положительной и отрицательной энергии. Учитывая фиксированную систему координат Лоренца (т.е. фиксированный импульс), это $${\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=-\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}$$

Это пара матриц 4×4. Они суммируются с единичной матрицей: $$\Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I$$ортогональны $$\Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0$$и являются идемпотентными $$\Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)$$

Их след удобно заметить: $$\operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2$$

Обратите внимание, что свойства следа и ортонормированности не зависят от системы Лоренца; это коварианты Лоренца.

Сопряжение зарядов

Зарядовое сопряжение преобразует спинор с положительной энергией в спинор с отрицательной энергией. Зарядовое сопряжение — это отображение ( инволюция ) $\psi \mapsto \psi _{c}$ имеющий явную форму $$\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}$$где $(\cdot )^{\textsf {T}}$ обозначает транспонирование, $C$ представляет собой матрицу 4×4, и $\eta$ – произвольный фазовый коэффициент, $\eta ^{*}\eta =1.$ Статья о сопряжении зарядов использует приведенную выше форму и демонстрирует, почему слово «заряд» является подходящим для использования: его можно интерпретировать как электрический заряд . В представлении Дирака для гамма-матриц матрица $C$ можно записать как $$C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}$$Таким образом, решение с положительной энергией (опускание верхнего индекса спина, чтобы избежать перегрузки обозначений) $$\psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}$$переносится в его зарядово-сопряженное состояние $$\psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}$$Обратите внимание на случайные комплексные конъюгаты. Их можно объединить с идентичностью $$\sigma _{2}\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}$$чтобы получить $$\psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}$$причем 2-спинор $$\chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}$$Поскольку это имеет именно форму решения с отрицательной энергией, становится ясно, что зарядовое сопряжение меняет местами решения частиц и античастиц. Обратите внимание, что меняется не только энергия, но и импульс. Вращение вверх превращается в вращение вниз. Можно показать, что четность также перевернута. Зарядовое сопряжение во многом представляет собой пару спинора Дирака с его «точной противоположностью».

См. также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Вейля
• Уравнение Майораны
• Основа спиральности
• Spin(1,3) , двойное покрытие SO (1,3) . спиновой группой

Ссылки

• Эйчисон, IJR; AJG Привет (сентябрь 2002 г.). Калибровочные теории в физике элементарных частиц (3-е изд.) . Институт физического издательства. ISBN  0-7503-0864-8 .
• Миллер, Дэвид (2008). «Релятивистская квантовая механика (РКМ)» (PDF) . стр. 26–37. Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2020 г. Проверено 3 декабря 2009 г.