Теорема Римана – Роха

Теорема Римана – Роха

Поле	Алгебраическая геометрия и комплексный анализ
Первое доказательство	Густав Рох
Первое доказательство в	1865
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема Гротендика – Римана – Роха. Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. Теорема Римана–Роха для поверхностей Теорема типа Римана–Роха
Последствия	Теорема Клиффорда о специальных делителях Формула Римана – Гурвица

Теорема Римана-Роха — важная теорема в математике , особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии , для вычисления размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешенными полюсами . Он связывает комплексный анализ связной компактной римановой поверхности поверхности с чисто топологическим родом g таким способом, который может быть перенесен в чисто алгебраические ситуации.

Первоначально доказанная Риманом (1857) как , неравенство Римана теорема достигла своей окончательной формы для римановых поверхностей после работы Густава недолговечного ученика Римана Роха ( 1865 ). Позже оно было обобщено на алгебраические кривые более высокой размерности , на многообразия и далее.

Предварительные сведения

Риманова поверхность рода 3.

Риманова поверхность $X$ — топологическое пространство , локально гомеоморфное открытому подмножеству $\mathbb {C}$, набор комплексных чисел . Кроме того, карты перехода между этими открытыми подмножествами должны быть голоморфными . Последнее условие позволяет перенести понятия и методы комплексного анализа, касающиеся голоморфных и мероморфных функций, на $\mathbb {C}$ на поверхность $X$. Для целей теоремы Римана–Роха поверхность $X$ всегда предполагается компактным . В разговорной речи род $g$ римановой поверхности — это число ее ручек ; например, род римановой поверхности, показанной справа, равен трем. Точнее, род определяется как половина первого числа Бетти , т. е. половина $\mathbb {C}$-размерность первой гомологий особой группы $H_{1}(X,\mathbb {C} )$ со сложными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности с точностью до гомеоморфизма , т. е. две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род один и тот же. Следовательно, род является важным топологическим инвариантом римановой поверхности. С другой стороны, теория Ходжа показывает, что род совпадает с $\mathbb {C}$-размерность пространства голоморфных одноформ на $X$, поэтому род также кодирует комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности.

Делитель ​ $D$ является элементом свободной абелевой группы в точках поверхности. Эквивалентно, дивизор — это конечная линейная комбинация точек поверхности с целыми коэффициентами.

Любая мероморфная функция $f$ порождает делитель, обозначаемый $(f)$ определяется как

$(f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }$

где $R(f)$ представляет собой совокупность всех нулей и полюсов $f$, и $s_{\nu }$ дается

$s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a pole of order }}a.\end{cases}}$

Набор $R(f)$ известно, что оно конечно; это следствие $X$ компактность и тот факт, что нули (ненулевой) голоморфной функции не имеют точки накопления . Поэтому, $(f)$ четко определен. Любой делитель этого вида называется главным делителем . Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными . дивизор мероморфной 1-формы Аналогично определяется . Дивизор глобальной мероморфной 1-формы называется каноническим дивизором (обычно обозначается $K$). Любые две мероморфные 1-формы дадут линейно эквивалентные дивизоры, поэтому канонический дивизор определяется однозначно с точностью до линейной эквивалентности (отсюда и «канонический дивизор»).

Символ $\deg(D)$ обозначает степень (иногда также называемую индексом) делителя $D$, т.е. сумма коэффициентов, входящих в $D$. Можно показать, что дивизор глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, поэтому степень дивизора зависит только от его класса линейной эквивалентности.

Число $\ell (D)$ представляет собой величину, которая представляет первостепенный интерес: размерность (более $\mathbb {C}$) векторного пространства мероморфных функций $h$ на поверхности, такая, что все коэффициенты $(h)+D$ неотрицательны. Интуитивно мы можем представить это как все мероморфные функции, полюса которых в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в $D$; если коэффициент в $D$ в $z$ отрицательно, то мы требуем, чтобы $h$ имеет нуль по крайней мере этой кратности в точке $z$ – если коэффициент в $D$ является положительным, $h$ может иметь полюс не более чем этого порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных дивизоров естественным образом изоморфны посредством умножения на глобальную мероморфную функцию (которая корректно определена с точностью до скаляра).

Формулировка теоремы

Теорема Римана–Роха для компактной римановой поверхности рода $g$ с каноническим делителем $K$ государства

$\ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1.$

Как правило, число $\ell (D)$ представляет интерес, в то время как $\ell (K-D)$ рассматривается как корректирующий термин (также называемый индексом специальности). ), поэтому теорему можно грубо перефразировать, сказав:

размерность − поправка = степень − род + 1.

Поскольку это размерность векторного пространства, поправочный член $\ell (K-D)$ всегда неотрицательен, так что

$\ell (D)\geq \deg(D)-g+1.$

Это называется неравенством Римана . Часть утверждения Роха — это описание возможной разницы между сторонами неравенства. На общей римановой поверхности рода $g$, $K$ имеет степень $2g-2$, независимо от мероморфной формы, выбранной для представления дивизора. Это следует из того, что положили $D=K$ в теореме. В частности, до тех пор, пока $D$ имеет степень как минимум $2g-1$, поправочный член равен 0, так что

$\ell (D)=\deg(D)-g+1.$

Теперь теорема будет проиллюстрирована для поверхностей низкого рода. Существует также ряд других тесно связанных теорем: эквивалентная формулировка этой теоремы с использованием линейных расслоений и обобщение теоремы на алгебраические кривые .

Примеры

Теорему можно проиллюстрировать, выбрав точку $P$ на рассматриваемой поверхности и относительно последовательности чисел

$\ell (n\cdot P),n\geq 0$

т. е. размерность пространства функций, голоморфных всюду, кроме точки $P$ где функция может иметь не более полюса порядка $n$. Для $n=0$, функции, таким образом, должны быть целыми , т. е. голоморфными на всей поверхности $X$. По теореме Лиувилля такая функция обязательно постоянна. Поэтому, $\ell (0)=1$. В общем, последовательность $\ell (n\cdot P)$ является возрастающей последовательностью.

Род нулевой

Сфера Римана (также называемая комплексной проективной линией ) односвязна и, следовательно, ее первая сингулярная гомология равна нулю. В частности, его род равен нулю. Сферу можно покрыть двумя копиями $\mathbb {C}$, с картой перехода , заданной выражением

$\mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.$

Следовательно, форма $\omega =dz$ на одном экземпляре $\mathbb {C}$ продолжается до мероморфной формы на сфере Римана: он имеет двойной полюс на бесконечности, поскольку

$d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz.$

Таким образом, его канонический делитель равен $K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P$ (где $P$ это точка на бесконечности).

Следовательно, теорема утверждает, что последовательность $\ell (n\cdot P)$ читает

1, 2, 3, ... .

Эту последовательность можно также прочитать из теории простейших дробей . И наоборот, если эта последовательность начинается таким образом, то $g$ должно быть равно нулю.

Род первый

Тор

Следующий случай — это риманова поверхность рода $g=1$, например тор $\mathbb {C} /\Lambda$, где $\Lambda$ является двумерной решеткой (группой, изоморфной $\mathbb {Z} ^{2}$). Его род один: его первая особая группа гомологии свободно порождается двумя петлями, как показано на иллюстрации справа. Стандартная комплексная координата $z$ на $C$ дает одну форму $\omega =dz$ на $X$ которая всюду голоморфна, т. е. вообще не имеет полюсов. Поэтому, $K$, делитель $\omega$ равен нулю.

На этой поверхности эта последовательность имеет вид

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

и это характеризует случай $g=1$. Действительно, для $D=0$, $\ell (K-D)=\ell (0)=1$, как было сказано выше. Для $D=n\cdot P$ с $n>0$, степень $K-D$ строго отрицательна, так что поправочный член равен 0. Последовательность измерений также можно вывести из теории эллиптических функций .

Род второй и далее

Для $g=2$, упомянутая выше последовательность

1, 1, ?, 2, 3, ... .

Из этого видно, что ? Член степени 2 равен либо 1, либо 2, в зависимости от точки. Можно доказать, что на любой кривой рода 2 имеется ровно шесть точек, последовательности которых равны 1, 1, 2, 2,..., а остальные точки имеют общую последовательность 1, 1, 1, 2,... В частности, кривая рода 2 является гиперэллиптической кривой . Для $g>2$ всегда верно, что в большинстве случаев последовательность начинается с $g+1$ единицы и имеется конечное число точек с другими последовательностями (см. точки Вейерштрасса ).

Римана-Роха для линейных расслоений

Используя тесное соответствие между дивизорами и голоморфными линейными расслоениями на римановой поверхности, теорему можно сформулировать и другим, но эквивалентным способом: пусть L — голоморфное линейное расслоение на X . Позволять $H^{0}(X,L)$ обозначим пространство голоморфных сечений L . Это пространство будет конечномерным; его размерность обозначается $h^{0}(X,L)$. через K Обозначим расслоение на X. каноническое Тогда теорема Римана–Роха утверждает, что

$h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.$

Теорема предыдущего раздела представляет собой частный случай, когда L является точечным расслоением .

Теорему можно применить, чтобы показать, что существует g линейно независимых голоморфных сечений K или одноформ на X следующим образом. Принимая L за тривиальное расслоение, $h^{0}(X,L)=1$ поскольку единственные голоморфные функции на X являются константами. Степень L равна нулю, и $L^{-1}$ является тривиальным расслоением. Таким образом,

$1-h^{0}(X,K)=1-g.$

Поэтому, $h^{0}(X,K)=g$, доказывая, что существует g голоморфных одноформ.

Степень канонической расслоения

Поскольку канонический расслоение $K$ имеет $h^{0}(X,K)=g$, применяя Римана–Роха к $L=K$ дает

$h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g$

который можно переписать как

$g-1=\deg(K)+1-g$

следовательно, степень канонического расслоения равна $\deg(K)=2g-2$.

Теорема Римана–Роха для алгебраических кривых

Каждый элемент приведенной выше формулировки теоремы Римана–Роха для дивизоров на римановых поверхностях имеет аналог в алгебраической геометрии . Аналогом римановой поверхности является неособая алгебраическая кривая C над полем k . Разница в терминологии (кривая и поверхность) заключается в том, что размерность римановой поверхности как реального многообразия равна двум, а размерность комплексного многообразия — одна. Компактность римановой поверхности параллельна условию полноты алгебраической кривой , что эквивалентно проективности . Над общим полем k не существует хорошего понятия сингулярных (ко)гомологий. Так называемый геометрический род определяется как

$g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})$

т. е. как размерность пространства глобально определенных (алгебраических) одноформ (см. Дифференциал Кэлера ). Наконец, мероморфные функции на римановой поверхности локально представляются как дроби голоморфных функций. Следовательно, они заменяются рациональными функциями , которые являются локальными дробями регулярных функций . Таким образом, написав $\ell (D)$ для размерности (по k ) пространства рациональных функций на кривой, полюсы которой в каждой точке не хуже соответствующего коэффициента в D , справедлива та же самая формула, что и выше:

$\ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1.$

где C — проективная неособая алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым полем k . Фактически, та же самая формула справедлива для проективных кривых над любым полем, за исключением того, что степень дивизора должна учитывать кратности, возникающие из возможных расширений основного поля и полей вычетов точек, поддерживающих дивизор. Наконец, для собственной кривой над артиновым кольцом эйлерова характеристика линейного расслоения, связанного с дивизором, определяется степенью дивизора (определенной соответствующим образом) плюс эйлерова характеристика структурного пучка. ${\mathcal {O}}$.

Предположение о гладкости в теореме также можно ослабить: для (проективной) кривой над алгебраически замкнутым полем, все локальные кольца которого являются кольцами Горенштейна , справедливо то же утверждение, что и выше, при условии, что геометрический род, определенный выше, равен заменен арифметическим родом g _a , определяемым как

$g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C}).$

(Для гладких кривых геометрический род совпадает с арифметическим.) Теорема также была распространена на общие сингулярные кривые (и многомерные многообразия).

Приложения

Полином Гильберта

Одним из важных следствий Римана-Роха является то, что он дает формулу для вычисления полинома Гильберта линейных расслоений на кривой. Если линейный пучок ${\mathcal {L}}$ обильно, то полином Гильберта даст первую степень ${\mathcal {L}}^{\otimes n}$ дающее вложение в проективное пространство. Например, канонический пучок $\omega _{C}$ имеет степень $2g-2$, что дает достаточное расслоение строк для рода $g\geq 2$. Если мы установим $\omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}$ тогда формула Римана – Роха будет иметь вид

${\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}$

Вручение степени $1$ Полином Гильберта $\omega _{C}$

$H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1$

Поскольку триканонический пучок $\omega _{C}^{\otimes 3}$ используется для встраивания кривой, полином Гильберта

$H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)$

обычно учитывается при построении схемы Гильберта кривых (и пространства модулей алгебраических кривых ). Этот многочлен

${\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}$

и называется полиномом Гильберта кривой рода g .

Плюриканоническое вложение

При дальнейшем анализе этого уравнения эйлерова характеристика выглядит как

${\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}$

С $\deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)$

$h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0$

для $n\geq 3$, так как его степень отрицательна для всех $g\geq 2$, подразумевая, что у него нет глобальных сечений, существует вложение в некоторое проективное пространство глобальных сечений $\omega _{C}^{\otimes n}$. В частности, $\omega _{C}^{\otimes 3}$ дает вложение в $\mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))$ где $N=5g-5-1=5g-6$ с $h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1$. Это полезно при построении пространства модулей алгебраических кривых , поскольку его можно использовать в качестве проективного пространства для построения схемы Гильберта с полиномом Гильберта. $H_{C}(t)$.

Род плоских кривых с особенностями

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d имеет ( d - 1)( d - 2)/2 - g особенностей при правильном подсчете. Отсюда следует, что если кривая имеет ( d − 1)( d − 2)/2 различных особенностей, то она является рациональной кривой и, следовательно, допускает рациональную параметризацию.

Формула Римана–Гурвица

Формула Римана–Гурвица, касающаяся (разветвленных) отображений между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана–Роха.

Клиффорда о

Теорема Клиффорда о специальных делителях также является следствием теоремы Римана – Роха. В нем говорится, что для специального делителя (т. е. такого, что $\ell (K-D)>0$) удовлетворение $\ell (D)>0,$ имеет место следующее неравенство:

$\ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1.$

Доказательство

Доказательство для алгебраических кривых

Утверждение для алгебраических кривых можно доказать, используя двойственность Серра . Целое число $\ell (D)$ — размерность пространства глобальных сечений линейного расслоения ${\mathcal {L}}(D)$ связанный с D ( ср. делитель Картье ). Таким образом, в терминах пучковых когомологий мы имеем $\ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))$, и аналогично $\ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })$. Но двойственность Серра для неособых проективных многообразий в частном случае кривой утверждает, что $H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })$ изоморфен двойственному $H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }$. Таким образом, левая часть равна эйлеровой характеристике дивизора D . Когда D = 0, мы находим, что эйлерова характеристика структурного пучка равна $1-g$ по определению. Чтобы доказать теорему об общем делителе, можно затем добавить точки к делителю одну за другой и убедиться, что эйлерова характеристика преобразуется соответствующим образом в правую часть.

римановых поверхностей

Теорему для компактных римановых поверхностей можно вывести из алгебраической версии с использованием теоремы Чоу и принципа GAGA : фактически каждая компактная риманова поверхность определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чоу утверждает, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA гласит, что пучковые когомологии алгебраического многообразия совпадают с пучковыми когомологиями аналитического многообразия, определяемыми теми же уравнениями).

Можно избежать использования теоремы Чоу, рассуждая так же, как доказательство в случае алгебраических кривых, но заменив ${\mathcal {L}}(D)$ со снопом ${\mathcal {O}}_{D}$ мероморфных функций h таких, что все коэффициенты дивизора $(h)+D$ неотрицательны. Здесь тот факт, что эйлерова характеристика преобразуется желаемым образом при добавлении точки к делителю, можно прочитать из длинной точной последовательности, индуцированной короткой точной последовательностью

$0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0$

где $\mathbb {C} _{P}$ — это пучок небоскребов в точке P , а карта ${\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}$ возвращает $-k-1$коэффициент Лорана, где $k=D(P)$.

Римана–

Версия арифметической теоремы Римана-Роха утверждает, что если — глобальное поле , а f — подходящая допустимая функция аделей k , k то для каждой идели a существует формула суммирования Пуассона :

${\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax).$

В частном случае, когда k — функциональное поле алгебраической кривой над конечным полем, а f — любой символ, тривиальный на k , это восстанавливает геометрическую теорему Римана–Роха.

В других версиях арифметической теоремы Римана-Роха используется теория Аракелова, чтобы более точно напоминать традиционную теорему Римана-Роха.

Римана–

См. Также: теорема типа Римана – Роха.

Теорема Римана-Роха для кривых была доказана для римановых поверхностей Риманом и Рохом в 1850-х годах, а для алгебраических кривых Фридрихом Карлом Шмидтом в 1931 году, когда он работал над совершенными полями конечной характеристики . Как заявил Питер Рокетт ,

Первым главным достижением Ф. К. Шмидта является открытие того, что классическая теорема Римана–Роха о компактных римановых поверхностях может быть перенесена на функциональные поля с конечным базовым полем. На самом деле его доказательство теоремы Римана–Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных.

Это является основополагающим в том смысле, что последующая теория кривых пытается уточнить информацию, которую она дает (например, в теории Брилла – Нётер ).

Существуют версии в более высоких измерениях (для соответствующего понятия делителя или расслоения линий ). Их общая формулировка зависит от разделения теоремы на две части. Одна из них, которую сейчас назвали бы двойственностью Серра , интерпретирует $\ell (K-D)$ терм как размерность группы когомологий первого пучка ; с $\ell (D)$ размерности нулевой группы когомологий или пространства сечений левая часть теоремы становится эйлеровой характеристикой , а правая часть — вычислением ее как степени, исправленной в соответствии с топологией римановой поверхности.

В алгебраической геометрии размерности два такая формула была найдена геометрами итальянской школы ; была доказана теорема Римана –Роха для поверхностей (существует несколько версий, первая, возможно, принадлежит Максу Нётер ).

n - мерное обобщение, теорема Хирцебруха-Римана-Роха , было найдено и доказано Фридрихом Хирцебрухом как приложение характеристических классов в алгебраической топологии ; на него большое влияние оказало творчество Кунихико Кодайры . Примерно в то же время Жан-Пьер Серр дал общую форму серровской двойственности, какой мы ее теперь знаем.

Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, теперь известное как теорема Гротендика-Римана-Роха . Его работа интерпретирует Римана-Роха не как теорему о многообразии, а как о морфизме между двумя многообразиями. Подробности доказательств были опубликованы Арманом Борелем и Жан-Пьером Серром в 1958 году. Позже Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство.

Наконец, общая версия была найдена и в алгебраической топологии . По сути, все эти разработки были осуществлены между 1950 и 1960 годами. После этого теорема об индексе Атьи – Зингера открыла еще один путь к обобщению. Следовательно, эйлерова характеристика когерентного пучка разумно вычислима. Только для одного слагаемого в знакопеременной сумме дополнительные аргументы, такие как теоремы об исчезновении необходимо использовать .

См. также

• Arakelov theory
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.
• Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.
• Формула Римана-Роха Кавасаки.
• Полином Гильберта
• Модули алгебраических кривых

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер; Борель, Арманд (1958). «Теорема Римана-Роха» . Бюллетень Математического общества Франции . 79 : 97–136. дои : 10.24033/bsmf.1500 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523
• Гротендик, Александр и др. (1966/67), Теория пересечений и теорема Римана – Роха (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
• Фултон, Уильям (1974). Алгебраические кривые (PDF) . Серия лекций по математике. В. А. Бенджамин. ISBN  0-8053-3080-1 .
• Йост, Юрген (2006). Компактные римановы поверхности . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-33065-3 . См. страницы 208–219 для доказательства в сложной ситуации. Обратите внимание, что Йост использует немного другие обозначения.
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 . OCLC   13348052 . , содержит утверждение для кривых над алгебраически замкнутым полем. См. раздел IV.1.
• «Теорема Римана–Роха» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хирцебрух, Фридрих (1995). Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-58663-0 . МР   1335917 . .
• Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Аспирантура по математике. Том. 5. дои : 10.1090/gsm/005 . ISBN  9780821802687 .
• Сигеру Мукаи (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 81. Уильям Оксбери (пер.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80906-1 .
• Векторные расслоения на компактных римановых поверхностях , М. С. Нарасимхан, стр. 5–6.
• Риман, Бернхард (1857). «Теория абелевых функций» . Журнал чистой и прикладной математики . 1857 (54): 115–155. дои : 10.1515/crll.1857.54.115 . hdl : 2027/coo.31924060183864 . S2CID   16593204 .
• Рох, Густав (1865). «О числе произвольных констант в алгебраических функциях» . Журнал чистой и прикладной математики . 1865 (64): 372–376. дои : 10.1515/crll.1865.64.372 . S2CID   120178388 .
• Шмидт, Фридрих Карл (1931), «Аналитическая теория чисел в полях характеристики p » , Mathematical Journal , 33 : 1–32, doi : 10.1007/BF01174341 , S2CID   186228993 , Zbl   0001.05401 , заархивировано из оригинала 22 декабря 2017 г. , получено 16 мая 2020 г.
• Стихтенот, Хеннинг (1993). Поля и коды алгебраических функций . Издательство Спрингер. ISBN  3-540-56489-6 .
• Миша Капович , Теорема Римана–Роха (конспект лекций) элементарное введение
• Дж. Грей, Теорема Римана–Роха и геометрия, 1854–1914 гг .
• Существует ли модель Римана–Роха для гладких проективных кривых над произвольным полем? на MathOverflow