Дзета-функция Дедекинда

В математике поля дзета-функция Дедекинда алгебраических чисел K , обычно обозначаемая ζ _K ( s ), является обобщением дзета-функции Римана (которая получается в случае, когда K — поле рациональных чисел Q ). Его можно определить как ряд Дирихле , он имеет разложение в произведение Эйлера , удовлетворяет функциональному уравнению , имеет аналитическое продолжение до мероморфной функции на комплексной плоскости C только с простым полюсом в точке s = 1, а его значения кодируют данные К. арифметические Расширенная гипотеза Римана утверждает, что если ζ _K ( s ) = 0 и 0 <Re( s ) <1, то Re( s ) = 1/2.

Дзета-функция Дедекинда названа в честь Рихарда Дедекинда , который представил ее в приложении к лекциям Петера Густава Лежена Дирихле по теории чисел .

Определение и основные свойства

Пусть K — поле алгебраических чисел . Его дзета-функция Дедекинда впервые определяется для комплексных чисел s с вещественной частью Re( s ) > 1 с помощью ряда Дирихле.

$\zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} }(I))^{s}}}$

где I пробегает ненулевые идеалы кольца целых чисел OK _K и обозначает O N _{K / Q} ( I ) норму I ( равна индексу [ OK _I : ] I абсолютную в которая _K или, что то же самое факторкольца OK мощность / _, I ) . Эта сумма сходится абсолютно для всех комплексных чисел s с вещественной частью Re( s ) > 1. В случае K = Q это определение сводится к определению дзета-функции Римана.

Произведение Эйлера

Дзета-функция Дедекинда $K$ имеет эйлерово произведение, которое является произведением всех ненулевых простых идеалов ${\mathfrak {p}}$ из ${\mathcal {O}}_{K}$

$\zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N_{K/\mathbf {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ for Re}}(s)>1.$

Это аналитическое выражение уникальности простой факторизации идеалов в ${\mathcal {O}}_{K}$. Для $\mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)$ не равно нулю.

и

Эрих Хекке первым доказал, что ζ _K ( s ) имеет аналитическое продолжение до мероморфной функции, аналитической во всех точках комплексной плоскости, за исключением одного простого полюса при s = 1. Вычет в этом полюсе задается номером аналитического класса формула и состоит из важных арифметических данных, включающих инварианты группы единиц и группы классов K .

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему ее значения в точках s и 1 − s . В частности, пусть Δ _K обозначает дискриминант K пусть , пусть r ₁ (соответственно r ₂ ) обозначает количество действительных мест (соответственно комплексных мест) K , и

$\Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)$

и

$\Gamma _{\mathbf {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)$

где Γ( s ) — гамма-функция . Тогда функции

$\Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbf {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)\qquad \Xi _{K}(s)={\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{2}}+is)$

удовлетворяют функциональному уравнению

$\Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s).\qquad \Xi _{K}(-s)=\Xi _{K}(s)\;$

Специальные значения

функции Дедекинда в целых числах кодируют (по крайней мере, предположительно) важные арифметические данные поля K. Аналогично дзета-функции Римана, значения дзета - Например, аналитическая формула числа классов связывает вычет в s = 1 с номером класса h ( K ) из K , регулятором R ( K ) из K , числом w ( K ) корней из единицы в K , абсолютным дискриминант K и количество действительных и комплексных K. мест Другой пример - s = 0, где он имеет ноль, порядок которого r равен рангу единичной группы OK _, а главный член определяется выражением

$\lim _{s\rightarrow 0}s^{-r}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.$

Из функционального уравнения следует, что $r=r_{1}+r_{2}-1$.Объединение функционального уравнения и того факта, что Γ( s ) бесконечно во всех целых числах, меньших или равных нулю, дает, что ζ _K ( s ) обращается в нуль во всех отрицательных четных целых числах. Оно даже исчезает при всех отрицательных нечетных целых числах, если только K не является полностью вещественным (т . е. r ₂ = 0; например, Q или вещественное квадратичное поле ). В абсолютно реальном случае Карл Людвиг Зигель показал, что ζ _K ( s ) — ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных целых чисел. Стивен Лихтенбаум выдвинул гипотезу о конкретных значениях этих рациональных чисел с точки зрения K- теории K. алгебраической

Отношения с другими L -функциями

В случае, когда K является абелевым расширением Q , его дзета-функция Дедекинда может быть записана как произведение L-функций Дирихле . Например, когда K — квадратичное поле, это показывает, что отношение

${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}}$

— L -функция L ( s , χ), где χ — символ Якоби , используемый в качестве характера Дирихле . То, что дзета-функция квадратичного поля является произведением дзета-функции Римана и некоторой L -функции Дирихле, является аналитической формулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем, если K является расширением Галуа группы Q с группой Галуа G , ее дзета-функция Дедекинда является Артина L -функцией регулярного представления G G. и, следовательно, имеет факторизацию в терминах L -функций Артина неприводимых представлений группы Артина .

Связь с L-функциями Артина показывает, что если L / K является расширением Галуа, то ${\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}$ голоморфен ( $\zeta _{K}(s)$ "делит" $\zeta _{L}(s)$): для общих расширений результат будет следовать из гипотезы Артина для L-функций .

Кроме того, ζ _K ( s ) является функцией Хассе – Вейля Spec дзета - O _K и мотивная L -функция мотива , исходящая когомологий Spec K. из

Арифметически эквивалентные поля

Два поля называются арифметически эквивалентными, если они имеют одну и ту же дзета-функцию Дедекинда. Виб Босма и Барт де Смит ( 2002 ) использовали тройки Гассмана , чтобы привести некоторые примеры пар неизоморфных полей, которые арифметически эквивалентны. В частности, некоторые из этих пар имеют разные номера классов, поэтому дзета-функция Дедекинда числового поля не определяет его номер класса.

Перлис (1977) показал, что два числовых поля K и L арифметически эквивалентны тогда и только тогда, когда все простые числа p, кроме конечного числа, имеют одинаковые степени инерции в этих двух полях, т. е. если ${\mathfrak {p}}_{i}$ — простые идеалы в K, лежащие над p , то кортежи $(\dim _{\mathbf {Z} /p}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i})$ должны быть одинаковыми для K и для L почти для всех p .

Ссылки

• Босма, Виб; де Смит, Барт (2002), «Об арифметически эквивалентных числовых полях малой степени», Кохель, Дэвид Р.; Фикер, Клаус (ред.), Алгоритмическая теория чисел (Сидней, 2002) , Конспекты лекций по вычислительной технике. наук, том. 2369, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 67–79, doi : 10.1007/3-540-45455-1_6 , ISBN.  978-3-540-43863-2 , МР   2041074
• Раздел 10.5.1 Коэн, Анри (2007), Теория чисел, Том II: Аналитические и современные инструменты , Тексты для аспирантов по математике , том. 240, Нью-Йорк: Спрингер, номер домена : 10.1007/978-0-387-49894-2 , ISBN.  978-0-387-49893-5 , МР   2312338
• Денингер, Кристофер (1994), « L -функции смешанных мотивов», Яннсен, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы, Часть 1 , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 55, Американское математическое общество , стр. 517–525, ISBN.  978-0-8218-1635-6
• Флах, Матиас (2004), «Гипотеза об эквивариантном числе Тамагавы: обзор», Бернс, Дэвид; Попеску, Кристиан; Сэндс, Джонатан; и др. (ред.), Гипотезы Старка: последние работы и новые направления (PDF) , Contemporary Mathematics, vol. 358, Американское математическое общество , стр. 79–125, ISBN.  978-0-8218-3480-0
• Мартине, Дж. (1977), «Теория символов и L-функции Артина», в Фрелихе, А. (ред.), Поля алгебраических чисел, Proc. Симп. Лондонская математика. соц., ун-т. Дарем, 1975 г. , Academic Press, стр. 1–87, ISBN.  0-12-268960-7 , Збл   0359.12015
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Монографии Springer по математике (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, Глава 7, ISBN  978-3-540-21902-6 , МР   2078267
• Перлис, Роберт (1977), «Об уравнении $\zeta _{K}(s)=\zeta _{K'}(s)$", Журнал теории чисел , 9 (3): 342–360, doi : 10.1016/0022-314X(77)90070-1.