Проблемы с двоюродным братом

В математике — проблемы Кузена это два вопроса с несколькими комплексными переменными , касающиеся существования мероморфных функций , которые заданы в терминах локальных данных. В особых случаях они были введены Пьером Кузеном в 1895 году. Теперь они формулируются и решаются для любого комплексного многообразия M в терминах условий на M .

Для обеих задач задано открытое покрытие множествами M U i _и мероморфная функция f _i на каждом U _i .

Проблема с двоюродным братом [ править ]

Первая проблема Кузена или аддитивная проблема Кузена предполагает, что каждая разность

f_{i}-f_{j}

— голоморфная функция , где она определена. Он требует мероморфной функции f на M такой, что

f-f_{i}

голоморфен на U _i ; другими словами, f разделяет сингулярное поведение данной локальной функции. Данное условие на $f_{i}-f_{j}$ очевидно, необходимо для этого ; поэтому проблема сводится к вопросу, достаточно ли этого. Случай одной переменной — это теорема Миттаг-Леффлера о назначении полюсов, когда M — открытое подмножество комплексной плоскости . римановой поверхности Теория некоторые ограничения на M. показывает, что потребуются Задачу всегда можно решить на многообразии Штейна .

Первую проблему Кузена можно понять в терминах пучковых когомологий следующим образом. Пусть K — пучок мероморфных функций, а O — пучок голоморфных функций на M . Глобальный раздел $f$ из K переходит в глобальную секцию $\phi (f)$ факторпучка K / O . Обратный вопрос — это первая проблема Кузена: для данного глобального сечения K / O существует ли глобальное сечение K , из которого оно возникает? Таким образом, проблема состоит в том, чтобы охарактеризовать изображение карты.

H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).

По длинной точной последовательности когомологий

H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )

точна, и поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий H ¹( M , O ) исчезает. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M — многообразие Штейна.

Проблема второго кузена [ править ]

Вторая проблема Кузена или мультипликативная проблема Кузена предполагает, что каждое соотношение

f_{i}/f_{j}

— ненулевая голоморфная функция, где она определена. Он требует мероморфной функции f на M такой, что

f/f_{i}

голоморфен и не равен нулю. Вторая задача Кузена представляет собой многомерное обобщение теоремы Вейерштрасса о существовании голоморфной функции одной переменной с предписанными нулями.

Атака на эту проблему посредством логарифмирования , чтобы свести ее к аддитивной задаче, встречает препятствие в виде первого класса Черна (см. также экспоненциальную пучковую последовательность ). В терминах теории пучков пусть $\mathbf {O} ^{*}$ — пучок голоморфных функций, никуда не исчезающих, и $\mathbf {K} ^{*}$ пучок мероморфных функций, не равных тождественному нулю. Это и тогда пучки абелевых групп , и факторпучок $\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}$ четко определен. Затем мультипликативная проблема Кузена пытается идентифицировать образ фактор-карты. $\phi$

H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).

Длинная точная последовательность когомологий пучка, связанная с фактором, равна

H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})

поэтому вторая проблема Кузена разрешима во всех случаях при условии, что $H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.$ Фактор-пучок $\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}$ есть пучок ростков дивизоров Картье на M . Таким образом, вопрос о том, каждое ли глобальное сечение порождается мероморфной функцией, эквивалентен определению того, является ли каждое расслоение на M линейное тривиальным .

Группа когомологий $H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),$ для мультипликативной структуры на $\mathbf {O} ^{*}$ можно сравнить с группой когомологий $H^{1}(M,\mathbf {O} )$ с его аддитивной структурой путем логарифмирования. То есть существует точная последовательность пучков

0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0

где крайний левый пучок — это локально постоянный пучок со слоем $2\pi i\mathbb {Z}$ . Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ находится в $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ , из длинной точной последовательности когомологий

H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).

Когда M — многообразие Штейна, средняя стрелка является изоморфизмом, потому что $H^{q}(M,\mathbf {O} )=0$ для $q>0$ так что необходимым и достаточным условием всегдай разрешимости второй задачи Кузена в этом случае является то, что $H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.$