Формула Кристоффеля-Дарбу

В математике формула Кристоффеля-Дарбу или теорема Кристоффеля-Дарбу представляет собой тождество последовательности ортогональных полиномов , введенное Элвином Бруно Кристоффелем ( 1858 г. ) и Жаном Гастоном Дарбу ( 1878 г. ). В нем говорится, что

$\sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}$

где f _j ( x ) — j -й член набора ортогональных многочленов квадрата нормы h _j и старшего коэффициента k _j .

Существует также «слитная форма» этой идентичности, принимая $y\to x$ предел: $$\sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left[f_{n+1}'(x)f_{n}(x)-f_{n}'(x)f_{n+1}(x)\right].$$

Доказательство

Позволять $p_{n}$ — последовательность полиномов, ортонормированных относительно вероятностной меры. $\mu$и определить $$a_{n}=\langle xp_{n},p_{n+1}\rangle ,\qquad b_{n}=\langle xp_{n},p_{n}\rangle ,\qquad n\geq 0$$(они называются «параметрами Якоби»), то мы имеем трехчленную рекуррентность $${\begin{array}{l l}{p_{0}(x)=1,\qquad p_{1}(x)={\frac {x-b_{0}}{a_{0}}},}\\{xp_{n}(x)=a_{n}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n-1}p_{n-1}(x),\qquad n\geq 1}\end{array}}$$

Доказательство: По определению, $\langle xp_{n},p_{k}\rangle =\langle p_{n},xp_{k}\rangle$, так что если $k\leq n-2$, затем $xp_{k}$ представляет собой линейную комбинацию $p_{0},...,p_{n-1}$, и таким образом $\langle xp_{n},p_{k}\rangle =0$. Итак, чтобы построить $p_{n+1}$, достаточно выполнить процесс Грамма-Шмидта на $xp_{n}$ с использованием $p_{n},p_{n-1}$, что дает желаемую повторяемость.

Доказательство формулы Кристоффеля – Дарбу:

Поскольку обе части не изменяются при умножении на константу, мы можем масштабировать каждую $f_{n}$ к $p_{n}$.

С ${\frac {k_{n+1}}{k_{n}}}xp_{n}-p_{n+1}$ это степень $n$ многочлен, он перпендикулярен $p_{n+1}$, и так $\langle {\frac {k_{n+1}}{k_{n}}}xp_{n},p_{n+1}\rangle =\langle p_{n+1},p_{n+1}\rangle =1$. Теперь формула Кристоффеля-Дарбу доказывается методом индукции с использованием трехчленной рекуррентности.

Конкретные случаи

Полиномы Эрмита :

$$\sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.$$$$\sum _{k=0}^{n}{\frac {He_{k}(x)He_{k}(y)}{k!}}={\frac {1}{n!}}\,{\frac {He_{n}(y)He_{n+1}(x)-He_{n}(x)He_{n+1}(y)}{x-y}}.$$

Связанные полиномы Лежандра :

${\begin{aligned}(\mu -\mu ')\sum _{l=m}^{L}\,(2l+1){\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_{lm}(\mu )P_{lm}(\mu ')=\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\{\frac {(L-m+1)!}{(L+m)!}}{\big [}P_{L+1\,m}(\mu )P_{Lm}(\mu ')-P_{Lm}(\mu )P_{L+1\,m}(\mu '){\big ]}.\end{aligned}}$

См. также

• Неравенства Турана
• Цепь Штурма

Ссылки

• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 71, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-62321-6 , МР   1688958
• Кристоффель, Э.Б. (1858), «О квадратуре Гаусса и ее обобщении». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 55 : 61–82, doi : 10.1515/crll.1858.55.61 , ISSN   0075-4102 , S2CID   123118038
• Дарбу, Гастон (1878), «Мемуары о приближении функций очень больших чисел и о расширенном классе разработок рядов», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 4 : 5–56, 377–416, ЖФМ   10.0279.01
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1972), Справочник по математическим функциям , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк , стр. 785, уравнение. 22.12.1
• Олвер, Фрэнк У.Дж.; Лозье, Дэниел В.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (2010), «Справочник NIST по математическим функциям» , Цифровая библиотека математических функций NIST , Cambridge University Press , стр. 438, уравнения. 18.2.12 и 18.2.13, ISBN  978-0-521-19225-5 (Твердый переплет, ISBN   978-0-521-14063-8 в мягкой обложке)
• Саймонс, Фредерик Дж.; Дален, ФА; Вечорек, Марк А. (2006), «Пространственно-спектральная концентрация на сфере», SIAM Review , 48 (1): 504–536, arXiv : math/0408424 , Bibcode : 2006SIAMR..48..504S , doi : 10.1137/S0036144504445765 , S2CID   27519592