Jump to content

Формула Кристоффеля-Дарбу

В математике формула Кристоффеля-Дарбу или теорема Кристоффеля-Дарбу представляет собой тождество последовательности ортогональных полиномов , введенное Элвином Бруно Кристоффелем ( 1858 г. ) и Жаном Гастоном Дарбу ( 1878 г. ). В нем говорится, что

где f j ( x ) — j -й член набора ортогональных многочленов квадрата нормы h j и старшего коэффициента k j .

Существует также «слитная форма» этой идентичности, принимая предел:

Доказательство

[ редактировать ]

Позволять — последовательность полиномов, ортонормированных относительно вероятностной меры. и определить (они называются «параметрами Якоби»), то мы имеем трехчленную рекуррентность [ 1 ]

Доказательство: По определению, , так что если , затем представляет собой линейную комбинацию , и таким образом . Итак, чтобы построить , достаточно выполнить процесс Грамма-Шмидта на с использованием , что дает желаемую повторяемость.


Доказательство формулы Кристоффеля – Дарбу:

Поскольку обе части не изменяются при умножении на константу, мы можем масштабировать каждую к .

С это степень многочлен, он перпендикулярен , и так . Теперь формула Кристоффеля-Дарбу доказывается методом индукции с использованием трехчленной рекуррентности.

Конкретные случаи

[ редактировать ]

Полиномы Эрмита :

Связанные полиномы Лежандра :

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Свидерский, Гжегож; Троян, Бартош (01 августа 2021 г.). «Асимптотическое поведение ядра Кристоффеля – Дарбу посредством трехчленного рекуррентного соотношения I» . Конструктивная аппроксимация . 54 (1): 49–116. arXiv : 1909.09107 . дои : 10.1007/s00365-020-09519-w . ISSN   1432-0940 . S2CID   202677666 .


Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a4116cda55b86a962598e576671b86f6__1705129500
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a4/f6/a4116cda55b86a962598e576671b86f6.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Christoffel–Darboux formula - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)