Правило трапеции

Эта статья о правиле аппроксимации интегралов. Чтобы узнать о правиле трапеций, используемом для задач начального значения, см. Правило трапеций (дифференциальные уравнения) и метод Хойна .

Функция f ( x ) (синий цвет) аппроксимируется линейной функцией (красный цвет).

В исчислении правило трапеций (также известное как правило трапеций или правило трапеций ) это метод численного интегрирования , т. е. приближения определенного интеграла :

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

Правило трапеций работает путем аппроксимации области под графиком функции $f(x)$ в виде трапеции и вычисление ее площади. Отсюда следует, что

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\cdot {\tfrac {1}{2}}(f(a)+f(b)).$$

Анимация, показывающая, что такое правило трапеций и как уменьшается ошибка аппроксимации с уменьшением размера шага.

Правило трапеций можно рассматривать как результат, полученный усреднением левой и правой сумм Римана , и иногда оно определяется таким образом. Интеграл можно еще лучше аппроксимировать, разделив интервал интегрирования , применив правило трапеций к каждому подинтервалу и суммируя результаты. На практике это «связанное» (или «составное») правило трапеций обычно подразумевается под «интеграцией с правилом трапеций». Позволять $\{x_{k}\}$ быть частью $[a,b]$ такой, что $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b$ и $\Delta x_{k}$ быть длиной $k$-й подинтервал (т.е. $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$), затем

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}.$$

Когда перегородка имеет равномерный интервал, как это часто бывает, то есть когда все $\Delta x_{k}$ имеют одинаковое значение $\Delta x,$ формулу можно упростить для повышения эффективности расчета путем факторинга $\Delta x$ вне:.

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right).$$

Приближение становится более точным по мере увеличения разрешения разбиения (т. е. для больших $N$, все $\Delta x_{k}$ снижаться).

Как обсуждается ниже, также возможно установить границы погрешности для точности значения определенного интеграла, оцененного с использованием правила трапеций.

Иллюстрация «правила цепной трапеции», используемого на неравномерной перегородке. $[a,b]$.

История

В научной статье 2016 года сообщается, что правило трапеции использовалось в Вавилоне до 50 г. до н.э. для интегрирования скорости Юпитера по эклиптике .

Численная реализация

Неравномерная сетка

Когда шаг сетки неравномерен, можно использовать формулу

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k},$$

где $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}.$

Равномерная сетка

Для домена, дискретизированного на $N$ Панели, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, могут привести к значительному упрощению. Позволять

$$\Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}$$

приближение к интегралу становится

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)\\[1ex]&={\frac {\Delta x}{2}}{\Biggl (}f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}){\Biggr )}\\[1ex]&=\Delta x\left({\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}+\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right).\end{aligned}}$$

Анализ ошибок

Анимация, показывающая, как аппроксимация правила трапеций улучшается при увеличении количества полос на интервале с $a=2$ и $b=8$. По количеству интервалов $N$ увеличивается, увеличивается и точность результата.

Погрешность составного правила трапеций равна разнице между значением интеграла и числовым результатом:

$${\text{E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]$$

существует число ξ Между a и b такое, что

$${\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )$$

Отсюда следует, что если подынтегральная функция вогнута вверх (и, следовательно, имеет положительную вторую производную), то ошибка отрицательна, и правило трапеций завышает истинное значение. Это видно и из геометрической картины: трапеции включают в себя всю площадь под кривой и простираются над ней. Аналогичным образом, функция вогнутости вниз дает заниженную оценку, поскольку площадь под кривой не учитывается, но она не учитывается выше. Если интервал аппроксимируемого интеграла включает точку перегиба, ошибку выявить труднее.

Асимптотическая оценка погрешности при N → ∞ определяется выражением

$${\text{E}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).$$

Дальнейшие члены в этой оценке погрешности задаются формулой суммирования Эйлера – Маклорена.

Для анализа ошибки можно использовать несколько методов, в том числе:

1. ряд Фурье
2. Расчет остатков
3. Формула суммирования Эйлера – Маклорена
4. Полиномиальная интерполяция

Утверждается, что скорость сходимости правила трапеций отражает и может быть использована в качестве определения классов гладкости функций.

Доказательство

Сначала предположим, что $h={\frac {b-a}{N}}$ и $a_{k}=a+(k-1)h$. Позволять

$$g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)\,dx$$

быть функцией такой, что $|g_{k}(h)|$ – погрешность правила трапеций на одном из интервалов, $[a_{k},a_{k}+h]$. Затем

$${dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),$$

и

$${d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).$$

Теперь предположим, что $\left|f''(x)\right|\leq \left|f''(\xi )\right|,$ что имеет место, если $f$ является достаточно гладким. Отсюда следует, что

$$\left|f''(a_{k}+t)\right|\leq f''(\xi )$$

что эквивалентно $-f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )$, или $-{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.$

С $g_{k}'(0)=0$ и $g_{k}(0)=0$,

$$\int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)$$

и

$$\int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).$$

Используя эти результаты, мы находим

$$-{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}$$

и

$$-{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}$$

Сдача в аренду $t=h$ мы находим

$$-{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.$$

Суммируя все члены локальных ошибок, мы находим

$$\sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.$$

Но у нас также есть

$$-\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}$$

и

$$\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},$$

так что

$$-{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.$$

Следовательно, общая ошибка ограничена

$${\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.$$

Периодические и пиковые функции

Правило трапеций быстро сходится для периодических функций. Это простое следствие формулы суммирования Эйлера-Маклорена , которая гласит, чтоесли $f$ является $p$ времена, непрерывно дифференцируемые с периодом $T$

$$\sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,dx$$

где $h:=T/N$ и ${\tilde {B}}_{p}$ представляет собой периодическое расширение $p$полином Бернулли. Из-за периодичности производные в конечной точке сокращаются, и мы видим, что ошибка равна $O(h^{p})$.

Подобный эффект доступен для пикоподобных функций, таких как Гауссиан , Экспоненциально модифицированный Гауссиан и других функций с производными в пределах интегрирования, которыми можно пренебречь. Оценку полного интеграла функции Гаусса по правилу трапеций с точностью 1% можно произвести всего по 4 точкам. Правило Симпсона требует в 1,8 раза больше точек для достижения той же точности.

Хотя были предприняты некоторые усилия по распространению формулы суммирования Эйлера-Маклорена на более высокие измерения, Самое прямое доказательство быстрой сходимости правила трапеций в высших измерениях — это свести проблему к задаче сходимости рядов Фурье. Эта линия рассуждений показывает, что если $f$ является периодическим по $n$-мерное пространство с $p$ непрерывные производные, скорость сходимости равна $O(h^{p/d})$. Для очень больших измерений показано, что интеграция Монте-Карло, скорее всего, является лучшим выбором, но для 2-х и 3-х измерений эффективна равноотстоящая выборка. Это используется в вычислительной физике твердого тела, где равноотстоящая выборка по примитивным ячейкам в обратной решетке известна как интеграция Монкхорста-Пака .

«Грубые» функции

Для функций, которых нет в C ² , указанная выше граница ошибки неприменима. Тем не менее, можно получить границы погрешности для таких грубых функций, которые обычно показывают более медленную сходимость с увеличением количества оценок функции. $N$ чем $O(N^{-2})$ поведение, указанное выше. Интересно, что в этом случае правило трапеций часто имеет более четкие границы, чем правило Симпсона, для того же числа вычислений функции.

Применимость и альтернативы

Правило трапеций — одна из семейства формул численного интегрирования , называемых формулами Ньютона-Котеса , из которых правило средней точки аналогично правилу трапеций. Правило Симпсона является еще одним членом того же семейства и, как правило, имеет более быструю сходимость, чем правило трапеций, для функций, которые дважды непрерывно дифференцируемы, хотя и не во всех конкретных случаях. Однако для различных классов более грубых функций (с более слабыми условиями гладкости) правило трапеций в целом имеет более быструю сходимость, чем правило Симпсона.

Более того, правило трапеций имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрируются по своим периодам, которые можно анализировать различными способами . Аналогичный эффект доступен для пиковых функций.

Однако для непериодических функций методы с неравноотстоящими точками, такие как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу – Кертиса, обычно гораздо более точны; Квадратуру Кленшоу – Кертиса можно рассматривать как замену переменных для выражения произвольных интегралов через периодические интегралы, и в этот момент можно точно применить правило трапеций.

Пример

Дан следующий интеграл:

$$\int _{0.1}^{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}$$

1. Используйте составное правило трапеций, чтобы оценить значение этого интеграла. Используйте три сегмента.
2. Найдите истинную ошибку ${\textstyle E_{t}}$ по части (а).
3. Найдите абсолютную относительную истинную ошибку ${\textstyle \left|\varepsilon _{t}\right|}$ по части (а).

Решение

1. Решение с использованием составной линейки трапеций с тремя сегментами применяется следующим образом.
   $$\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}+f(b)\right\rbrack$$
   $${\begin{aligned}n&=3\\a&=0.1\\b&=1.3\\h&={\frac {b-a}{n}}={\frac {1.3-0.1}{3}}=0.4\end{aligned}}$$

   Использование формулы составного правила трапеций

   $${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{f(x){dx}}\approx {\frac {b-a}{2n}}\left\lbrack f(a)+2\left\{\sum _{i=1}^{n-1}{f(a+{ih})}\right\}+f(b)\right\rbrack \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\end{aligned}}$$
   $${\begin{aligned}I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{3-1}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\I&\approx {\frac {1.3-0.1}{6}}\left\lbrack f(0.1)+2\sum _{i=1}^{2}{f(0.1+0.4i)}+f(1.3)\right\rbrack \\&=0.2\lbrack f(0.1)+2f(0.5)+2f(0.9)+f(1.3)\rbrack \\&=0.2[5\times 0.1\times e^{-2(0.1)}+2(5\times 0.5\times e^{-2(0.5)})+2(5\times 0.9\times e^{-2(0.9)})+5\times 1.3\times e^{-2(1.3)}\rbrack \\&=0.84385\end{aligned}}$$
2. Точное значение приведенного выше интеграла можно найти путем интегрирования по частям и составляет
   $$\int _{0.1}^{1.3}5xe^{-2x}{dx}=0.89387$$
   Итак, истинная ошибка
   $${\begin{aligned}E_{t}&={\text{True Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=0.89387-0.84385\\&=0.05002\end{aligned}}$$
3. Абсолютная относительная истинная ошибка равна
   $$\displaystyle {\begin{aligned}\left|\varepsilon _{t}\right|&=\left|{\frac {\text{True Error}}{\text{True Value}}}\right|\times 100\%\\&=\left|{\frac {0.05002}{0.89387}}\right|\times 100\%\\&=5.5959\%\end{aligned}}$$

См. также

• Гауссова квадратура
• Формулы Ньютона–Котеса
• Метод прямоугольника
• метод Ромберга
• Правило Симпсона
• Интегральное уравнение Вольтерра § Численное решение с использованием правила трапеций

Ссылки

• Аткинсон, Кендалл Э. (1989), Введение в численный анализ (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50023-0
• Рахман, Кази И.; Шмайссер, Герхард (декабрь 1990 г.), «Характеристика скорости сходимости правила трапеций», Numerische Mathematik , 57 (1): 123–138, doi : 10.1007/BF01386402 , ISSN   0945-3245 , S2CID   122245944
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (2011), Численный анализ (9-е изд.), Брукс / Коул
• Вайдеман, JAC (январь 2002 г.), «Численное интегрирование периодических функций: несколько примеров», The American Mathematical Monthly , 109 (1): 21–36, doi : 10.2307/2695765 , JSTOR   2695765
• Круз-Урибе, Д.; Нойгебауэр, CJ (2002), «Точные границы ошибок для правила трапеций и правила Симпсона» (PDF) , Журнал неравенств в чистой и прикладной математике , 3 (4)

Внешние ссылки

• Формула трапеции. И. П. Мысовских , Математическая энциклопедия , изд. М. Хазевинкель
• Замечания о сходимости квадратур правила трапеций
• Реализация квадратуры трапеции, предоставленная Boost.Math.