Функция Кантора

График функции Кантора на единичном интервале

В математике функция Кантора является примером функции , которая является непрерывной , но не абсолютно непрерывной . Это печально известный контрпример в анализе, поскольку он бросает вызов наивным представлениям о непрерывности, производной и мере . Хотя она всюду непрерывна и почти всюду имеет нулевую производную, ее значение все равно меняется от 0 до 1 по мере того, как ее аргумент достигает от 0 до 1. Таким образом, в одном смысле функция очень похожа на постоянную, которая не может расти, а в другом , оно действительно монотонно растет.

Ее еще называют тройной функцией Кантора , функцией Лебега , сингулярная функция Лебега , функция Кантора–Витали , лестница Дьявола , Кантора функция лестницы , и функция Кантора–Лебега . Георг Кантор ( 1884 ) представил функцию Кантора и упомянул, что Шеффер указал, что это контрпример к расширению фундаментальной теоремы исчисления, заявленной Гарнаком . Функция Кантора обсуждалась и популяризировалась Шиффером (1884) , Лебегом (1904) и Витали (1905) .

Определение

Итерированное построение функции Кантора

Чтобы определить функцию Кантора $c:[0,1]\to [0,1]$, позволять $x$ быть любым числом в $[0,1]$ и получить $c(x)$ следующими шагами:

1. Выражать $x$ по основанию 3, используя цифры 0, 1, 2.
2. Если представление по основанию 3 $x$ содержит 1, замените каждую цифру строго после первой 1 на 0.
3. Замените оставшиеся 2 на 1.
4. Интерпретируйте результат как двоичное число. Результат $c(x)$.

Например:

• ${\tfrac {1}{4}}$ имеет троичное представление 0,02020202... Единиц нет, поэтому следующий этап по-прежнему равен 0,02020202... Это переписывается как 0,01010101... Это двоичное представление ${\tfrac {1}{3}}$, так $c({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{3}}$.
• ${\tfrac {1}{5}}$ имеет троичное представление 0,01210121... Цифры после первой 1 заменяются нулями, чтобы получить 0,01000000... Это не перезаписывается, поскольку в нем нет двоек. Это двоичное представление ${\tfrac {1}{4}}$, так $c({\tfrac {1}{5}})={\tfrac {1}{4}}$.
• ${\tfrac {200}{243}}$ имеет троичное представление 0,21102 (или 0,211012222...). Цифры после первой 1 заменяются нулями, что дает 0,21. Это переписано как 0.11. Это двоичное представление ${\tfrac {3}{4}}$, так $c({\tfrac {200}{243}})={\tfrac {3}{4}}$.

Эквивалентно, если ${\mathcal {C}}$ — множество Кантора на [0,1], то функция Кантора $c:[0,1]\to [0,1]$ может быть определен как

$c(x)={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}},&x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}\in {\mathcal {C}}\ \mathrm {for} \ a_{n}\in \{0,1\};\\\sup _{y\leq x,\,y\in {\mathcal {C}}}c(y),&x\in [0,1]\smallsetminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}$

Эта формула четко определена, поскольку каждый член множества Кантора имеет уникальное представление по основанию 3, которое содержит только цифры 0 или 2. (Для некоторых членов множества Кантора ${\mathcal {C}}$, троичное расширение повторяется с конечными 2, и существует альтернативное неповторяющееся расширение, заканчивающееся на 1. Например, ${\tfrac {1}{3}}$ = 0,1 ₃ = 0,02222... ₃ является членом множества Кантора). С $c(0)=0$ и $c(1)=1$, и $c$ является монотонным на ${\mathcal {C}}$, ясно, что $0\leq c(x)\leq 1$ также справедливо для всех $x\in [0,1]\smallsetminus {\mathcal {C}}$.

Свойства

Функция Кантора бросает вызов наивным представлениям о непрерывности и мере ; хотя он всюду непрерывен и почти всюду имеет нулевую производную , ${\textstyle c(x)}$ изменяется от 0 до 1, как ${\textstyle x}$ изменяется от 0 до 1 и принимает все промежуточные значения. Функция Кантора является наиболее часто цитируемым примером вещественной функции, которая равномерно непрерывна (точнее, она непрерывна по Гёльдеру с показателем степени α = log 2/log 3), но не абсолютно непрерывна . Она постоянна на интервалах вида (0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 022222..., 0. x ₁ x ₂ x ₃ ... x _n 200000...), и в каждой точке не в множестве Кантора находится в одном из этих интервалов, поэтому его производная равна 0 вне множества Кантора. С другой стороны, он не имеет производной ни в одной точке несчетного подмножества множества Кантора, содержащего концы интервалов, описанные выше.

Функцию Кантора также можно рассматривать как кумулятивную функцию распределения вероятностей 1/2-1/2 меры Бернулли µ, поддерживаемую на множестве Кантора: ${\textstyle c(x)=\mu ([0,x])}$. Это распределение вероятностей, называемое распределением Кантора , не имеет дискретной части. То есть соответствующая мера безатомна . Именно поэтому в функции нет скачкообразных разрывов; любой такой скачок будет соответствовать атому в мере.

Однако никакая непостоянная часть функции Кантора не может быть представлена ​​как интеграл от функции плотности вероятности ; Интегрирование любой предполагаемой функции плотности вероятности , которая не почти везде равна нулю на любом интервале, даст положительную вероятность некоторому интервалу, которому это распределение присваивает вероятность нулевую. В частности, как указывал Витали (1905) , функция не является интегралом своей производной, хотя производная существует почти всюду.

Функция Кантора является стандартным примером сингулярной функции .

Функция Кантора также является стандартным примером функции с ограниченной вариацией , но, как упоминалось выше, не является абсолютно непрерывной. Однако каждая абсолютно непрерывная функция непрерывна с ограниченной вариацией.

Функция Кантора не убывает, поэтому, в частности, ее график определяет спрямляемую кривую . Шеффер (1884) показал, что длина дуги его графика равна 2. Обратите внимание, что график любой неубывающей функции такой, что $f(0)=0$ и $f(1)=1$ имеет длину не больше 2. В этом смысле функция Кантора экстремальна.

Отсутствие абсолютной преемственности

Поскольку мера Лебега несчетного бесконечного множества Кантора равна 0, для любых положительных ε <1 и δ существует конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов с общей длиной < δ , на которой функция Кантора кумулятивно возрастает больше, чем ε .

Фактически, для каждого δ > 0 существует конечное число попарно непересекающихся интервалов ( x _k , y _k ) (1 ≤ k ≤ M ) с $\sum \limits _{k=1}^{M}(y_{k}-x_{k})<\delta$ и $\sum \limits _{k=1}^{M}(c(y_{k})-c(x_{k}))=1$.

Альтернативные определения

Итеративное построение

Ниже мы определяем последовательность { f _n } функций на единичном интервале, которая сходится к функции Кантора.

Пусть ж ₀ ( Икс ) = Икс .

Тогда для каждого целого числа n ≥ 0 следующая функция f _{n +1} ( x ) будет определена через f _n ( x ) следующим образом:

Пусть f _{n +1} ( x ) = 1/2 × f _n (3 x ) , когда 0 ≤ x ≤ 1/3 ;

Пусть f _{n +1} ( x ) = 1/2, когда 1/3 ≤ x ≤ 2/3 ;

Пусть f _{n +1} ( x ) = 1/2 + 1/2 × f _n (3 x − 2) , когда 2/3 ≤ x ≤ 1 .

Эти три определения совместимы в конечных точках 1/3 и 2/3, поскольку f _n (0) = 0 и f _n (1) = 1 для каждого n по индукции. Можно проверить, что f _n поточечно сходится к определенной выше функции Кантора. Более того, сходимость равномерная. Действительно, разделив на три случая, согласно определению f _{n +1} , видим, что

$\max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|,\quad n\geq 1.$

Если f обозначает предельную функцию, отсюда следует, что для каждого n ≥ 0,

$\max _{x\in [0,1]}|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n+1}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|.$

Фрактальный объем

Функция Кантора тесно связана с множеством Кантора . Множество Кантора C можно определить как набор тех чисел в интервале [0, 1], которые не содержат цифру 1 в своем разложении по основанию 3 (тройственное) , за исключением случаев, когда за 1 следуют только нули (в которых чехол хвост 1000 $\ldots$ можно заменить на 0222 $\ldots$ чтобы избавиться от любого 1). Оказывается, множество Кантора — это фрактал с (несчетным) бесконечным числом точек (нульмерный объем), но нулевой длиной (одномерный объем). Только D -мерный объем $H_{D}$ (в смысле хаусдорфовой меры ) принимает конечное значение, где $D=\log(2)/\log(3)$ фрактальная размерность C. — Альтернативно мы можем определить функцию Кантора как D -мерный объем секций множества Кантора.

$f(x)=H_{D}(C\cap (0,x)).$

Самоподобие

Функция Кантора обладает несколькими симметриями . Для $0\leq x\leq 1$, существует зеркальная симметрия

$c(x)=1-c(1-x)$

и пара увеличений, одно слева и одно справа:

$c\left({\frac {x}{3}}\right)={\frac {c(x)}{2}}$

и

$c\left({\frac {x+2}{3}}\right)={\frac {1+c(x)}{2}}$

Увеличение может быть каскадным; они порождают диадический моноид . Это демонстрируется определением нескольких вспомогательных функций. Определите отражение как

$r(x)=1-x$

Первую самосимметрию можно выразить как

$r\circ c=c\circ r$

где символ $\circ$ обозначает композицию функций. То есть, $(r\circ c)(x)=r(c(x))=1-c(x)$ и то же самое для остальных случаев. Для левого и правого увеличения напишите левые отображения

$L_{D}(x)={\frac {x}{2}}$ и $L_{C}(x)={\frac {x}{3}}$

Тогда функция Кантора подчиняется

$L_{D}\circ c=c\circ L_{C}$

Аналогично определим правильные отображения как

$R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}$ и $R_{C}(x)={\frac {2+x}{3}}$

Тогда аналогично,

$R_{D}\circ c=c\circ R_{C}$

Обе стороны могут быть зеркально отражены друг на друге, при этом

$L_{D}\circ r=r\circ R_{D}$

и аналогично,

$L_{C}\circ r=r\circ R_{C}$

Эти операции могут располагаться произвольно. Рассмотрим, например, последовательность ходов влево-вправо. $LRLLR.$ Добавление индексов C и D и, для ясности, удаление оператора композиции. $\circ$ почти во всех местах, за исключением нескольких, есть:

$L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ c=c\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}$

Произвольные строки конечной длины в буквах L и R соответствуют двоично-рациональным числам , поскольку каждое двоично-рациональное число может быть записано как $y=n/2^{m}$ для целых чисел n и m и как конечная длина битов $y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}$ с $b_{k}\in \{0,1\}.$ Таким образом, каждое двоичное рациональное находится во взаимно однозначном соответствии с некоторой самосимметрией функции Кантора.

Некоторые изменения в обозначениях могут немного облегчить выражение вышеизложенного. Позволять $g_{0}$ и $g_{1}$ обозначают L и R. Композиция функций расширяет это до моноида , поскольку можно написать $g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}$ и вообще, $g_{A}g_{B}=g_{AB}$ для некоторых двоичных строк цифр A , B , где AB — это обычная конкатенация таких строк. Тогда диадический моноид M является моноидом всех таких движений конечной длины влево-вправо. Письмо $\gamma \in M$ как общий элемент моноида, существует соответствующая самосимметрия функции Кантора:

$\gamma _{D}\circ c=c\circ \gamma _{C}$

Сам диадический моноид обладает несколькими интересными свойствами. Его можно рассматривать как конечное число перемещений влево-вправо вниз по бесконечному двоичному дереву ; бесконечно удаленные «листья» дерева соответствуют точкам множества Кантора, поэтому моноид также представляет собой самосимметрии множества Кантора. Фактически, большой класс часто встречающихся фракталов описывается диадическим моноидом; дополнительные примеры можно найти в статье о кривых де Рама . Другие фракталы, обладающие самоподобием, описываются другими видами моноидов. Диадический моноид сам по себе является субмоноидом модульной группы. $SL(2,\mathbb {Z} ).$

Обратите внимание, что функция Кантора имеет более чем мимолетное сходство с функцией вопросительного знака Минковского . В частности, он подчиняется точно таким же соотношениям симметрии, хотя и в измененном виде.

Обобщения

Позволять

$y=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}2^{-k}$

– двоичное (двоичное) разложение действительного числа 0 ≤ y ≤ 1 по двоичным цифрам b _k ∈ {0,1}. Более подробно это расширение обсуждается в статье о диадической трансформации . Затем рассмотрим функцию

$C_{z}(y)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}z^{k}.$

Для z = 1/3 обратная функция x = 2 C _1/3 ( y ) является функцией Кантора. То есть y = y ( x ) — функция Кантора. В общем, для любого z < 1/2 C _z ( y ) выглядит как функция Кантора, перевернутая набок, причем ширина ступенек увеличивается по мере приближения z к нулю.

Как упоминалось выше, функция Кантора также является кумулятивной функцией распределения меры на множестве Кантора. Различные функции Кантора, или Дьявольские лестницы, могут быть получены путем рассмотрения различных безатомных вероятностных мер, поддерживаемых множеством Кантора или другими фракталами. Хотя функция Кантора почти везде имеет производную 0, текущие исследования сосредоточены на вопросе размера множества точек, в которых верхняя правая производная отличается от нижней правой производной, в результате чего производная не существует. Этот анализ дифференцируемости обычно проводится в терминах фрактальной размерности , причем наиболее популярным выбором является размерность Хаусдорфа. Это направление исследований было начато в 1990-х годах Дарстом. который показал, что хаусдорфова размерность множества недифференцируемости функции Кантора равна квадрату размерности множества Кантора, $(\log 2/\log 3)^{2}$. Впоследствии Фальконер показал, что это соотношение возведения в квадрат справедливо для всех регулярных сингулярных мер Альфорса, т.е.

$$\dim _{H}\left\{x:f'(x)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu ([x,x+h])}{h}}{\text{ does not exist}}\right\}=\left(\dim _{H}\operatorname {supp} (\mu )\right)^{2}$$

Позже Трошейт получить более полную картину множества, где производная не существует для более общих нормализованных мер Гибба, поддерживаемых на самоконформных и самоподобных множествах .

Германа Минковского визуально Функция вопросительного знака напоминает функцию Кантора, представляя собой «сглаженную» форму последней; ее можно построить путем перехода от разложения цепной дроби к двоичному разложению, точно так же, как функцию Кантора можно построить путем перехода от троичного разложения к двоичному разложению. Функция вопросительного знака обладает интересным свойством: она имеет нулевые производные для всех рациональных чисел.

См. также

• Диадическая трансформация
• Функция Вейерштрасса — функция, непрерывная всюду, но нигде не дифференцируемая.

Ссылки

• Басс, Ричард Франклин (2013) [2011]. Реальный анализ для аспирантов (Второе изд.). Независимое издательство Createspace. ISBN  978-1-4818-6914-0 .
• Кантор, Г. (1884). «Сила совершенных наборов точек: Отрывок из письма, адресованного редактору» . Акта Математика . 4 . Международная пресса Бостона: 381–392. дои : 10.1007/bf02418423 . ISSN   0001-5962 . Перепечатано в: Э. Цермело (ред.), Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philosophischen Inhalts, Springer, Нью-Йорк, 1980.
• Дарст, Ричард Б.; Палагалло, Джудит А.; Прайс, Томас Э. (2010), Любопытные кривые , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, ISBN  978-981-4291-28-6 , МР   2681574
• Довгошей, О.; Марш, О.; Рязанов В.; Вуоринен, М. (2006). «Функция Кантора». Математические изложения . 24 (1). Эльзевир Б.В.: 1–37. дои : 10.1016/j.exmath.2005.05.002 . ISSN   0723-0869 . МР   2195181
• Флерон, Джулиан Ф. (1 апреля 1994 г.). «Заметка об истории множества Кантора и функции Кантора». Журнал «Математика» . 67 (2). Информа UK Limited: 136–140. дои : 10.2307/2690689 . ISSN   0025-570X . JSTOR   2690689 .
• Лебег, Х. (1904), Уроки интегрирования и поиска функций примитивных , Париж: Готье-Виллар
• Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева . Том. 181 (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 734. ИСБН  978-1-4704-2921-8 . OCLC   976406106 .
• Шеффер, Людвиг (1884). «Общие исследования по исправлению кривых» . Акта Математика . 5 . Международная пресса Бостона: 49-82. дои : 10.1007/bf02421552 . ISSN   0001-5962 .
• Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008) [2001]. Элементарный реальный анализ (Второе изд.). КлассическийRealAnaанализ.com. ISBN  978-1-4348-4367-8 .
• Веструп, Э.М. (2003). Теория меры и интегрирования . Ряды Уайли по вероятности и статистике. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0471249771 .
• Витали, А. (1905), «Об целочисленных функциях», Atti Accad. Лыжи Турин Кл. Науч. Мэтт. Естественный. , 40 : 1021–1034

Внешние ссылки

• Троичная функция Кантора в Математической энциклопедии
• Функция Кантора Дугласа Риверса, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Кантора» . Математический мир .