Стандартная мономиальная теория

В алгебраической геометрии стандартная мономиальная теория описывает сечения линейного расслоения над обобщенным многообразием флагов или многообразием Шуберта редуктивной алгебраической группы, давая явный базис элементов, называемых стандартными мономами . Многие результаты были распространены на алгебры Каца–Муди и их группы.

Существуют монографии по стандартной мономиальной теории Лакшмибая и Рагхавана (2008) и Сешадри (2007) , а также обзорные статьи В. Лакшмибая, К. Мусили и К.С. Сешадри ( 1979 ), а также В. Лакшмибая и К.С. Сешадри ( 1991 ).

Одной из важных открытых проблем является создание полностью геометрической конструкции теории.

История

Альфред Янг ( 1928 ) ввел мономы, связанные со стандартными таблицами Янга . Ходж ( 1943 ) (см. также ( Hodge & Pedoe 1994 , стр.378)) использовал мономы Янга, которые он назвал стандартными степенными произведениями, названными в честь стандартных таблиц, чтобы дать основу для однородных координатных колец комплексных грассманианов . Сешадри ( 1978 ) инициировал программу, названную стандартной мономиальной теорией , для распространения работы Ходжа на многообразия G / P , для P любой параболической подгруппы любой редуктивной алгебраической группы в любой характеристике, путем предоставления явных базисов с использованием стандартных мономов для сечений линейных расслоений над эти сорта. Случай грассманианов, изученный Ходжем, соответствует случаю, когда G — специальная линейная группа характеристики 0, а P — максимальная параболическая подгруппа. Вскоре к этим усилиям к Сешадри присоединились В. Лакшмибай и Читикила Мусили . Они разработали стандартную мономиальную теорию сначала для крохотных представлений группы G , а затем для групп G классического типа и сформулировали несколько гипотез, описывающих ее для более общих случаев. Литтельманн ( 1998 ) доказал свои гипотезы, используя модель путей Литтельмана , в частности дав единообразное описание стандартных мономов для всех редуктивных групп.

Лакшмибай (2003) , Мусили (2003) и Сешадри (2012) дают подробное описание раннего развития стандартной мономиальной теории.

Приложения

• Поскольку сечения линейных расслоений над обобщенными многообразиями флагов имеют тенденцию образовывать неприводимые представления соответствующих алгебраических групп, наличие явного базиса стандартных мономов позволяет дать формулы характеров для этих представлений. Аналогичным образом получаются формулы символов для модулей Demazure . Явные базисы, заданные стандартной мономиальной теорией, тесно связаны с кристаллическими базисами и путевыми моделями представлений Литтельмана.
• Стандартная мономиальная теория позволяет описывать особенности многообразий Шуберта и, в частности, иногда доказывает, что многообразия Шуберта нормальны или Коэна–Маколея .
• Стандартную мономиальную теорию можно использовать для доказательства гипотезы Демазюра .
• Стандартная мономиальная теория доказывает теорему об исчезновении Кемпфа и другие теоремы об исчезновении для высших когомологий эффективных линейных расслоений над многообразиями Шуберта.
• Стандартная мономиальная теория дает явные основания для некоторых колец инвариантов в теории инвариантов .
• Стандартная мономиальная теория дает обобщение правила Литтлвуда-Ричардсона о разложении тензорных произведений представлений на все редуктивные алгебраические группы.
• Стандартную мономиальную теорию можно использовать для доказательства существования хороших фильтраций на некоторых представлениях редуктивных алгебраических групп с положительной характеристикой.

Ссылки

• Ходж, WVD (1943), «Некоторые перечислительные результаты по теории форм», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 39 (1): 22–30, Бибкод : 1943PCPS...39...22H , doi : 10.1017/S0305004100017631 , MR   0007739
• Ходж, Западная Вирджиния ; Педо, Дэниел (1994) [1952], Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрикки и многообразия Грассмана. , Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-46901-2 , МР   0048065
• Лакшмибай, В.; Мусили, К.; Сешадри, CS (1979), «Геометрия G/P», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 1 (2): 432–435, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14631-7 , ISSN   0002 -9904 , МР   0520081
• Лакшмибай, Венкатрамани; Рагхаван, Комаранапурам Н. (2008), Стандартная мономиальная теория , Энциклопедия математических наук, том. 137, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-540-76757-2 , ISBN.  978-3-540-76756-5 , МР   2388163
• Лакшмибай, В.; Сешадри, К.С. (1991), «Стандартная мономиальная теория» , в Раманане, С.; Мусили, К.; Кумар, Н. Мохан (ред.), Труды Хайдарабадской конференции по алгебраическим группам (Хайдарабад, 1989) , Мадрас: Манодж Пракашан, стр. 279–322, MR   1131317
• Лакшмибай, В. (2003), «Развитие стандартной мономиальной теории. II» , Дань уважения К.С. Сешадри (Ченнаи, 2002) , Trends Math., Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 283–309, ISBN  978-3-7643-0444-7 , МР   2017589
• Литтельманн, Питер (1998), «Модель путей, квантовое отображение Фробениуса и стандартная мономиальная теория» (PDF) , в Картере, Роджере В .; Саксл, Ян (ред.), Алгебраические группы и их представления (Кембридж, 1997) , Серия C Институтов перспективных наук НАТО: Математические и физические науки, том. 517, Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer, стр. 175–212, ISBN.  9780792352921 , МР   1670770
• Литтельманн, Питер (1998), «Сжимающиеся модули и стандартная мономиальная теория для симметризуемых алгебр Каца-Муди», Журнал Американского математического общества , 11 (3): 551–567, doi : 10.1090/S0894-0347-98-00268- 9 , ISSN   0894-0347 , МР   1603862
• Мусили, К. (2003), «Развитие стандартной мономиальной теории. I» , Дань уважения К.С. Сешадри (Ченнаи, 2002) , Trends Math., Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 385–420, ISBN  978-3-7643-0444-7 , МР   2017594
• Сешадри, К.С. (1978), «Геометрия теории G/PI стандартных мономов для крохотных представлений», в Раманатане, К.Г. (редактор), К.П. Рамануджам - дань уважения , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 207–239, ISBN.  978-3-540-08770-0 , МР   0541023
• Сешадри, К.С. (2007), Введение в теорию стандартных мономов , Тексты и материалы для чтения по математике, том. 46, Нью-Дели: Книжное агентство Индостан, ISBN  9788185931784 , МР   2347272
• Сешадри, К.С. (2012), «Стандартная мономиальная теория — исторический отчет» , Сборник статей К.С. Сешадри. Том 2. Геометрия Шуберта и теория представлений. , Нью-Дели: Книжное агентство Индостан, стр. 3–50, ISBN.  9789380250175 , МР   2905898
• Янг, Альфред (1928), «О количественном анализе замещения» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 28 (1): 255–292, doi : 10.1112/plms/s2-28.1.255