Треугольная волна

Треугольная волна
Треугольная с ограниченной полосой пропускания волна изображено во временной области (вверху) и частотной области (внизу). Основная частота составляет 220 Гц (A 3 ).
Общая информация
Общее определение	$x(t)=4\left\vert t-\left\lfloor t+3/4\right\rfloor +1/4\right\vert -1$
Области применения	Электроника, синтезаторы
Домен, кодомен и изображение
Домен	$\mathbb {R}$
Кодомен	$\left[-1,1\right]$
Основные функции
Паритет	Странный
Период	1
Особенности
Корень	$\left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z}$
Производная	Прямоугольная волна
ряд Фурье	$x(t)=-{\frac {8}{{\pi }^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{\left(2k-1\right)^{2}}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)$

Треугольная волна или треугольная волна — это несинусоидальный сигнал, названный в честь его треугольной формы. Это периодическая , кусочно-линейная , непрерывная действительная функция .

Подобно прямоугольной волне , треугольная волна содержит только нечетные гармоники . Однако высшие гармоники затухают гораздо быстрее, чем в прямоугольной волне (пропорционально обратному квадрату номера гармоники, а не просто обратному).

Определения

Синусоидальная , прямоугольная , треугольная и пилообразная формы сигналов.

Определение

Треугольная волна периода p , охватывающая диапазон [0, 1], определяется как

$$x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,$$

где $\lfloor \ \rfloor$ это функция пола . Можно видеть, что это абсолютное значение смещенной пилообразной волны .

Для треугольной волны, охватывающей диапазон [−1, 1], выражение принимает вид

$$x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.$$

Треугольная волна с амплитудой = 5, периодом = 4

Более общее уравнение треугольной волны с амплитудой $a$ и период $p$ используя операцию по модулю и абсолютное значение

$$y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.$$

Например, для треугольной волны с амплитудой 5 и периодом 4:

$$y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.$$

Фазовый сдвиг можно получить, изменяя значение $-p/4$ термин, а вертикальное смещение можно отрегулировать, изменив значение $-a$ срок.

Поскольку здесь используется только операция по модулю и абсолютное значение, его можно использовать для простой реализации треугольной волны в аппаратной электронике.

Обратите внимание, что во многих языках программирования % оператор является оператором остатка (с результатом того же знака, что и делимое), а не оператором по модулю ; операцию по модулю можно получить, используя ((x % p) + p) % p вместо x % p. Например, в JavaScript это приводит к уравнению вида 4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a.

прямоугольной

Треугольную волну также можно выразить как интеграл прямоугольной волны :

$$x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.$$

Выражение в тригонометрических функциях

Треугольную волну с периодом p и амплитудой a можно выразить через синус и арксинус (значения которых варьируются от − π /2 до π /2):

$$y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).$$

Личность ${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$ может использоваться для преобразования треугольной «синусоидальной» волны в треугольную «косинусную» волну. Эту сдвинутую по фазе треугольную волну также можно выразить через косинус и арккосинус :

$$y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).$$

Выражается как знакопеременные линейные функции

Другое определение треугольной волны с диапазоном от −1 до 1 и периодом p :

$$x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.$$

Гармоники

Анимация аддитивного синтеза треугольной волны с возрастающим числом гармоник. см. в разделе «Анализ Фурье» . Математическое описание

Треугольную волну можно аппроксимировать аддитивным синтезом , суммируя нечетные гармоники основной гармоники, умножая каждую вторую нечетную гармонику на -1 (или, что то же самое, изменяя ее фазу на π ) и умножая амплитуду гармоник на единицу по квадрату. их номера моды n (что эквивалентно единице в квадрате их относительной частоты к основной частоте ).

Математически все вышесказанное можно обобщить следующим образом:

$$x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}(-1)^{i}n^{-2}\sin(2\pi f_{0}nt),$$

где N — количество гармоник, включаемых в приближение, t — независимая переменная (например, время для звуковых волн), $f_{0}$ — основная частота, а i — метка гармоники, которая связана с номером ее моды соотношением $n=2i+1$.

Этот бесконечный ряд Фурье быстро сходится к треугольной волне, поскольку N стремится к бесконечности, как показано на анимации.

Длина дуги

на Длина дуги период треугольной волны, обозначаемая s , определяется через амплитуду a и длину периода p следующим образом:

$$s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.$$

См. также

• Список периодических функций
• Синусоидальная волна
• Прямоугольная волна
• Пилообразная волна
• Пульсовая волна
• Звук
• Функция треугольника
• Волна
• Зигзаг

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ряд Фурье — треугольная волна» . Математический мир .