Полиномы Мотта

В математике полиномы Мотта s _n ( x ) — это полиномы, заданные экспоненциальной производящей функцией:

$e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.$

Их представил Невилл Фрэнсис Мотт , который применил их к проблеме теории электронов.

Поскольку множитель в экспоненте имеет степенной ряд

${\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}$

в каталонских цифрах $C_{k}$, коэффициент перед $x^{k}$ многочлена можно записать как

$[x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}$, по общей формуле для обобщенных полиномов Аппеля , где сумма ведется по всем композициям $n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}$ из $n$ в $k$ положительные нечетные целые числа. Пустой продукт появляется для $k=n=0$ равно 1. Специальные значения, где все участвующие каталонские числа равны 1, являются

$[x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.$

$[x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.$

Путем дифференцирования рекуррентность для первой производной становится

$s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).$

Первые несколько из них (последовательность A137378 в OEIS )

$s_{0}(x)=1;$

$s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;$

$s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};$

$s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};$

$s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};$

$s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};$

$s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};$

Полиномы s _n ( x ) образуют ассоциированную последовательность Шеффера для –2 t /(1–t ² )

Явное выражение для них через обобщенную гипергеометрическую функцию ₃ F ₀ :

$s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})$