Телескопическая серия

В математике телескопический ряд — это ряд , общий член которого $t_{n}$ имеет форму $t_{n}=a_{n+1}-a_{n}$, т.е. разница двух последовательных членов последовательности $(a_{n})$.

Как следствие, частичные суммы состоят только из двух членов $(a_{n})$ после отмены. Техника сокращения, при которой часть каждого члена компенсируется частью следующего члена, известна как метод разностей .

Например, сериал

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$

(серия обратных значений пронических чисел ) упрощается как

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}$

Раннее изложение формулы суммы или частичных сумм телескопического ряда можно найти в работе Евангелисты Торричелли 1644 года « Dimensione De Parabolae» .

В общем

Телескопическая серия способностей. Обратите внимание на знак суммы , ${\textstyle \sum }$, индекс n изменяется от 1 до m . нет никакой связи, Между n и m кроме того факта, что оба являются натуральными числами .

Телескопические суммы — это конечные суммы, в которых пары последовательных членов компенсируют друг друга, оставляя только начальные и конечные члены.

Позволять $a_{n}$ быть последовательностью чисел. Затем,

$\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}$

Если $a_{n}\rightarrow 0$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}$

Телескопические продукты — это конечные продукты, в которых последовательные члены сокращают знаменатель с числителем, оставляя только начальные и конечные члены.

Позволять $a_{n}$ быть последовательностью чисел. Затем,

$\prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}$

Если $a_{n}\rightarrow 1$

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}$

Еще примеры

• Многие тригонометрические функции также допускают представление в виде разности, что позволяет телескопически сокращать последовательные члены.
  $${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$$
• Некоторые суммы вида
  $$\sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$$
  где f и g — полиномиальные функции , частное которых можно разбить на частичные дроби , не допускает суммирования этим методом. В частности, имеется
  $${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}$$
  Проблема в том, что условия не отменяются.
• Пусть k — целое положительное число. Затем
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}$$
  где Hk _– номер k -й гармоники . Все члены после 1/( k − 1) сокращаются.
• Пусть k,m с k $\neq$ m — положительные целые числа. Затем
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}$$

Приложение

В теории вероятностей пуассоновский процесс — это стохастический процесс, простейший случай которого включает «вхождения» в случайные моменты времени, время ожидания до следующего появления имеет без памяти экспоненциальное распределение , а количество «вхождений» в любом интервале времени имеет Распределение Пуассона, ожидаемое значение которого пропорционально длине временного интервала. Пусть X _t будет числом «появлений» до момента t , и пусть T _x будет временем ожидания до x -го «появления». Мы ищем функцию плотности вероятности случайной величины T _x . Мы используем функцию массы вероятности для распределения Пуассона, которая говорит нам, что

$\Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},$

где λ — среднее количество появлений в любом интервале времени длиной 1. Обратите внимание, что событие { X _t ≥ x} совпадает с событием { T _x ≤ t }, и, следовательно, они имеют одинаковую вероятность. Интуитивно, если что-то произойдет, то хотя бы $x$ раз раньше времени $t$, нам придется подождать максимум $t$ для $xth$ возникновение. Таким образом, функция плотности, которую мы ищем, равна

${\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}$

Сумма телескопирует, оставляя

$f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.$

Похожие концепции

Телескопическая серия

Телескопический продукт — это конечный продукт (или частичный продукт бесконечного продукта), который можно сократить методом частных, чтобы в конечном итоге он представлял собой только конечное число факторов.

Например, бесконечное произведение

$\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$

упрощается как

${\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Другие приложения

Информацию о других приложениях см.:

• сериал Гранди ;
• Доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится , где одно из доказательств использует телескопическую сумму;
• Основная теорема исчисления , непрерывный аналог телескопического ряда;
• Статистика порядка , где телескопическая сумма возникает при выводе функции плотности вероятности;
• Теорема Лефшеца о неподвижной точке , где телескопическая сумма возникает в алгебраической топологии ;
• Теория гомологии , опять же в алгебраической топологии;
• Афера Эйленберга-Мазура , при которой происходит телескопическая сумма узлов;
• Алгоритм Фаддеева–Леверье .