Псевдоредуктивная группа

В математике псевдоредуктивная группа над полем k (иногда называемая k -редуктивной группой ) — это гладкая связная аффинная алгебраическая группа, определенная над k унипотентный радикал которой , k- (т. е. наибольший гладкий связный унипотентный нормальный k -подгруппа) тривиален. . Над совершенными полями это то же самое, что и (связные) редуктивные группы , но над несовершенными полями Жак Тит нашел несколько примеров псевдоредуктивных групп, которые не являются редуктивными. Псевдоредуктивная k -группа не обязательно должна быть редуктивной (поскольку образование k -унипотентного радикала обычно не коммутирует с несепарабельными скалярное расширение на k , такое как скалярное расширение до алгебраического замыкания k ). Псевдоредуктивные группы естественным образом возникают при изучении алгебраических групп над функциональными полями многообразий положительной размерности положительной характеристики (даже над совершенным полем констант).

Спрингер (1998) излагает результаты Титса о псевдоредуктивных группах, а Конрад, Габбер и Прасад (2010) развивают работу Титса по разработке общей теории структуры, включая более сложные темы, такие как методы построения, корневые системы и корневые группы и открытые ячейки, теоремы классификации и приложения к теоремам рациональной сопряженности для гладких связных аффинных групп над произвольными полями. Общая теория (с приложениями) по состоянию на 2010 год изложена в Реми (2011) , а более поздние работы во втором издании Conrad, Gabber & Prasad (2015) и Conrad & Prasad (2016) содержат дальнейшие уточнения.

Примеры псевдоредуктивных групп, которые не являются редуктивными

Предположим, что k — несовершенное поле характеристики 2, а a — элемент поля k, не являющийся квадратом. Пусть G — группа ненулевых элементов x + y √ a в k [ √ a ]. Существует морфизм G в мультипликативную группу G _m, переводящий x + y √ a в ее норму x ² - является ² , а ядро ​​— это подгруппа элементов нормы 1. Основная приведенная схема геометрического ядра изоморфна аддитивной группе G _a и является унипотентным радикалом геометрического слоя G , но эта приведенная схема подгрупп геометрического слоя не определен над k (т. е. не возникает из замкнутой подсхемы группы G над основным полем k ) и k -унипотентный радикал группы G тривиален. Итак, G — псевдоредуктивная k -группа, но не редуктивная k -группа. Подобная конструкция работает с использованием примитивного нетривиального чисто неразделимого конечного расширения любого несовершенного поля в любой положительной характеристике, с той лишь разницей, что формула отображения нормы несколько сложнее, чем в предыдущих квадратичных примерах.

В более общем смысле, если K — нетривиальное чисто неотделимое конечное расширение k , а G — любая определенная нетривиальная связная редуктивная K -группа, то ограничение Вейля H =R _{K / k} ( G ) является гладкой связной аффинной k -группой. для которого существует (сюръективный) гомоморфизм из H _K на G . Ядро этого K -гомоморфизма спускается по унипотентному радикалу геометрического слоя H и не определено над k (т. е. не возникает из замкнутой схемы подгрупп H ), поэтому R _{K / k} ( G ) псевдоредуктивен. но не редукционный. Предыдущий пример представляет собой частный случай использования мультипликативной группы и расширения K = k [ √ a ].

Классификация и экзотические явления

Над полями характеристики больше 3 все псевдоредуктивные группы могут быть получены из редуктивных групп с помощью «стандартной конструкции», являющейся обобщением конструкции, приведенной выше. Стандартная конструкция предполагает вспомогательный выбор коммутативной псевдоредуктивной группы, которая оказывается подгруппой Картана на выходе конструкции, а основная сложность для общей псевдоредуктивной группы состоит в том, что структура подгрупп Картана (которая всегда коммутативны и псевдоредуктивны) загадочна. Коммутативные псевдоредуктивные группы не допускают полезной классификации (в отличие от связного редуктивного случая, для которого они являются торами и, следовательно, доступны через решетки Галуа), но по модулю этот класс дает полезное описание ситуации вдали от характеристик 2 и 3. в терминах редуктивных групп над некоторыми конечными (возможно, неразделимыми) расширениями основного поля.

Над несовершенными полями характеристик 2 и 3 существуют дополнительные псевдоредуктивные группы (называемые экзотическими), возникающие из-за существования исключительных изогений между группами типов B и C в характеристике 2, между группами типа F ₄ в характеристике 2 и между группы типа G2 _в характеристике 3, используя конструкцию, аналогичную конструкции групп Ри . Более того, в характеристике 2 имеются дополнительные возможности, вытекающие не из исключительных изогений, а из того, что для односвязного типа С (т. е. симплектических групп) существуют корни, делящиеся (на 2) в решетке весов; это приводит к примерам, корневая система которых (над сепарабельным замыканием основного поля) нередуцирована; такие примеры существуют с расщепляемым максимальным тором и неприводимой неприводимой системой корней любого положительного ранга над каждым несовершенным полем характеристики 2. Классификация в характеристике 3 столь же полна, как и в более крупных характеристиках, но в характеристике 2 классификация наиболее полна. когда [k:k^2]=2 (из-за сложностей, вызванных примерами с нередуцированной корневой системой, а также явлений, связанных с некоторыми правильными вырожденными квадратичными формами, которые могут существовать только при [k:k^2]>2 ). Последующая работа Conrad & Prasad (2016) , основанная на дополнительном материале, включенном во второе издание Conrad, Gabber & Prasad (2015) , завершает классификацию по признаку 2 до контролируемого центрального расширения, предоставляя исчерпывающий набор дополнительных конструкций, которые только существуют, когда [k:k^2]>2 , в конечном итоге опираясь на понятие специальной ортогональной группы, прикрепленной к регулярным, но вырожденным и не полностью дефектным квадратичным пространствам в характеристике 2.

Ссылки

• Конрад, Брайан; Габбер, Офер; Прасад, Гопал (2010), Псевдоредуктивные группы , Новые математические монографии, том. 17 (1-е изд.), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511661143 , ISBN  978-0-521-19560-7 , МР   2723571
• Конрад, Брайан; Габбер, Офер; Прасад, Гопал (2015), Псевдоредуктивные группы , Новые математические монографии, том. 26 (2-е изд.), Cambridge University Press , номер документа : 10.1017/CBO9781316092439 , ISBN.  978-1-107-08723-1 , МР   3362817
• Конрад, Брайан; Прасад, Гопал (2016), Классификация псевдоредуктивных групп. , Анналы математических исследований, вып. 191, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-16793-0 , JSTOR   j.ctt18z4hnr , MR   3379926
• Реми, Бертран (2011), «Псевдоредуктивные алгебраические группы и приложения (по Дж. Титсу и Б. Конраду — О. Габберу — Г. Прасаду)» (PDF) , Asterisk (339): 259–304, ISBN  978-2-85629-326-3 , ISSN   0303-1179 , МР   2906357
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4021-7 , МР   1642713