Коническая комбинация

Учитывая конечное число векторов $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ в реальном векторном пространстве — коническая комбинация , коническая сумма или взвешенная сумма. из этих векторов есть вектор вида

$\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$

где $\alpha _{i}$ являются неотрицательными действительными числами.

Название происходит от того факта, что набор всех конических сумм векторов определяет конус ( меньшей размерности возможно, в подпространстве ).

Конический корпус

Набор S комбинаций для данного множества называется конической оболочкой S всех конических и обозначается конусом ( S ). или кони ( S ). То есть,

$\operatorname {coni} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}:x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},\,k\in \mathbb {N} \right\}.$

Принимая k = 0, следует, что нулевой вектор ( начало координат ) принадлежит всем коническим оболочкам (поскольку суммирование становится пустой суммой ).

Коническая оболочка множества S является выпуклым множеством . Фактически, это пересечение всех выпуклых конусов, содержащих S плюс начало координат. Если S — компакт (в частности, конечное непустое множество точек), то условие «плюс начало координат» излишне.

Если мы отбросим начало координат, мы сможем разделить все коэффициенты на их сумму и увидеть, что коническая комбинация — это выпуклая комбинация, масштабированная с положительным коэффициентом.

На плоскости коническая оболочка круга, проходящая через начало координат, представляет собой открытую полуплоскость, определяемую касательной к кругу в начале координат плюс начало координат.

Следовательно, «конические комбинации» и «конические оболочки» на самом деле являются «выпуклыми коническими комбинациями» и «выпуклыми коническими оболочками» соответственно. Более того, из сделанного выше замечания о делении коэффициентов с отбрасыванием начала координат следует, что конические комбинации и оболочки можно рассматривать как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве .

Хотя выпуклая оболочка компакта также является компактом, для конической оболочки это не так; прежде всего, последний неограничен. Более того, это даже не обязательно замкнутое множество : контрпример — это сфера, проходящая через начало координат, причем коническая оболочка представляет собой открытое полупространство плюс начало координат. Однако если S — непустой выпуклый компакт, не содержащий начала координат, то выпуклая коническая оболочка S — замкнутое множество.

См. также

Родственные комбинации

Дополнительная информация: Линейная комбинация § Аффинные, конические и выпуклые комбинации.

• Аффинная комбинация
• Выпуклая комбинация
• Линейная комбинация