Лапласово векторное поле

В векторном исчислении векторное поле Лапласа представляет собой векторное поле , которое одновременно является безвихревым и несжимаемым . Если поле обозначить как v , то оно описывается следующими дифференциальными уравнениями :

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {v} &=\mathbf {0} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}$

Из тождества векторного исчисления $\nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )$ отсюда следует, что

$\nabla ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {0}$

то есть поле v удовлетворяет уравнению Лапласа .

Однако обратное неверно; не каждое векторное поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа, является векторным полем Лапласа, что может вызвать путаницу. Например, векторное поле ${\bf {v}}=(xy,yz,zx)$ удовлетворяет уравнению Лапласа, но имеет как ненулевую дивергенцию, так и ненулевой ротор и не является векторным полем Лапласа.

Векторное поле Лапласа на плоскости удовлетворяет уравнениям Коши – Римана : оно голоморфно .

Поскольку ротор v v что (когда область определения односвязна) равен нулю, отсюда следует , можно выразить как градиент скалярного потенциала (см. безвихревое поле ) φ :

$\mathbf {v} =\nabla \phi .\qquad \qquad (1)$

Тогда, поскольку дивергенция v что также равна нулю, из уравнения (1) следует,

$\nabla \cdot \nabla \phi =0$

что эквивалентно

$\nabla ^{2}\phi =0.$

Следовательно, потенциал лапласова поля удовлетворяет уравнению Лапласа .

См. также

• Потенциальный поток
• Гармоническая функция