Верхний комплект

В математике — верхнее множество (также называемое вверх-замкнутым множеством , расстройством или набором изотонов в X ). ^[1] множества частично упорядоченного $(X,\leq )$ является подмножеством $S\subseteq X$ со следующим свойством: если s находится в S и если x в X больше s (т. е. если $s<x$ ), то x находится в S . Другими словами, это означает, что любой элемент x из X , который $\,\geq \,$ некоторому элементу S обязательно является также элементом S . Термин «нижнее множество» (также называемый « закрытым вниз множеством» , «нисходящим множеством» , «убывающим множеством» , «начальным сегментом» или «полуидеальным» ) определяется аналогично как подмножество S множества X , обладающее свойством, что любой элемент x из X, который $\,\leq \,$ некоторому элементу S обязательно является также элементом S .

Определение

Позволять $(X,\leq )$ быть предварительно заказанным набором . Верхний комплект в $X$ (также называемый восходящим закрытым набором , расстройством или изотонов набором ) ^[1] является подмножеством $U\subseteq X$ то есть «закрыто при движении вверх», в том смысле, что

для всех

u\in U

и все

x\in X,

если

u\leq x

затем

x\in U.

Двойственное нижним понятие — это нижнее множество (также называемое нисходящим замкнутым множеством , множеством , убывающим множеством , начальным сегментом или полуидеальным ), которое является подмножеством $L\subseteq X$ то есть «закрыто при опускании», в том смысле, что

для всех

l\in L

и все

x\in X,

если

x\leq l

затем

x\in L.

Термины «идеальный порядок» или «идеальный» иногда используются как синонимы нижнего множества. ^[2]^[3]^[4] Такой выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки , поскольку нижнее множество решетки не обязательно является подрешеткой. ^[2]

Характеристики

Каждое частично упорядоченное множество само по себе является верхним множеством.
Пересечение . и объединение любого семейства верхних множеств снова является верхним множеством
Дополнением к любому верхнему набору является нижний, и наоборот.
Учитывая частично упорядоченный набор $(X,\leq ),$ семейство верхних множеств $X$ упорядоченный по отношению включения является полной решеткой верхнего множества .
Учитывая произвольное подмножество $Y$ $Y$ частично упорядоченного множества $X,$ $X,$ наименьший верхний набор, содержащий $Y$ $Y$ обозначается стрелкой вверх как $\uparrow Y$ $\uparrow Y$ (см. верхнее закрытие и нижнее закрытие ).
- Двойственно, наименьшее нижнее множество, содержащее $Y$ обозначается стрелкой вниз как $\downarrow Y.$
Младший набор называется главным, если он имеет вид $\downarrow \{x\}$ где $x$ является элементом $X.$
Каждый нижний набор $Y$ $Y$ конечного частично упорядоченного множества $X$ $X$ равно наименьшему нижнему множеству, содержащему все максимальные элементы $Y$ $Y$
- $\downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)$ где $\operatorname {Max} (Y)$ обозначает множество, содержащее максимальные элементы $Y.$
нижнее множество Направленное называется идеалом порядка .
Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи , антицепи и верхние множества находятся во взаимно однозначном соответствии посредством следующих биекций : сопоставьте каждую антицепь с ее верхним замыканием (см. ниже); и наоборот, сопоставьте каждое верхнее множество с множеством его минимальных элементов. Это соответствие не справедливо для более общих частичных порядков; например наборы действительных чисел $\{x\in \mathbb {R} :x>0\}$ и $\{x\in \mathbb {R} :x>1\}$ оба отображаются в пустую антицепь.

Верхнее закрытие и нижнее закрытие

Учитывая элемент $x$ частично упорядоченного множества $(X,\leq ),$ верхнее закрытие или вверх закрытие $x,$ обозначается $x^{\uparrow X},$ $x^{\uparrow },$ или $\uparrow \!x,$ определяется $x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}$ в то время как нижнее закрытие или закрытие вниз $x$ , обозначенный $x^{\downarrow X},$ $x^{\downarrow },$ или $\downarrow \!x,$ определяется $x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.$

Наборы $\uparrow \!x$ и $\downarrow \!x$ являются соответственно наименьшими верхним и нижним множествами, содержащими $x$ как элемент. В более общем смысле, учитывая подмножество $A\subseteq X,$ определить верхнее / восходящее закрытие и нижнее / нисходящее закрытие $A,$ обозначается $A^{\uparrow X}$ и $A^{\downarrow X}$ соответственно, как $A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a$ и $A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.$

Таким образом, $\uparrow x=\uparrow \{x\}$ и $\downarrow x=\downarrow \{x\},$ где верхние множества и нижние множества этого вида называются главными . Верхнее замыкание и нижнее замыкание множества — это соответственно наименьшее верхнее множество и нижнее множество, содержащее его.

Верхнее и нижнее замыкание, если рассматривать их как функции из набора сил $X$ сами по себе являются примерами операторов замыкания , поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского . В результате верхнее замыкание множества равно пересечению всех содержащих его верхних множеств, и аналогично для нижних множеств. (Действительно, это общее явление операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих его; длина множества векторов — это пересечение всех содержащих его подпространств ; подгруппа, порождающая подмножеством группы пересечение является пересечение всех содержащих его подгрупп; идеал, порожденный подмножеством кольца, есть всех содержащих его идеалов и т. д.;

Порядковые номера

Порядковый номер обычно отождествляется с совокупностью всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует нижний набор в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены путем включения множества.

См. также

Абстрактный симплициальный комплекс (также называемый: Система независимости ) — семейство множеств, замкнутое сверху вниз относительно отношения содержания.
Кофинальное множество - подмножество $U$ частично упорядоченного множества $(X,\leq )$ который содержит для каждого элемента $x\in X,$ какой-то элемент $y$ такой, что $x\leq y.$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29.
^ Jump up to: ^а ^б Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 20, 44. ISBN. 0-521-78451-4 . LCCN 2001043910 .
^ Стэнли, Р.П. (2002). Перечислительная комбинаторика . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. п. 100. ИСБН 978-0-521-66351-9 .
^ Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. п. 22 . ISBN 978-981-02-3316-7 .

Бланк, Дж. (2000). «Доменные представления топологических пространств» (PDF) . Теоретическая информатика . 247 (1–2): 229–255. дои : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .
Хоффман, К.Х. (2001), Аксиомы низкого разделения (T ₀ ) и (T ₁ )

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29-1] Jump up to: ^а ^б Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29.

[DP-2] Jump up to: ^а ^б Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 20, 44. ISBN. 0-521-78451-4 . LCCN 2001043910 .

[3] Стэнли, Р.П. (2002). Перечислительная комбинаторика . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. п. 100. ИСБН 978-0-521-66351-9 .

[4] Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. п. 22 . ISBN 978-981-02-3316-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice