Производная схема

В алгебраической геометрии производная схема — это теоретико -гомотопическое обобщение схемы , в которой классические коммутативные кольца заменяются производными версиями, такими как cdgas , коммутативные симплициальные кольца или коммутативные кольцевые спектры .

С точки зрения функтора точек производная схема представляет собой пучок X на категории симплициальных коммутативных колец, допускающий открытое аффинное накрытие $\{Spec(A_{i})\to X\}$.

С точки зрения локально-кольцевого пространства производная схема представляет собой пару $(X,{\mathcal {O}})$ состоящее из топологического пространства X и пучка ${\mathcal {O}}$ либо симплициальных коммутативных колец, либо коммутативных кольцевых спектров на X такой, что (1) пара $(X,\pi _{0}{\mathcal {O}})$ представляет собой схему и (2) $\pi _{k}{\mathcal {O}}$ это квазикогерентный $\pi _{0}{\mathcal {O}}$- модуль .

— Производный стек это обобщенное обобщение производной схемы.

Дифференциальная ступенчатая схема

Над полем нулевой характеристики теория тесно связана с теорией дифференциально-градуированной схемы. По определению, дифференциальная градуированная схема получается склейкой аффинных дифференциальных градуированных схем относительно этальной топологии . Его представил Максим Концевич. «как первый подход к производной алгебраической геометрии». и был развит Михаилом Капрановым и Ионутом Чокан-Фонтанином.

Соединение с дифференциальными кольцами и примеры

Подобно тому, как аффинная алгебраическая геометрия эквивалентна (в категорическом смысле ) теории коммутативных колец (обычно называемой коммутативной алгеброй ), аффинная производная алгебраическая геометрия над нулевой характеристикой эквивалентна теории коммутативных дифференциальных градуированных колец . Одним из основных примеров производных схем является производное пересечение подсхем схемы, дающее комплекс Кошуля . Например, пусть $f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R$, то мы можем получить производную схему

$(X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)$

где

${\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}$

это плоский спектр . Поскольку мы можем построить резолюцию

${\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}$

кольцо производное $R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})$ это комплекс Кошуля $K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})$. Усечение этой выведенной схемы до амплитуды $[-1,0]$ предоставляет классическую модель, объясняющую производную алгебраическую геометрию. Заметьте, что если у нас есть проективная схема

$\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)$

где $\deg(f_{i})=d_{i}$ мы можем построить производную схему $(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))$ где

${\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]$

с амплитудой $[-1,0]$

Котангенс комплекс

Строительство

Позволять $(A_{\bullet },d)$ — фиксированная дифференциальная градуированная алгебра, определенная над полем характеристики $0$. Тогда $A_{\bullet }$-дифференциальная градуированная алгебра $(R_{\bullet },d_{R})$ называется полусвободным, если выполняются следующие условия:

1. Основная градуированная алгебра $R_{\bullet }$ является полиномиальной алгеброй над $A_{\bullet }$, что означает, что он изоморфен $A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]$
2. Существует фильтрация $\varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots$ в наборе индексации $I$ где $\cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I$ и $s(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]$ для любого $x_{i}\in I_{n+1}$.

Оказывается, каждый $A_{\bullet }$ дифференциальная градуированная алгебра допускает сюръективный квазиизоморфизм полусвободной $(A_{\bullet },d)$ дифференциально-градуированная алгебра, называемая полусвободной резольвентой. Они уникальны с точностью до гомотопической эквивалентности в подходящей модельной категории. (Относительный) котангенс комплекса $(A_{\bullet },d)$-дифференциальная градуированная алгебра $(B_{\bullet },d_{B})$ можно построить с использованием полусвободной резольвенты $(R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})$: определяется как

$\mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }$

Многие примеры можно построить, взяв алгебру $B$ представление разнообразия в поле характеристики 0, нахождение представления $R$ как фактор алгебры полиномов и взяв комплекс Кошуля, связанный с этим представлением. Комплекс Кошуля действует как полусвободная резольвента дифференциальной градуированной алгебры. $(B_{\bullet },0)$ где $B_{\bullet }$ — градуированная алгебра с нетривиальной градуированной частью степени 0.

Примеры

Котангенсный комплекс гиперповерхности $X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}$ легко вычислить: поскольку у нас есть dga $K_{R}(f)$ представляющее собой производное улучшение $X$, мы можем вычислить котангенсный комплекс как

$0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0$

где $\Phi (gds)=g\cdot df$ и $d$ является обычным универсальным выводом. Если взять полное пересечение, то комплекс Кошуля

$R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}$

квазиизоморфен комплексу

${\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].$

Это означает, что мы можем построить коткасательный комплекс производного кольца $R^{\bullet }$ как тензорное произведение приведенного выше котангенсного комплекса для каждого $f_{i}$.

Замечания

Обратите внимание, что котангенсный комплекс в контексте производной геометрии отличается от котангенсного комплекса классических схем. А именно, если бы на гиперповерхности существовала особенность, определяемая формулой $f$ тогда котангенсный комплекс будет иметь бесконечную амплитуду. Эти наблюдения служат мотивацией для философии скрытой гладкости производной геометрии, поскольку теперь мы работаем с комплексом конечной длины.

Касательные комплексы

Полиномиальные функции

Учитывая полиномиальную функцию $f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},$ затем рассмотрим (гомотопическую) диаграмму обратного образа

${\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}$

где нижняя стрелка — это включение точки в начале координат. Тогда полученная схема $Z$ имеет касательный комплекс в $x\in Z$ задается морфизмом

$\mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}$

где комплекс имеет амплитуду $[-1,0]$. Обратите внимание, что касательное пространство можно восстановить, используя $H^{0}$ и $H^{-1}$ измеряет, насколько далеко $x\in Z$ от того, чтобы быть гладкой точкой.

Коэффициенты стека

Учитывая стек $[X/G]$ есть хорошее описание касательного комплекса:

$\mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X$

Если морфизм не инъективен, $H^{-1}$ снова измеряет, насколько сингулярно пространство. Кроме того, эйлерова характеристика этого комплекса дает правильную (виртуальную) размерность стека факторов.В частности, если мы посмотрим на стек модулей принципала $G$-расслоения, то касательный комплекс - это просто ${\mathfrak {g}}[+1]$.

схемы в комплексной

Производные схемы можно использовать для анализа топологических свойств аффинных многообразий. Например, рассмотрим гладкое аффинное многообразие $M\subset \mathbb {A} ^{n}$. Если мы возьмем обычную функцию $f:M\to \mathbb {C}$ и рассмотрим раздел $\Omega _{M}$

${\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}$

Затем мы можем взять полученную диаграмму отката

${\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\Omega _{M}\end{matrix}}$

где $0$ — нулевое сечение, строящее производное критическое множество регулярной функции $f$.

Пример

Рассмотрим аффинное многообразие

$M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])$

и регулярная функция, заданная формулой $f(x,y)=x^{2}+y^{3}$. Затем,

$\Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})$

где мы рассматриваем две последние координаты как $dx,dy$. Полученный критический локус тогда является производной схемой.

${\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right)$

Обратите внимание: поскольку левый член в производном пересечении является полным пересечением, мы можем вычислить комплекс, представляющий производное кольцо, как

$K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}$

где $K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])$ представляет собой комплекс Кошуля.

Производный

Рассмотрим гладкую функцию $f:M\to \mathbb {C}$ где $M$ гладкий. Производное улучшение $\operatorname {Crit} (f)$, производный критический локус , задается дифференциально-градуированной схемой $(M,{\mathcal {A}}^{\bullet },Q)$ где базовое градуированное кольцо — это поливекторные поля

${\mathcal {A}}^{-i}=\wedge ^{i}T_{M}$

и дифференциал $Q$ определяется сокращением на $df$.

Пример

Например, если

${\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}$

у нас есть комплекс

$R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R$

представляющее собой производное улучшение $\operatorname {Crit} (f)$.

Ссылки

• Достижение производной алгебраической геометрии — Mathoverflow
• М. Анель, Геометрия неоднозначности
• К. Беренд, О виртуальном фундаментальном классе
• П. Гёрсс, Топологические модульные формы [по Хопкинсу, Миллеру и Лурье]
• Б. Тоен, Введение в производную алгебраическую геометрию
• М. Манетти, Котангенсный комплекс в характеристике 0
• Г. Веццози, Производный критический локус I – основы