Формула Кристоффеля-Дарбу
В математике формула Кристоффеля-Дарбу или теорема Кристоффеля-Дарбу представляет собой тождество последовательности ортогональных полиномов , введенное Элвином Бруно Кристоффелем ( 1858 г. ) и Жаном Гастоном Дарбу ( 1878 г. ). В нем говорится, что
где f j ( x ) — j -й член набора ортогональных многочленов квадрата нормы h j и старшего коэффициента k j .
Существует также «слитная форма» этой идентичности, принимая предел:
Доказательство
[ редактировать ]Позволять — последовательность полиномов, ортонормированных относительно вероятностной меры. и определить (они называются «параметрами Якоби»), то мы имеем трехчленную рекуррентность [ 1 ]
Доказательство: По определению, , так что если , затем представляет собой линейную комбинацию , и таким образом . Итак, чтобы построить , достаточно выполнить процесс Грамма-Шмидта на с использованием , что дает желаемую повторяемость.
Доказательство формулы Кристоффеля – Дарбу:
Поскольку обе части не изменяются при умножении на константу, мы можем масштабировать каждую к .
С это степень многочлен, он перпендикулярен , и так . Теперь формула Кристоффеля-Дарбу доказывается методом индукции с использованием трехчленной рекуррентности.
Конкретные случаи
[ редактировать ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Свидерский, Гжегож; Троян, Бартош (01 августа 2021 г.). «Асимптотическое поведение ядра Кристоффеля – Дарбу посредством трехчленного рекуррентного соотношения I» . Конструктивная аппроксимация . 54 (1): 49–116. arXiv : 1909.09107 . дои : 10.1007/s00365-020-09519-w . ISSN 1432-0940 . S2CID 202677666 .
- Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 71, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-62321-6 , МР 1688958
- Кристоффель, Э.Б. (1858), «О квадратуре Гаусса и ее обобщении». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 55 : 61–82, doi : 10.1515/crll.1858.55.61 , ISSN 0075-4102 , S2CID 123118038
- Дарбу, Гастон (1878), «Мемуары о приближении функций очень больших чисел и о расширенном классе разработок рядов», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 4 : 5–56, 377–416, ЖФМ 10.0279.01
- Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1972), Справочник по математическим функциям , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк , стр. 785, уравнение. 22.12.1
- Олвер, Фрэнк У.Дж.; Лозье, Дэниел В.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (2010), «Справочник NIST по математическим функциям» , Цифровая библиотека математических функций NIST , Cambridge University Press , стр. 438, уравнения. 18.2.12 и 18.2.13, ISBN 978-0-521-19225-5 (Твердый переплет, ISBN 978-0-521-14063-8 в мягкой обложке)
- Саймонс, Фредерик Дж.; Дален, ФА; Вечорек, Марк А. (2006), «Пространственно-спектральная концентрация на сфере», SIAM Review , 48 (1): 504–536, arXiv : math/0408424 , Bibcode : 2006SIAMR..48..504S , doi : 10.1137/S0036144504445765 , S2CID 27519592