Гиперболический рост

Когда величина растет в направлении сингулярности при конечном изменении (« сингулярность конечного времени »), говорят, что она претерпевает гиперболический рост . ^[1] Точнее, обратная функция $1/x$ имеет гиперболу в качестве графика и имеет особенность в точке 0, что означает, что предел как $x\to 0$ бесконечен: говорят, что любой подобный граф демонстрирует гиперболический рост.

Описание

Если выходной сигнал функции обратно пропорционален ее входному значению или обратно пропорционален отличию от заданного значения $x_{0}$ , функция будет демонстрировать гиперболический рост с особенностью в точке $x_{0}$ .

В реальном мире гиперболический рост создается определенными нелинейными механизмами положительной обратной связи . ^[2]

Сравнение с другим ростом

Подобно экспоненциальному росту и логистическому росту , гиперболический рост сильно нелинейен , но отличается по важным аспектам.Эти функции можно спутать, поскольку экспоненциальный рост, гиперболический рост и первая половина логистического роста являются выпуклыми функциями ; однако их асимптотическое поведение (поведение при увеличении входных данных) резко отличается:

логистический рост ограничен (имеет конечный предел, даже если время стремится к бесконечности),
экспоненциальный рост растет до бесконечности по мере того, как время стремится к бесконечности (но всегда конечно в течение конечного времени),
гиперболический рост имеет особенность за конечное время (растет до бесконечности за конечное время).

Приложения

Население

Некоторые математические модели предполагают, что до начала 1970-х годов население мира переживало гиперболический рост (см., например, «Введение в социальную макродинамику» Андрея Коротаева и др. ). Было также показано, что до 1970-х годов гиперболический рост населения Земли сопровождался квадратично-гиперболическим ростом мирового ВВП , и разработан ряд математических моделей, описывающих как это явление, так и выход Мир-Системы из режима обострения. наблюдается в последние десятилетия. Гиперболический рост мирового населения и квадратично-гиперболический рост мирового ВВП, и его коллеги коррелировали наблюдавшиеся до 1970-х годов, Андрей Коротаев с нелинейной положительной обратной связью второго порядка между демографическим ростом и технологическим развитием, описываемой цепочкой причинно-следственной связи: технологический рост приводит к увеличению пропускной способности земли для людей, что приводит к увеличению числа людей, что приводит к увеличению числа изобретателей, что, в свою очередь, приводит к еще большему технологическому росту, и так далее и так далее. ^[3] Было также продемонстрировано, что гиперболические модели этого типа могут быть использованы для достаточно точного описания общего роста планетарной сложности Земли с 4 млрд. до н.э. до настоящего времени. ^[4] Другие модели предполагают экспоненциальный рост , логистический рост или другие функции.

Теория массового обслуживания

Другой пример гиперболического роста можно найти в теории массового обслуживания : среднее время ожидания случайно прибывающих клиентов растет гиперболически в зависимости от среднего коэффициента загрузки сервера. Сингулярность в этом случае возникает, когда средний объем работы, поступающей на сервер, равен вычислительной мощности сервера. Если потребности в обработке превышают возможности сервера, то четко определенного среднего времени ожидания не существует, поскольку очередь может неограниченно расти. Практическим следствием этого конкретного примера является то, что для высоконагруженных систем массового обслуживания среднее время ожидания может быть чрезвычайно чувствительно к вычислительной мощности.

Кинетика ферментов

Еще один практический пример гиперболического роста можно найти в кинетике ферментов . Когда скорость реакции (называемая скоростью) между ферментом и субстратом отображается в зависимости от различных концентраций субстрата, получается гиперболический график для многих более простых систем. Когда это происходит, говорят, что фермент следует кинетике Михаэлиса-Ментена .

Математический пример

Функция

x(t)={\frac {1}{t_{c}-t}}

демонстрирует гиперболический рост с особенностью во времени $t_{c}$ : в пределе как $t\to t_{c}$ , функция стремится к бесконечности.

В более общем смысле функция

x(t)={\frac {K}{t_{c}-t}}

демонстрирует гиперболический рост, где $K$ является масштабным коэффициентом .

Обратите внимание, что эту алгебраическую функцию можно рассматривать как аналитическое решение дифференциала функции: ^[5]

{\frac {dx}{dt}}={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}={\frac {x^{2}}{K}}

Это означает, что при гиперболическом росте абсолютная скорость роста переменной $x$ в момент $t$ пропорциональна квадрату значения $x$ в момент $t$ .

Соответственно квадратично-гиперболическая функция выглядит следующим образом:

x(t)={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}.

См. также

Примечания

^ См., например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы . Москва: Издательство УРСС, 2006. С. 19-20.
^ См., например, Александр В. Марков и Андрей В. Коротаев (2007). «Морское биоразнообразие фанерозоя следует гиперболической тенденции». Палеомир. Том 16. Выпуск 4. Страницы 311-318 .
^ См., например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы . Москва: Издательство УРСС, 2006; Коротаев А.В. Компактная макромодель эволюции мир-систем // Журнал World-Systems Research 11/1 (2005): 79–93. Архивировано 25 сентября 2009 года в Wayback Machine ; подробный математический анализ этого вопроса см. в «Компактной математической модели экономического и демографического роста мировой системы, 1 г. н.э. – 1973 г. н.э.». «Международный журнал математических моделей и методов в прикладных науках». 2016. Том. 10, стр. 200-209 .
^ Сингулярность XXI века и ее последствия для большой истории: повторный анализ . Журнал большой истории 2/3 (2018): 71 – 118; см. также «Сингулярность XXI века и глобальное будущее». Большая историческая перспектива (Springer, 2020).
^ См., например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы . Москва: Издательство УРСС, 2006. С. 118-123.

Ссылки

Александр В. Марков и Андрей В. Коротаев (2007). «Морское биоразнообразие фанерозоя следует гиперболической тенденции». Палеомир . Том 16. Выпуск 4. Страницы 311-318].
Кремер, Майкл . 1993. «Рост населения и технологические изменения: от одного миллиона до нашей эры до 1990 года», Ежеквартальный журнал экономики 108 (3): 681-716.
Коротаев А. , Малков А., Халтурина Д. 2006. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы. Москва: УРСС. ISBN 5-484-00414-4 .
Рейн Таагепера (1979) Люди, навыки и ресурсы: модель взаимодействия для роста населения мира. Технологическое прогнозирование и социальные изменения 13, 13-30.

[1] См., например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы . Москва: Издательство УРСС, 2006. С. 19-20.

[2] См., например, Александр В. Марков и Андрей В. Коротаев (2007). «Морское биоразнообразие фанерозоя следует гиперболической тенденции». Палеомир. Том 16. Выпуск 4. Страницы 311-318 .

[3] См., например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы . Москва: Издательство УРСС, 2006; Коротаев А.В. Компактная макромодель эволюции мир-систем // Журнал World-Systems Research 11/1 (2005): 79–93. Архивировано 25 сентября 2009 года в Wayback Machine ; подробный математический анализ этого вопроса см. в «Компактной математической модели экономического и демографического роста мировой системы, 1 г. н.э. – 1973 г. н.э.». «Международный журнал математических моделей и методов в прикладных науках». 2016. Том. 10, стр. 200-209 .

[4] Сингулярность XXI века и ее последствия для большой истории: повторный анализ . Журнал большой истории 2/3 (2018): 71 – 118; см. также «Сингулярность XXI века и глобальное будущее». Большая историческая перспектива (Springer, 2020).

[5] См., например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мир-системы . Москва: Издательство УРСС, 2006. С. 118-123.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]