Гиперболическая группа

В теории групп , точнее в геометрической теории групп , гиперболическая группа , также известная как словесная гиперболическая группа или гиперболическая группа Громова , представляет собой конечно порожденную группу, снабженную словесной метрикой, удовлетворяющей определенным свойствам, абстрагированным от классической гиперболической геометрии . Понятие гиперболической группы было введено и развито Михаилом Громовым ( 1987 ). Источником вдохновения послужили различные существующие математические теории: гиперболическая геометрия, а также низкомерная топология (в частности, результаты Макса Дена, касающиеся фундаментальной группы гиперболической римановой поверхности и более сложных явлений в трехмерной топологии ) и комбинаторная теория групп. . В очень влиятельном (более 1000 цитирований) ) глава от 1987 года, Громов предложил широкую исследовательскую программу. Идеи и основополагающий материал теории гиперболических групп также происходят из работ Джорджа Мостоу , Уильяма Терстона , Джеймса У. Кэннона , Элиягу Рипса и многих других.

Определение

Позволять $G$ быть конечно порожденной группой и $X$ — его граф Кэли относительно некоторого конечного множества $S$ генераторов. Набор $X$ наделен своей метрикой графа (в которой ребра имеют длину один, а расстояние между двумя вершинами — это минимальное количество ребер на пути, соединяющем их), что превращает его в пространство длины . Группа $G$ тогда называется гиперболическим, если $X$ является гиперболическим пространством по Громову. Короче говоря, это означает, что существует $\delta >0$ такая, что любой геодезический треугольник в $X$ является $\delta$-тонкое, как показано на рисунке справа (тогда говорят, что пространство $\delta$-гиперболический).

$x$

$y$

$z$

$B_{\delta }([x,y])$

$B_{\delta }([z,x])$

$B_{\delta }([y,z])$

Условие δ-тонкого треугольника

Априори это определение зависит от выбора конечного порождающего множества $S$. То, что это не так, следует из двух следующих фактов:

• графы Кэли, соответствующие двум конечным порождающим множествам, всегда квазиизометричны друг другу;
• любое геодезическое пространство, квазиизометричное геодезическому громовско-гиперболическому пространству, само является громовско-гиперболическим.

Таким образом, мы можем с полным основанием говорить о конечно порожденной группе. $G$ быть гиперболическим без ссылки на генераторный набор. С другой стороны, пространство, квазиизометричное $\delta$-гиперболическое пространство есть само по себе $\delta '$- гиперболично для некоторых $\delta '>0$ но последнее зависит как от оригинала $\delta$ а о квазиизометрии, поэтому говорить о $G$ существование $\delta$-гиперболический.

Примечания

Лемма Шварца –Милнора. утверждает, что если группа $G$ действует правильно разрывно и с компактным фактором (такое действие часто называют геометрическим ) на пространстве собственной длины $Y$, то он конечно порожден, и любой граф Кэли для $G$ квазиизометрично $Y$. Таким образом, группа является (конечно порожденной и) гиперболической тогда и только тогда, когда она имеет геометрическое действие в собственном гиперболическом пространстве.

Если $G'\subset G$ — подгруппа с конечным индексом (т. е. множество $G/G'$ конечно), то включение индуцирует квазиизометрию на вершинах любого локально конечного графа Кэли $G'$ в любой локально конечный граф Кэли $G$. Таким образом $G'$ является гиперболическим тогда и только тогда, когда $G$ сам есть. В более общем смысле, если две группы соизмеримы , то одна гиперболична тогда и только тогда, когда другая соизмерима.

Примеры

Элементарные гиперболические группы

Простейшими примерами гиперболических групп являются конечные группы (графы Кэли которых имеют конечный диаметр, следовательно, $\delta$-гиперболический с $\delta$ равен этому диаметру).

Другой простой пример даёт бесконечная циклическая группа. $\mathbb {Z}$: график Кэли $\mathbb {Z}$ относительно генераторной установки $\{\pm 1\}$ является линией, поэтому все треугольники являются отрезками прямых, а график представляет собой $0$-гиперболический. Отсюда следует, что любая группа, которая является практически циклической (содержит копию $\mathbb {Z}$ конечного индекса) также гиперболична, например бесконечная группа диэдра .

Членов этого класса групп часто называют элементарными гиперболическими группами (терминология заимствована из терминологии действий на гиперболической плоскости).

Свободные группы и группы, действующие на деревьях.

Позволять $S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ быть конечным множеством и $F$ быть свободной группой с генераторной установкой $S$. Тогда граф Кэли $F$ относительно $S$ является локально конечным деревом и, следовательно, 0-гиперболическим пространством. Таким образом $F$ является гиперболической группой.

В более общем плане мы видим, что любая группа $G$ которое действует собственно разрывно на локально конечном дереве (в данном контексте это означает именно то, что стабилизаторы в $G$ вершин конечно) является гиперболическим. Действительно, это следует из того, что $G$ имеет инвариантное поддерево, на котором оно действует с компактным фактором, и лемму Сварца — Милнора. Такие группы на самом деле практически свободны (т. е. содержат конечно порожденную свободную подгруппу конечного индекса), что дает еще одно доказательство их гиперболичности.

Интересным примером является модульная группа. $G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$: он действует на дереве, заданном 1-скелетом соответствующей мозаики гиперболической плоскости , и имеет конечную подгруппу без индекса (на двух образующих) индекса 6 (например, набор матриц в $G$ которые сводятся к тождеству по модулю 2, является такой группой). Обратите внимание на интересную особенность этого примера: он действует собственно разрывно на гиперболическом пространстве ( гиперболической плоскости ), но действие не кокомпактно (и действительно $G$ не . квазиизометрична гиперболической плоскости)

Фуксовы группы

Основная статья: Фуксова группа

Обобщая пример модулярной группы, фуксова группа — это группа, допускающая собственно разрывное действие на гиперболической плоскости (т. е. дискретная подгруппа группы $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$). Гиперболическая плоскость – это $\delta$-гиперболическое пространство и, следовательно, лемма Сварца-Милнора говорит нам, что кокомпактные фуксовы группы гиперболичны.

Примерами таковых являются фундаментальные группы отрицательной замкнутых поверхностей эйлеровой характеристики . Действительно, эти поверхности могут быть получены как факторы гиперболической плоскости, как это следует из теоремы Пуанкаре-Кебе об униформизации .

Другое семейство примеров кокомпактных фуксовых групп представляют собой группы треугольников : все, кроме конечного числа, гиперболичны.

Отрицательная кривизна

Обобщая пример замкнутых поверхностей, фундаментальные группы компактных римановых многообразий строго отрицательной секционной кривизны являются гиперболическими. Например, кокомпактные решетки в ортогональной или унитарной группе, сохраняющие форму сигнатуры $(n,1)$ являются гиперболическими.

Дальнейшее обобщение дается группами, допускающими геометрическое действие в пространстве CAT(k) , когда $k$ любое отрицательное число. Существуют примеры, несоизмеримые ни с одной из предыдущих конструкций (например, группы, действующие геометрически на гиперболические здания ).

Небольшие группы отмены

Основная статья: Теория малого сокращения

Группы, имеющие представления, удовлетворяющие условиям малого сокращения, являются гиперболическими. Это дает источник примеров, не имеющих геометрического происхождения, как приведенные выше. Фактически, одной из причин первоначального развития гиперболических групп было желание дать более геометрическую интерпретацию малого сокращения.

Случайные группы

Основная статья: Случайная группа

В некотором смысле «большинство» конечно определенных групп с большими определяющими отношениями являются гиперболическими. Количественное объяснение того, что это означает, см. в разделе « Случайная группа» .

Непримеры

• Простейшим примером негиперболической группы является свободная абелева группа ранга 2. $\mathbb {Z} ^{2}$. Действительно, он квазиизометричен евклидовой плоскости , которая, как легко видеть, не является гиперболической (например, из-за существования гомотетий ).
• В более общем смысле, любая группа, содержащая $\mathbb {Z} ^{2}$ как подгруппа не является гиперболической. В частности, решетки более высокого ранга в полупростых группах Ли и фундаментальных группах $\pi _{1}(S^{3}\setminus K)$ нетривиальных дополнений к узлам попадают в эту категорию и поэтому не являются гиперболическими. То же самое относится и к группам классов отображений замкнутых гиперболических поверхностей.
• Группы Баумслага –Солитара B ( m , n ) и любая группа, содержащая подгруппу, изоморфную некоторой B ( m , n ), не могут быть гиперболическими (поскольку B (1,1) = $\mathbb {Z} ^{2}$, это обобщает предыдущий пример).
• Неоднородная решетка в простой группе Ли ранга 1 является гиперболической тогда и только тогда, когда группа изогенна группе Ли. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ (эквивалентно связанное симметрическое пространство - это гиперболическая плоскость). Примером этого являются гиперболические группы узлов . Другой — группы Бьянки , например. $\mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})$.

Характеристики

Алгебраические свойства

• Гиперболические группы удовлетворяют альтернативе Титса : они либо виртуально разрешимы (этой возможности удовлетворяют только элементарные гиперболические группы), либо имеют подгруппу, изоморфную неабелевой свободной группе.
• Неэлементарные гиперболические группы не являются простыми в очень сильном смысле: если $G$ неэлементарно гиперболична, то существует бесконечная подгруппа $H\triangleleft G$ такой, что $H$ и $G/H$ оба бесконечны.
• Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, которая не является аппроксимируемо конечной .

Геометрические свойства

• Неэлементарные (бесконечные и не виртуально циклические) гиперболические группы всегда имеют экспоненциальную скорость роста (это следствие альтернативы Титса).
• Гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству .

Гомологические свойства

• Гиперболические группы всегда конечно представимы . Фактически можно явно построить комплекс ( комплекс Рипса ), который является стягиваемым и на котором группа действует геометрически. поэтому он имеет тип F _∞ . Когда группа не имеет кручения, действие свободно, что показывает, что группа имеет конечную когомологическую размерность .
• В 2002 году И. Минеев показал, что гиперболические группы - это именно те конечно порожденные группы, для которых отображение сравнения между ограниченными когомологиями и обычными когомологиями сюръективно во всех степенях или, что то же самое, в степени 2.

Алгоритмические свойства

• Гиперболические группы имеют разрешимую проблему слов . Они бывают биавтоматическими и автоматическими . Действительно, они сильно геодезически автоматические , то есть в группе существует автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слов, представляет собой набор всех геодезических слов.
• В 2010 году было показано, что гиперболические группы имеют разрешимую проблему отмеченного изоморфизма. Примечательно, что это означает, что проблема изоморфизма, проблемы орбит (в частности, проблема сопряжения) и проблема Уайтхеда разрешимы.
• Кэннон и Свенсон показали, что гиперболические группы с двумерной сферой на бесконечности имеют естественное правило подразделения . Это связано с гипотезой Кэннона .

Обобщения

Относительно гиперболические группы

Основная статья: Относительно гиперболическая группа

Относительно гиперболические группы — это класс, обобщающий гиперболические группы. Очень грубо $G$ является гиперболическим относительно коллекции ${\mathcal {G}}$ подгрупп, если она допускает ( не обязательно кокомпактное ) собственно разрывное действие на собственном гиперболическом пространстве. $X$ что «хорошо» на границе $X$ и такие, что стабилизаторы в $G$ точек на границе являются подгруппами в ${\mathcal {G}}$. Это интересно, когда оба $X$ и действие $G$ на $X$ не являются элементарными (в частности $X$ бесконечна: например, каждая группа гиперболична относительно самой себя через свое действие в одной точке!).

Интересные примеры этого класса включают, в частности, неравномерные решетки в полупростых группах Ли ранга 1 , например фундаментальные группы некомпактных гиперболических многообразий конечного объема. Непримерами являются решетки в группах Ли более высокого ранга и группы классов отображений.

Ацилиндрически гиперболические группы

Еще более общее понятие — ацилиндически гиперболическая группа. Ацилиндричность действия группы $G$ в метрическом пространстве $X$ происходит ослабление собственной прерывистости действия.

Группа называется цилиндрически гиперболической, если она допускает неэлементарное цилиндрическое действие на ( не обязательно собственном ) громовско-гиперболическом пространстве. Это понятие включает в себя отображение групп классов через их действия на комплексы кривых . Решетки в группах Ли более высокого ранга (пока!) не являются цилиндрически гиперболическими.

CAT(0) группы

В другом направлении можно ослабить предположение о кривизне в приведенных выше примерах: группа CAT(0) — это группа, допускающая геометрическое действие в пространстве CAT(0) . Сюда входят евклидовы кристаллографические группы и однородные решетки в группах Ли более высокого ранга.

Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не являющаяся CAT(0).

Ссылки

• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Фундаментальные основы математических наук. Том 319. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN  3-540-64324-9 . МР   1744486 .

• Боудич, Брайан (2006). Курс геометрической теории групп (PDF) . Мемуары МСЖ. Том. 16. Токио: Математическое общество Японии . дои : 10.1142/e003 . ISBN  4-931469-35-3 . МР   2243589 .

• Боудич, Брайан (2012). «Относительно гиперболические группы» (PDF) . Международный журнал алгебры и вычислений . 22 (3): 1250016, 66 стр. doi : 10.1142/S0218196712500166 . МР   2922380 . S2CID   261118194 .

• Кэннон, Джеймс В .; Свенсон, Эрик Л. (1998). «Распознавание дискретных групп постоянной кривизны в размерности 3» . Труды Американского математического общества . 350 (2): 809–849. дои : 10.1090/S0002-9947-98-02107-2 . МР   1458317 .
• Чарни, Рут (1992). «Группы Артина конечного типа биавтоматичны». Математические Аннален . 292 (4): 671–683. дои : 10.1007/BF01444642 . МР   1157320 . S2CID   120654588 .
• Дамани, Франсуа; Гирардель, Винсент (2011). «Проблема изоморфизма для всех гиперболических групп». Геометрический и функциональный анализ . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . дои : 10.1007/s00039-011-0120-0 . S2CID   115165062 .
• Гиз, Стивен ; Арфы, Пьер, ред. (1990). О гиперболических группах теории Михаила Громова в . Прогресс в математике (на французском языке). Том. 83. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. дои : 10.1007/978-1-4684-9167-8 . ISBN  0-8176-3508-4 . МР   1086648 .
• Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки по теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 8. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 75–263. дои : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 . ISBN  0-387-96618-8 . МР   0919829 .
• Минеев, Игорь (2002). «Ограниченные когомологии характеризуют гиперболические группы». Ежеквартальный математический журнал . 53 (1): 59–73. дои : 10.1093/qjmath/53.1.59 . МР   1887670 .
• Осин, Денис (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . дои : 10.1090/tran/6343 . МР   3430352 . S2CID   21624534 .

Дальнейшее чтение

• Курнарт, Мишель; Дельзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). группы теория групп: Гиперболические Геометрия и Громова . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 1441. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/BFb0084913 . ISBN  3-540-52977-2 . МР   1075994 .
• Курнарт, Мишель; Пападопулос, Атанас (1993). Символическая динамика и гиперболические группы . Конспект лекций по математике. Том. 1539. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/BFb0092577 . ISBN  3-540-56499-3 . МР   1222644 .
• «Гиперболическое пространство Громова» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]