Спектральная последовательность ЭДП

В математике — спектральная последовательность ЭДП это спектральная последовательность, используемая для индуктивного вычисления гомотопических групп сфер, локализованных в некотором простом числе p . Более подробно это описано в Ravenel (2003 , глава 1.5) и Mahowald (2001) . Это связано с длинной точной последовательностью ЭДП Уайтхеда (1953) ; Название «ЭГП» происходит от того, что Джордж Уайтхед назвал 3 карты своей последовательности «Е» (первая буква немецкого слова «Einhängung», означающее «подвеска»), «Н» (от Хайнца Хопфа , поскольку это отображение является вторым инвариантом Хопфа – Джеймса) и «P» (относится к произведениям Уайтхеда ).

Для $p=2$ спектральная последовательность использует некоторые точные последовательности, связанные с расслоением ( Джеймс 1957 ).

S^{n}(2)\rightarrow \Omega S^{n+1}(2)\rightarrow \Omega S^{2n+1}(2)

,

где $\Omega$ обозначает пространство петель, а (2) — локализацию топологического пространства в простом числе 2. Это дает спектральную последовательность с $E_{1}^{k,n}$ срок, равный

\pi _{k+n}(S^{2n-1}(2))

и сходящиеся к $\pi _{*}^{S}(2)$ (стабильные гомотопические группы сфер, локализованные в точке 2). Спектральная последовательность имеет то преимущество, что на входе предварительно рассчитываются гомотопические группы. Его использовал Ода (1977) для расчета первой 31 стабильной гомотопической группы сфер.

Для произвольных простых чисел используются некоторые расслоения, найденные Тодой (1962) :

{\widehat {S}}^{2n}(p)\rightarrow \Omega S^{2n+1}(p)\rightarrow \Omega S^{2pn+1}(p)

S^{2n-1}(p)\rightarrow \Omega {\widehat {S}}^{2n}(p)\rightarrow \Omega S^{2pn-1}(p)

где ${\widehat {S}}^{2n}$ это $(2np-1)$ -скелет пространства цикла $\Omega S^{2n+1}$ . (Для $p=2$ , пространство ${\widehat {S}}^{2n}$ то же самое, что $S^{2n}$ , поэтому расслоения Тоды на $p=2$ такие же, как расслоения Джеймса.)