Наблюдаемость

Чтобы узнать о концепции квантовой механики, см. Observable . Информацию о концепции программного обеспечения см. в разделе « Наблюдаемость (программное обеспечение)» .

Наблюдаемость — это мера того, насколько хорошо внутренние состояния системы можно вывести из знания ее внешних результатов.В теории управления наблюдаемость и управляемость линейной системы являются математическими двойственными понятиями .

Понятие наблюдаемости было введено венгерско-американским инженером Рудольфом Э. Кальманом для линейных динамических систем. Динамическая система, предназначенная для оценки состояния системы на основе измерений выходных сигналов, называется наблюдателем состояния этой системы, например фильтры Калмана .

Определение

Рассмотрим физическую систему, смоделированную в представлении в пространстве состояний . Система называется наблюдаемой , если для любой возможной эволюции векторов состояния и управления текущее состояние можно оценить, используя только информацию с выходов (физически это обычно соответствует информации, полученной датчиками ). Другими словами, можно определить поведение всей системы по ее выходным данным. С другой стороны, если система ненаблюдаема, существуют траектории состояний, которые невозможно различить только путем измерения выходных данных.

Линейные стационарные системы

Для стационарных линейных систем в представлении в пространстве состояний существуют удобные тесты, позволяющие проверить, является ли система наблюдаемой. Рассмотрим систему SISO с $n$ переменные состояния ( см. в пространстве состояний подробную информацию о системах MIMO ), заданные формулой

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)$

Матрица наблюдаемости

столбца Тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости , определенный как

${\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}$

равно $n$, то система наблюдаема. Основанием для этого теста является то, что если $n$ столбцы линейно независимы, то каждый из $n$ переменные состояния можно просмотреть через линейные комбинации выходных переменных $y$.

Связанные понятия

Индекс наблюдаемости

Индекс наблюдаемости $v$ линейной стационарной дискретной системы — это наименьшее натуральное число, для которого выполняются следующие условия: ${\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{rank}}{({\mathcal {O}}_{v+1})}$, где

${\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.$

Ненаблюдаемое подпространство

Ненаблюдаемое подпространство $N$ линейной системы является ядром линейного отображения $G$ данный

${\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}$

где ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})$ – множество непрерывных функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} ^{n}$. $N$ также можно записать как

$N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}$

Поскольку система наблюдаема тогда и только тогда, когда $\operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n$, система наблюдаема тогда и только тогда, когда $N$ — нулевое подпространство.

Для ненаблюдаемого подпространства действительны следующие свойства:

• $N\subset Ke(C)$
• $A(N)\subset N$
• $N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}$

Обнаруживаемость

Немного более слабое понятие, чем наблюдаемость, — это обнаруживаемость . Система является обнаруживаемой, если все ненаблюдаемые состояния стабильны.

Условия обнаруживаемости важны в контексте сенсорных сетей .

Линейные нестационарные системы

Рассмотрим непрерывную линейную нестационарную систему

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,$

Предположим, что матрицы $A$, $B$ и $C$ даны, а также входы и выходы $u$ и $y$ для всех $t\in [t_{0},t_{1}];$ тогда можно определить $x(t_{0})$ с точностью до аддитивного постоянного вектора, который лежит в нулевом пространстве $M(t_{0},t_{1})$ определяется

$M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt$

где $\varphi$ – матрица перехода состояний .

Можно определить уникальный $x(t_{0})$ если $M(t_{0},t_{1})$ является неособым . Фактически невозможно выделить исходное состояние для $x_{1}$ от того, что $x_{2}$ если $x_{1}-x_{2}$ находится в нулевом пространстве $M(t_{0},t_{1})$.

Обратите внимание, что матрица $M$ определенный выше, имеет следующие свойства:

• $M(t_{0},t_{1})$ симметричен ​
• $M(t_{0},t_{1})$ является положительно полуопределенным для $t_{1}\geq t_{0}$
• $M(t_{0},t_{1})$ удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

${\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0$

• $M(t_{0},t_{1})$ удовлетворяет уравнению

$M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})$

матрицы

Система наблюдаема в $[t_{0},t_{1}]$ тогда и только тогда, когда существует интервал $[t_{0},t_{1}]$ в $\mathbb {R}$ такая, что матрица $M(t_{0},t_{1})$ является неособым.

Если $A(t),C(t)$ аналитичны, то система наблюдаема на интервале [ $t_{0}$, $t_{1}$] если существует ${\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]$ и целое положительное число k такое, что

$\operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,$

где $N_{0}(t):=C(t)$ и $N_{i}(t)$ определяется рекурсивно как

$N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1$

Пример

Рассмотрим систему, изменяющуюся аналитически по $(-\infty ,\infty )$ и матрицы

$A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.$

Затем ${\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}$ , и поскольку эта матрица имеет ранг = 3, система наблюдаема на каждом нетривиальном интервале $\mathbb {R}$.

Нелинейные системы

Учитывая систему ${\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}$, $y_{i}=h_{i}(x),i\in p$. Где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ вектор состояния, $u\in \mathbb {R} ^{m}$ входной вектор и $y\in \mathbb {R} ^{p}$ выходной вектор. $f,g,h$ должны быть гладкими векторными полями.

Определите пространство наблюдения ${\mathcal {O}}_{s}$ быть пространством, содержащим все повторяющиеся производные Ли , то система наблюдаема в $x_{0}$ тогда и только тогда, когда $\dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n$, где

$d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .$

Ранние критерии наблюдаемости в нелинейных динамических системах были открыты Гриффитом и Кумаром. Коу, Эллиот и Тарн, и Сингх.

Существуют также критерии наблюдаемости нелинейных нестационарных систем.

Статические системы и общие топологические пространства

Наблюдаемость также может быть охарактеризована для стационарных систем (систем, обычно определяемых в терминах алгебраических уравнений и неравенств) или, в более общем смысле, для множеств в $\mathbb {R} ^{n}$. Точно так же, как критерии наблюдаемости используются для прогнозирования поведения фильтров Калмана или других наблюдателей в случае динамической системы, критерии наблюдаемости для множеств в $\mathbb {R} ^{n}$ используются для прогнозирования поведения сверки данных и других статических оценок. В нелинейном случае наблюдаемость может быть охарактеризована для отдельных переменных, а также для поведения локальной оценки, а не только глобального поведения.

См. также

• Управляемость
• Лемма Хатуса
• Идентифицируемость
• Государственный наблюдатель
• Пространство состояний (управление)

Внешние ссылки

• «Наблюдаемость» . ПланетаМатематика .
• Функция MATLAB для проверки наблюдаемости системы
• Функция Mathematica для проверки наблюдаемости системы