Уравнение Бельтрами

Не путать с уравнением Лапласа – Бельтрами .

В математике уравнение Бельтрами , названное в честь Эухенио Бельтрами , представляет собой уравнение в частных производных.

${\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}.$

для w — комплексное распределение комплексной переменной z в некотором открытом множестве U с производными, которые локально L ² , и где µ — заданная комплексная функция из L ^∞ ( U ) нормы меньше 1, называемой коэффициентом Бельтрами , и где $\partial /\partial z$ и $\partial /\partial {\overline {z}}$ являются производными Виртингера . Классически это дифференциальное уравнение использовалось Гауссом для доказательства существования локально изотермических координат на поверхности с аналитической римановой метрикой . Для решения уравнения были разработаны различные методы. Самый мощный из них, разработанный в 1950-х годах, обеспечивает глобальные решения уравнения на C и опирается на L. ^п теория преобразования Берлинга , сингулярного интегрального оператора, определенного на L ^п ( C ) для всех 1 < p < ∞. Тот же метод одинаково хорошо применим к единичному кругу и верхней полуплоскости и играет фундаментальную роль в теории Тейхмюллера и теории квазиконформных отображений . различные теоремы униформизации С помощью этого уравнения можно доказать , включая теорему об измеримом отображении Римана и теорему одновременной униформизации . Существование конформных сварных швов также можно вывести с помощью уравнения Бельтрами. Одним из простейших приложений является теорема Римана об отображении односвязных ограниченных открытых областей на комплексной плоскости. Когда область имеет гладкую границу, эллиптическую регулярность уравнения можно использовать, чтобы показать, что униформизирующее отображение единичного круга в область расширяется до C ^∞ функция от закрытого диска до закрытия домена.

Метрики в плоских областях

Рассмотрим двумерное риманово многообразие , скажем, с системой координат ( x , y ) на нем. Кривые постоянной x на этой поверхности обычно не пересекают кривые постоянной y ортогонально. Новая система координат ( u , v ) называется изотермической , когда кривые константы u пересекают кривые константы v ортогонально и, кроме того, расстояние между параметрами одинаково — то есть для достаточно малого h небольшая область с $a\leq u\leq a+h$ и $b\leq v\leq b+h$ почти квадратный, а не просто почти прямоугольный. Уравнение Бельтрами — это уравнение, которое необходимо решить, чтобы построить изотермические системы координат.

Чтобы увидеть, как это работает, пусть S — открытое множество в C и пусть

$\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}$

— гладкая метрика g на S . Первая фундаментальная g форма

$\displaystyle g(x,y)={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}$

— положительная вещественная матрица ( E > 0, G > 0, EG − F ² > 0), которое плавно меняется в зависимости от x и y .

Коэффициент Бельтрами метрики g определяется как

$\displaystyle \mu (x,y)={E-G+2iF \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}$

Этот коэффициент имеет модуль строго меньше единицы, поскольку тождество

$\displaystyle (E-G+2iF)(E-G-2iF)=(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})(E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}})$

подразумевает, что

$\displaystyle |\mu |^{2}={E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}} \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}<1.$

Пусть f ( x , y ) = ( u ( x , y ), v ( x , y )) — гладкий диффеоморфизм S на другое открытое множество T в C . Карта f сохраняет ориентацию только тогда, когда ее якобиан положителен:

$\displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}>0.$

И используя f , чтобы вернуть к S стандартную евклидову метрику ds ² = от ² + дв ² на T индуцирует метрику на S, заданную формулой

$\displaystyle ds^{2}=du^{2}+dv^{2}=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})\,dx^{2}+2(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})\,dx\,dy+(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})\,dy^{2},$

метрика, первая фундаментальная форма которой есть

$\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{x}^{2}+v_{x}^{2}&u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}\\u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}&u_{y}^{2}+v_{y}^{2}\end{pmatrix}}.$

Когда f одновременно сохраняет ориентацию и порождает метрику, которая отличается от исходной метрики g только положительным плавно меняющимся масштабным коэффициентом r ( x , y ), новые координаты u и v, определенные на S посредством f, называются изотермическими координатами .

Чтобы определить, когда это произойдет, мы переинтерпретируем f как комплексную функцию комплексной переменной f ( x +i y ) = u ( x +i y ) + i v ( x +i y ), чтобы мы могли применить метод Виртингера производные :

$\displaystyle \partial _{z}={1 \over 2}(\partial _{x}-i\partial _{y}),\,\,\partial _{\overline {z}}={1 \over 2}(\partial _{x}+i\partial _{y});\,\,\,\,dz=dx+i\,dy,\,\,d{\overline {z}}=dx-i\,dy.$

С

$\displaystyle f_{z}=((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}))/2$

$\displaystyle f_{\overline {z}}=((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y}))/2,$

метрика, индуцированная f, имеет вид

$\displaystyle ds^{2}=|f_{z}\,dz+f_{\overline {z}}d{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}\,\left|dz+{f_{\overline {z}} \over f_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2}.$

Фактор Бельтрами этой индуцированной метрики определяется как $f_{\overline {z}}/f_{z}$.

Коэффициент Бельтрами $f_{\overline {z}}/f_{z}$ из $f$ равен коэффициенту Бельтрами $\mu (z)$ исходной метрики g именно тогда, когда

$\displaystyle ((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y})){\bigl (}E-G+2iF{\bigr )}$

$=((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y})){\bigl (}E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}{\bigr )}.$

Действительная и мнимая части этого тождества линейно связаны между собой. $u_{x},$ $u_{y},$ $v_{x},$ и $v_{y},$ и решение для $u_{y}$ и $v_{y}$ дает

$\displaystyle u_{y}={\frac {Fu_{x}-{\sqrt {EG-F^{2}}}\,v_{x}}{E}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\frac {{\sqrt {EG-F^{2}}}\,u_{x}+Fv_{x}}{E}}.$

Отсюда следует, что метрика, индуцированная f , равна r ( x , y ) g ( x , y ), где $r=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})/E,$ который положителен, тогда как якобиан f равен $r{\sqrt {EG-F^{2}}},$ что тоже положительно. Итак, когда $f_{\overline {z}}/f_{z}=\mu (z),$ новая система координат, заданная f, является изотермической.

И наоборот, рассмотрим диффеоморфизм f , который дает нам изотермические координаты. Тогда у нас есть

$\displaystyle \mu (z)={\frac {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})-(u_{y}+v_{y})^{2}+2i(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})}{(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})+(u_{y}^{2}+v_{y})^{2}+2{\sqrt {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})-(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})^{2}}}}},$

где масштабный коэффициент r ( x , y ) выпал, а выражение внутри квадратного корня представляет собой идеальный квадрат $u_{x}^{2}v_{y}^{2}-2u_{x}v_{x}u_{y}v_{y}+v_{x}^{2}u_{y}^{2}.$ Поскольку f должен сохранять ориентацию, чтобы дать изотермические координаты, якобиан $u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}$ – положительный квадратный корень; так что у нас есть

$\displaystyle \mu (z)={\frac {{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})+i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})-i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}}{{\bigl (}(u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+v_{y})-i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}}}.$

Правые множители в числителе и знаменателе равны, и, поскольку якобиан положителен, их общее значение не может быть равно нулю; так $\mu (z)=f_{\overline {z}}/f_{z}.$

Таким образом, локальная система координат, заданная диффеоморфизмом f, является изотермической именно тогда, когда f решает уравнение Бельтрами для $\mu (z).$

Изотермические координаты для аналитических метрик

Гаусс доказал существование изотермических координат локально в аналитическом случае, сведя уравнение Бельтрами к обыкновенному дифференциальному уравнению в комплексной области. Вот презентация техники Гаусса в кулинарной книге.

Изотермическая система координат, скажем, в окрестности начала координат ( x , y ) = (0, 0 ), задается действительной и мнимой частями комплексной функции f ( x , y ), которая удовлетворяет условию

$\displaystyle {f_{\overline {z}} \over f_{z}}=\mu (z)={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}.$

Позволять $f$ будет такой функцией, и пусть $\psi$ — комплексная функция комплексной переменной, голоморфная и производная которой нигде не равна нулю. Поскольку любая голоморфная функция $\psi$ имеет $\psi _{\overline {z}}$ тождественно ноль, имеем

${\begin{aligned}{\frac {(\psi \circ f)_{\overline {z}}}{(\psi \circ f)_{z}}}&={\frac {(\psi _{z}\circ f)f_{\overline {z}}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{\overline {z}}}}}{(\psi _{z}\circ f)f_{z}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{z}}}}}={\frac {f_{\overline {z}}}{f_{z}}}=\mu (z).\end{aligned}}$

Таким образом, система координат, заданная действительной и мнимой частями $\psi \circ f$ также является изотермическим. Действительно, если мы исправим $f$ чтобы дать одну изотермическую систему координат, тогда все возможные изотермические системы координат задаются формулой $\psi \circ f$ для различных голоморфных $\psi$ с ненулевой производной.

Когда E , F и G вещественно-аналитические, Гаусс построил особую изотермическую систему координат. $h(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),$ тот, который он выбрал, был тот, у которого $h(x,0)=x$ для всех х . Таким образом, ось u его изотермической системы координат совпадает с осью x исходных координат и параметризуется таким же образом. Тогда все остальные изотермические системы координат будут иметь вид $\psi \circ h$ для голоморфного $\psi$ с ненулевой производной.

Гаусс позволяет q ( t ) быть некоторой комплексной функцией действительной переменной t , которая удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

$\displaystyle q'(t)={\frac {-F-i{\sqrt {EG-F^{2}}}}{E}}(q(t),t),$

где E , F и G здесь оцениваются при y = t и x = q ( t ). Если мы укажем значение q ( s ) для некоторого начального значения s , это дифференциальное уравнение определит значения q ( t ) для t либо меньшее, либо большее, чем s . Затем Гаусс определяет свою изотермическую систему координат h, устанавливая h ( x , y ) как $q(0)$ вдоль пути решения этого дифференциального уравнения, который проходит через точку ( x , y ) и, таким образом, имеет q ( y ) = x .

Это правило устанавливает h ( x , 0) равным $x$, поскольку начальным условием является q (0)= x . В более общем смысле, предположим, что мы перемещаемся на бесконечно малый вектор ( dx , dy ) от некоторой точки ( x , y ), где dx и dy удовлетворяют условиям

$\displaystyle E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy=0.$

С $q'(t)=dx/dy$, вектор ( dx , dy ) тогда касается кривой решения дифференциального уравнения, которая проходит через точку ( x , y ). Поскольку мы предполагаем, что метрика аналитическая, отсюда следует, что

$\displaystyle dh=c(x,y){\bigl (}E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy{\bigr )}$

для некоторой гладкой комплекснозначной функции $c(x,y)=a(x,y)+ib(x,y).$ Таким образом, мы имеем

$\displaystyle h_{z}=((aE+bF+a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE-aF+b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2$

$\displaystyle h_{\overline {z}}=((aE-bF-a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE+aF-b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2.$

Формируем частное $h_{\overline {z}}/h_{z}$ а затем умножьте числитель и знаменатель на ${\overline {h_{z}}}$, что является комплексно-сопряженным знаменателем. Упрощая результат, находим, что

$\displaystyle {h_{\overline {z}} \over h_{z}}={\frac {(a^{2}+b^{2})E\;(E-G+2iF)}{(a^{2}+b^{2})E\;(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})}}={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}=\mu (z).$

Таким образом, функция Гаусса h дает желаемые изотермические координаты.

Решение в L ² для гладких коэффициентов Бельтрами

В простейших случаях уравнение Бельтрами можно решить, используя только методы гильбертового пространства и преобразование Фурье. Метод доказательства является прототипом общего решения с использованием L ^п пространствах, хотя Адриен Дуади указал метод обработки общего случая с использованием только гильбертовых пространств: этот метод опирается на классическую теорию квазиконформных отображений для установления оценок Гёльдера, которые автоматически выполняются в L ^п теория для p > 2. Пусть T — на преобразование Берлинга L ² ( C ) определенный на преобразовании Фурье L ² функция f как оператор умножения:

$\displaystyle {\widehat {Tf}}(z)={{\overline {z}} \over z}{\widehat {f}}(z).$

Это унитарный оператор, и если f — умеренное распределение на C с частными производными в л ² затем

$\displaystyle T(f_{\overline {z}})=f_{z},$

где нижние индексы обозначают комплексные частные производные.

Фундаментальное решение оператора

$D=\partial _{\overline {z}}$

определяется распределением

$\displaystyle {E(z)={1 \over \pi z},}$

локально интегрируемая функция на C . Таким образом, на функциях Шварца f

$\displaystyle {\partial _{\overline {z}}(E\star f)=f.}$

То же самое справедливо и для распределений компактного носителя на C . В частности, если f является L ² функция с компактным носителем, то ее преобразование Коши , определяемое как

$\displaystyle {Cf=E\star f,}$

локально квадратично интегрируемо. Приведенное выше уравнение можно записать

$\displaystyle {(Cf)_{\overline {z}}=f.}$

Более того, по-прежнему считая f и Cf распределениями,

$\displaystyle (Cf)_{z}=Tf.$

Действительно, оператор D задается в преобразованиях Фурье как умножение на iz /2, а оператор С как умножение на его обратный.

Теперь в уравнении Бельтрами

$\displaystyle f_{\overline {z}}=\mu f_{z},$

где µ — гладкая функция с компактным носителем, положим

$\displaystyle g(z)=f(z)-z$

и предположим, что первые производные g равны L ² . Пусть h = g _z = f _z – 1. Тогда

$\displaystyle h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu$

Если A и B — операторы, определенные формулами

$\displaystyle {AF=T\mu F,\,\,\,\,BF=\mu TF}$

то их операторные нормы строго меньше 1 и

$\displaystyle {(I-A)h=T\mu .}$

Следовательно

$\displaystyle {h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{*}h=(I-B)^{-1}\mu }$

где правые части можно разложить в ряд Неймана . Отсюда следует, что

$\displaystyle {g_{\overline {z}}=T^{*}h,}$

имеет тот же носитель, что и µ и g . Следовательно, f определяется выражением

$\displaystyle {f(z)=CT^{*}h(z)+z.}$

эллиптическую регулярность Теперь можно использовать , чтобы сделать вывод, что f является гладким.

В самом деле, вне носителя µ ,

$\displaystyle \partial _{\overline {z}}f=0,$

поэтому по лемме Вейля f даже голоморфна для | г | > Р. ​Поскольку f = CT*h + z , отсюда следует, что f стремится к 0 равномерно при | г | стремится к ∞.

Однако аргумент эллиптической регулярности для доказательства гладкости везде один и тот же и использует теорию L ² Sobolev spaces on the torus. Пусть ψ – гладкая функция с компактным носителем на C , тождественно равная 1 в окрестности носителя µ , и положим F = ψ f . Носитель F лежит в большом квадрате | х |, | й | ≤ R , поэтому, отождествляя противоположные стороны квадрата, F и µ можно рассматривать как распределение и гладкую функцию на торе T ² . По построению F находится в L ² ( Т ² ). Как распределение на T ² это удовлетворяет

$\displaystyle F_{\overline {z}}=\mu F_{z}+GF,$

где G гладкая. На каноническом базисе em _L of ² ( Т ² ) с m в Z + i Z , определим

$\displaystyle {Ue_{m}={{\overline {m}} \over m}e_{m}\,\,(m\neq 0),Ue_{0}=e_{0}.}$

Таким образом, U — унитарная и на тригонометрических полиномах или гладких функциях P

$\displaystyle {U(P_{\overline {z}})=P_{z}.}$

Аналогично оно продолжается до унитарного пространства на каждом пространстве Соболева H _k ( T ² ) с тем же свойством. Это аналог тора преобразования Берлинга. Стандартная теория фредгольмовых операторов показывает, что операторы, соответствующие I – µ U и I – U µ, обратимы в каждом пространстве Соболева. С другой стороны,

$\displaystyle {\partial _{z}(I-U\mu )F=UG.}$

Поскольку UG является гладким, то же самое происходит и с ( I – µU ) F , а значит, и с F .

Таким образом, исходная функция f является гладкой. Рассматривается как отображение C = R ² в себя якобиан определяется выражением

$\displaystyle {J(f)=|f_{z}|^{2}-|f_{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}(1-|\mu |^{2}).}$

Согласно классическому аргументу Альфорса (1966) , этот якобиан никуда не исчезает . Фактически формально пишу ж _z = е ^к , отсюда следует, что

$\displaystyle {k_{\overline {z}}=\mu k_{z}+\mu _{z}.}$

Это уравнение для k можно решить теми же методами, что и выше, и получить решение, стремящееся к 0 при ∞. По единственности h + 1 = e ^к так что

$\displaystyle {J(f)=(1-|\mu |^{2})|e^{2k}|}$

никуда не исчезает. Поскольку f индуцирует гладкое отображение сферы Римана C ∪ ∞ в себя, которое локально является диффеоморфизмом, f должен быть диффеоморфизмом. На самом деле f должна быть включена в силу связности сферы, поскольку ее образ представляет собой открытое и закрытое подмножество; но тогда, как покрывающая карта , f должна покрывать каждую точку сферы одинаковое количество раз. Поскольку только ∞ отправляется в ∞, отсюда следует, что f является взаимно однозначным.

Решение f является квазиконформным конформным диффеоморфизмом. Они образуют группу, и их коэффициенты Бельтрами можно вычислить по следующему правилу:

$\displaystyle {\mu _{g\circ f^{-1}}\circ f={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}{\mu _{g}-\mu _{f} \over 1-{\overline {\mu _{f}}}\mu _{g}}.}$

Более того, если f (0) = 0 и

$\displaystyle {g(z)=f(z^{-1})^{-1},}$

затем

$\displaystyle {\mu _{g}(z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}\mu _{f}(z^{-1}).}$

Эта формула отражает тот факт, что на римановой поверхности коэффициент Бельтрами не является функцией. При голоморфной замене координаты w = w ( z ) коэффициент преобразуется в

$\displaystyle {{\widetilde {\mu }}(w)=(w^{\prime }/{\overline {w^{\prime }}})\cdot \mu (z).}$

Определив таким образом гладкий коэффициент Бельтрами на сфере, если µ является таким коэффициентом, то, взяв гладкую функцию рельефа ψ, равную 0 вблизи 0, равную 1 для | г | > 1 и удовлетворяющее 0 ≤ ψ ≤ 1, µ можно записать как сумму двух коэффициентов Бельтрами:

$\displaystyle {\mu =\psi \mu +(1-\psi )\mu =\mu _{0}+\mu _{\infty }.}$

Пусть g — квазиконформный диффеоморфизм сферы, фиксирующий 0 и ∞, с коэффициентом мкм _∞ . Пусть λ — коэффициент Бельтрами компактного носителя на C, определяемый формулой

$\displaystyle \lambda (z)=\left[{\mu _{0} \over 1-\mu {\overline {\mu _{\infty }}}}{g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\right]\circ g^{-1}(z).$

Если f — квазиконформный диффеоморфизм сферы, фиксирующий 0 и ∞, с коэффициентом λ, то приведенные выше формулы преобразования показывают, что f ∘ g ⁻¹ является квазиконформным диффеоморфизмом сферы, фиксирующим 0 и ∞, с коэффициентом µ .

Решения уравнения Бельтрами ограничиваются диффеоморфизмами верхней полуплоскости или единичного круга, если коэффициент μ обладает дополнительными свойствами симметрии; поскольку эти две области связаны преобразованием Мёбиуса (преобразованием Кэли), эти два случая по существу одинаковы.

Для верхней полуплоскости Im z > 0, если µ удовлетворяет условию

$\displaystyle \mu (z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}},$

тогда в силу единственности решение f уравнения Бельтрами удовлетворяет условию

$\displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}},$

поэтому действительная ось и, следовательно, верхняя полуплоскость остаются неизменными.

Аналогично для единичного диска | г | < 1, если µ удовлетворяет

$\displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}},$

тогда в силу единственности решение f уравнения Бельтрами удовлетворяет условию

$\displaystyle {f(z)={\overline {f({\overline {z}}^{-1})}}^{-1},}$

поэтому единичный круг и, следовательно, единичный диск остается неизменным.

И наоборот, коэффициенты Бельтрами, определенные на замыканиях верхней полуплоскости или единичного круга, удовлетворяющие этим условиям, на границе могут быть «отражены» с помощью приведенных выше формул. Если расширенные функции гладкие, можно применить предыдущую теорию. В противном случае расширения будут непрерывными, но со скачком производных на границе. более общая теория измеримых коэффициентов µ , которая наиболее непосредственно реализуется в рамках L В этом случае требуется ^п теория.

Теорема о гладком отображении Римана

См. Также: Теорема об отображении Римана.

Пусть U — открытая односвязная область на комплексной плоскости с гладкой границей, содержащей 0 внутри, и F — диффеоморфизм единичного круга D на U, плавно продолжающийся до границы и единицы в окрестности 0. Предположим, что в Кроме того, индуцированная метрика замыкания единичного круга может быть отражена в единичном круге, чтобы определить гладкую метрику на C . Соответствующий коэффициент Бельтрами тогда является гладкой функцией на C, обращающейся в нуль вблизи 0 и ∞ и удовлетворяющей условиям

$\displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}}^{-1}.$

Квазиконформный диффеоморфизм h группы C, удовлетворяющий

$\displaystyle {h_{\overline {z}}=\mu (z)h_{z}}$

сохраняет единичный круг вместе с его внутренней и внешней частью. Из формул состава коэффициентов Бельтрами

$\displaystyle {\mu _{F\circ h^{-1}}=0,}$

так что f = F ∘ h ⁻¹ — гладкий диффеоморфизм замыканий D и U , голоморфный внутри. Таким образом, если можно построить подходящий диффеоморфизм F , отображение f доказывает теорему о гладком отображении Римана для области U .

Чтобы создать диффеоморфизм F с указанными выше свойствами, после аффинного преобразования можно предположить, что граница U имеет длину 2π и что 0 лежит в U . Гладкая версия теоремы Шенфлиса порождает гладкий диффеоморфизм G из замыкания D на замыкание u, равный единице в окрестности 0 и имеющий явный вид в трубчатой ​​окрестности единичной окружности. Фактически, взяв полярные координаты ( r , θ ) в R ² и если ( x ( θ ), y ( θ )) ( θ в [0,2 π ]) является параметризацией ∂ U по длине дуги, G имеет вид

$\displaystyle G(r,\theta )=(x(\theta )-(1-r)y^{\prime }(\theta ),y(\theta )+(1-r)x^{\prime }(\theta )).$

Принимая t = 1 − r в качестве параметра, индуцированная метрика вблизи единичной окружности определяется выражением

$\displaystyle ds^{2}=(1+t\kappa (\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},$

где

$\displaystyle \kappa (\theta )=y^{\prime \prime }(\theta )x^{\prime }(\theta )-x^{\prime \prime }(\theta )y^{\prime }(\theta )$

— кривизна плоской кривой ( x ( θ ), y ( θ )).

Позволять

$\displaystyle \alpha ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\,d\theta ,\,\,\,h(\theta )=\kappa (\theta )-\alpha .$

После замены переменной в координате t и конформного изменения метрики метрика принимает вид

$\displaystyle ds^{2}=(1+t\psi (t)h(\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},$

где ψ — аналитическая вещественная функция от t :

$\displaystyle \psi (t)=1+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots$

Формальный диффеоморфизм, переводящий ( θ , t ) в ( f ( θ , t ), t ), может быть определен как формальный степенной ряд по t :

$\displaystyle f(\theta ,t)=\theta +f_{1}(\theta )t+f_{2}(\theta )t^{2}+\cdots =\theta +g(\theta ,t)$

где коэффициенты f _n — гладкие функции на окружности. Эти коэффициенты можно определить с помощью рекуррентного метода, чтобы преобразованная метрика имела только четные степени t в коэффициентах . Это условие налагается требованием, чтобы нечетные степени t в формальном разложении степенного ряда не появлялись :

$\left[1+t\psi (t)\left(\sum _{n\geq 0}h^{(n)}g^{n}/n!\right)\right]\cdot \left[(1+g^{\prime })\,d\theta +\left(\sum _{n\geq 1}nf_{n}t^{n-1}\right)\,dt\right].$

По лемме Бореля существует диффеоморфизм, определенный в окрестности единичного круга t = 0, для которого формальное выражение f ( θ , t ) представляет собой разложение в ряд Тейлора по переменной t . Отсюда следует, что после композиции с этим диффеоморфизмом расширение метрики, полученное отражением в прямой t = 0, является гладким.

Гельдеровская непрерывность решений

Дуади и другие указали способы расширения L ² теория, позволяющая доказать существование и единственность решений, когда коэффициент Бельтрами µ ограничен и измерим с помощью L ^∞ норма k строго меньше единицы. Их подход включал теорию квазиконформных отображений, чтобы напрямую установить, что решения уравнения Бельтрами, когда µ гладкая с фиксированным компактным носителем, равномерно непрерывны по Гёльдеру . В Л ^п Гёльдеровский подход автоматически следует из теории операторов.

Л ​ ^п Теория, когда µ гладкая с компактным носителем, происходит так же, как в теории L ² случай. Согласно теории Кальдерона–Зигмунда известно, что преобразование Берлинга и обратное к нему непрерывны для L ^п норма. Из теоремы Рисса –Торина о выпуклости следует, что нормы C ^п являются непрерывными функциями p . В частности, C _p стремится к 1, когда p стремится к 2.

В уравнении Бельтрами

$\displaystyle {f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}$

где µ — гладкая функция с компактным носителем, положим

$\displaystyle g(z)=f(z)-z$

и предположим, что первые производные g равны L ^п . Пусть h = g _z = f _z – 1. Тогда

$\displaystyle {h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu .}$

Если A и B — операторы, определенные формулами AF = TµF и BF = µTF , то их операторные нормы строго меньше 1 и ( I − A ) h = T µ. Следовательно

$\displaystyle h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{-1}=(I-B)^{-1}\mu$

где правые части можно разложить в ряд Неймана . Отсюда следует, что

$\displaystyle g_{\overline {z}}=T^{-1}h,$

имеет тот же носитель, что и µ и g . Следовательно, с точностью до добавления константы f определяется выражением

$\displaystyle f(z)=CT^{-1}h(z)+z.$

Сходимость функций с фиксированным компактным носителем в L ^п норма при p > 2 влечет сходимость по л ² , поэтому эти формулы совместимы с L ² теория, если p > 2.

Преобразование Коши C не является непрерывным на L ² за исключением отображения на функции исчезающего среднего колебания . On L ^п его образ содержится в непрерывных по Гельдеру функциях с показателем Гёльдера 1 − 2 p ⁻¹ после добавления подходящей константы. Действительно, для функции f с компактным носителем определим

${\begin{aligned}Pf(w)&=Cf(w)+\pi ^{-1}\iint _{\mathbf {C} }{f(z) \over z}\,dx\,dy\\[4pt]&=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f(z)\left({1 \over z-w}-{1 \over z}\right)\,dx\,dy=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }{f(z)w \over z(z-w)}\,dx\,dy.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что константа добавляется так, чтобы Pf (0) = 0. Поскольку Pf отличается от Cf только на константу, то получается точно так же, как и в L ² теория, что

$\displaystyle (Pf)_{\overline {z}}=f,\,\,\,(Pf)_{z}=Tf.$

Более того, P можно использовать вместо C для получения решения:

$\displaystyle f(z)=PT^{-1}h(z)+z.$

С другой стороны, подынтегральная функция, определяющая Pf, находится в L ^д если д ⁻¹ = 1 - п ⁻¹ . следует Из неравенства Гельдера , что Pf непрерывен по Гёльдеру с явной оценкой:

$\displaystyle |Pf(w_{1})-Pf(w_{2})|\leq K_{p}\|f\|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p},$

где

$\displaystyle K_{p}=\|z^{-1}(z-1)^{-1}\|_{q}/\pi .$

Для любого p > 2, достаточно близкого к 2, C _p k <1. Следовательно, ряд Неймана для ( I − A ) ⁻¹ и ( я - Б ) ⁻¹ сходиться. Оценки Гельдера для P дают следующие равномерные оценки нормированного решения уравнения Бельтрами:

$\displaystyle |f(w_{1})-f(w_{2})|\leq {K_{p} \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\|\mu \|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p}+|w_{1}-w_{2}|.$

Если µ поддерживается в | г | ≤ R , тогда

$\displaystyle \|\mu \|_{p}\leq (\pi R^{2})^{1/p}\|\mu \|_{\infty }.$

Полагая w ₁ = z и w ₂ = 0, отсюда следует, что для | г | ≤ Р

$\displaystyle |f(z)|\leq \left[1+{K_{p}\pi ^{1/p}\|\mu \|_{\infty } \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\right]\cdot R=CR,$

где константа C > 0 зависит только от L ^∞ норма μ . Таким образом, коэффициент Бельтрами для f ⁻¹ является гладким и поддерживается в г | ≤ CR . Там тот же L ^∞ норма, как у f . Таким образом, обратные диффеоморфизмы также удовлетворяют равномерным оценкам Гёльдера.

Решение для измеримых коэффициентов Бельтрами

Существование

Теорию уравнения Бельтрами можно распространить на измеримые коэффициенты Бельтрами µ . Для простоты будет рассматриваться только специальный класс µ , подходящий для большинства приложений, а именно те функции, которые являются гладкими на открытом множестве Ω (регулярное множество) с дополнением Λ на замкнутом множестве меры нуль (сингулярное множество). Таким образом, Λ — замкнутое множество, содержащееся в открытых множествах сколь угодно малой площади. Для измеримых коэффициентов Бельтрами ц с компактным носителем в | г | < R решение уравнения Бельтрами можно получить как предел решений для гладких коэффициентов Бельтрами.

Действительно, в этом случае особое множество Λ компактно. Возьмем гладкие функции φ _n с компактным носителем с 0 ≤ φ _n ≤ 1, равными 1 в окрестности Λ и 0 в немного большей окрестности, сжимающимися к Λ при увеличении n . Набор

$\displaystyle {\mu _{n}=(1-\varphi _{n})\cdot \mu .}$

µ | _n гладкие с компактным носителем в г | < Р и

$\displaystyle {\|\mu _{n}\|_{\infty }\leq \|\mu \|_{\infty }.}$

µ любом _n стремятся к µ в L ^п норма при p < ∞.

Соответствующие нормированные решения f _n уравнений Бельтрами и их обратные g _n удовлетворяют равномерным оценкам Гёльдера. Поэтому они эквинепрерывны на любом компактном подмножестве C ; они даже голоморфны для | г | > Р. ​Итак, по Арсела–Асколи , переходя при необходимости к подпоследовательности, можно предположить, что и fn _, и gn _{теореме} сходятся равномерно на компактах к f и g . Пределы будут удовлетворять тем же оценкам Гёльдера и будут голоморфны при | г | > Р. ​Из соотношений f _n ∘ g _n = id = g _n ∘ f _n следует, что в пределе f ∘ g = id = g ∘ f , так что f и g являются гомеоморфизмами.

• Пределы f и g слабо дифференцируемы. В самом деле, пусть

$\displaystyle {u_{n}=\partial _{\overline {z}}f_{n},\,\,v_{n}=\partial _{z}f_{n}-1.}$

Они лежат в L ^п и равномерно ограничены:

$\displaystyle {\|u_{n}\|_{p},\,\,\|v_{n}\|_{p}\leq {\|\mu _{n}\|_{p} \over 1-\|\mu _{n}\|_{\infty }}.}$

Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что последовательности имеют слабые пределы u и v в L ^п . Это распределительные производные f ( z ) – z , поскольку, если ψ является гладким с компактным носителем

$\displaystyle {\iint u\cdot \psi =\lim \iint u_{n}\cdot \psi =-\lim \iint f_{n}\cdot \partial _{\overline {z}}\psi =-\iint f\cdot \partial _{\overline {z}}\psi ,}$

и аналогично для v . Аналогичный аргумент применим и к g, используя тот факт, что коэффициенты Бельтрами g _n поддерживаются в фиксированном замкнутом диске.

• f удовлетворяет уравнению Бельтрами с коэффициентом Бельтрами µ . Фактически отношение u = µ ⋅ v + µ следует по непрерывности из соотношения u _n = µ _n ⋅ v _n + µ _n . Достаточно показать, что µ _n ⋅ v _n слабо стремится к µ ⋅ v . Разницу можно записать

$\displaystyle {\mu v-\mu _{n}v_{n}=\mu (v-v_{n})+(\mu -\mu _{n})v_{n}.}$

Первое слагаемое слабо стремится к 0, а второе равно µ φ _n v _n . Члены равномерно ограничены в L ^п , поэтому для проверки слабой сходимости к 0 достаточно проверить скалярные произведения с плотным подмножеством L ² . Скалярные произведения с функциями компактного носителя в Ω равны нулю при достаточно большом n .

• f переносит замкнутые множества меры нуль на замкнутые множества меры нуль. Достаточно проверить это на компакте K меры нуль. Если U — ограниченное открытое множество, содержащее K , а J обозначает якобиан функции, то

${\begin{aligned}A(f_{n}(U))&=\iint _{U}J(f_{n})\,dx\,dy=\iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}-|\partial _{\overline {z}}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\\[4pt]&\leq \iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\leq \|\partial _{z}f_{n}|_{U}\|_{p}^{2}\,A(U)^{1-2/p}.\end{aligned}}$

Таким образом, если A ( U ) мало, то и A ( fn _{) мало} ( U ). С другой стороны, f _n ( U ) в конечном итоге содержит f ( K ), для применения обратного g _n , U в конечном итоге содержит g _n ∘ f ( K ), поскольку g _n ∘ f равномерно стремится к единице на компактах. Следовательно, f ( K ) имеет нулевую меру.

• f является гладким на регулярном множестве Ω группы µ . Это следует из результатов об эллиптической регулярности в L ² теория.
• f имеет ненулевой якобиан. В частности, f _z ≠ 0 на Ω. Фактически, для z ₀ в Ω, если n достаточно велико

$\displaystyle {\partial _{\overline {z}}(f\circ g_{n})=0}$

рядом z ₁ знак равно ж _п ( z ₀ ). Итак, h = f ∘ g _n голоморфен вблизи z ₁ . Поскольку это локально гомеоморфизм, h ' ( z ₁ ) ≠ 0. Поскольку f знак равно час ∘ f _n . отсюда следует, что якобиан f отличен от нуля в точке z ₀ . С другой стороны J ( ж ) знак равно | ж _z | ² (1 − |μ| ² ), поэтому f _z ≠ 0 в точке z ₀ .

• g удовлетворяет уравнению Бельтрами с коэффициентом Бельтрами

$\displaystyle {\mu ^{\prime }(f(z))=-{f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\cdot \mu (z)}$

или эквивалентно

$\displaystyle {\mu ^{\prime }(w)=-{{\overline {g_{w}}} \over g_{w}}\cdot \mu (g(w))}$

на регулярном множестве Ω' = f (Ω) с соответствующим сингулярным множеством Λ' = f (Λ).

• g удовлетворяет уравнению Бельтрами для µ ′. Фактически g имеет слабые производные по распределению в 1 + L ^п и Л ^п . В сочетании с гладкими функциями с компактным носителем в Ω эти производные совпадают с действительными производными в точках Ω. Поскольку Λ имеет нулевую меру, производные распределения равны фактическим производным в L ^п . Таким образом, g удовлетворяет уравнению Бельтрами, поскольку фактические производные удовлетворяют этому уравнению.
• Если f * и f — решения, построенные как указано выше для µ * и µ, то f * ∘ f ⁻¹ удовлетворяет уравнению Бельтрами для

$\displaystyle \nu (f(z))={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\,{\mu ^{*}-\mu \over 1-{\overline {\mu }}\mu ^{*}},$

определенное на Ω ∩ Ω*. Слабые производные f * ∘ f ⁻¹ задаются действительными производными на Ω ∩ Ω*. Фактически это следует путем аппроксимации f * и g = f ⁻¹ по f * _n и gn _​ . Производные равномерно ограничены в 1 + L ^п и Л ^п , так что, как и раньше, слабые пределы дают производные распределения f * ∘ f ⁻¹ . В сочетании с гладкими функциями с компактным носителем в Ω ∩ Ω* они согласуются с обычными производными. Таким образом, распределительные производные задаются обычными производными от Λ ∪ Λ*, множества нулевой меры.

Этим устанавливается существование гомеоморфных решений уравнения Бельтрами в случае компактных коэффициентов Бельтрами. Это также показывает, что обратные гомеоморфизмы и составные гомеоморфизмы удовлетворяют уравнениям Бельтрами и что все вычисления могут выполняться путем ограничения регулярных наборов.

Если носитель не компактен, тот же прием, что и в гладком случае, можно использовать для построения решения в терминах двух гомеоморфизмов, связанных с коэффициентами Бельтрами с компактным носителем. Обратите внимание, что из-за предположений о коэффициенте Бельтрами можно применить преобразование Мёбиуса расширенной комплексной плоскости, чтобы сделать сингулярное множество коэффициента Бельтрами компактным. В этом случае один из гомеоморфизмов можно выбрать диффеоморфизмом.

Уникальность

Существует несколько доказательств единственности решений уравнения Бельтрами с заданным коэффициентом Бельтрами. Поскольку применение преобразования Мёбиуса комплексной плоскости к любому решению дает другое решение, решения можно нормализовать так, чтобы они фиксировали 0, 1 и ∞. Метод решения уравнения Бельтрами с использованием преобразования Берлинга также обеспечивает доказательство единственности для коэффициентов компактного носителя ц и для которых производные распределения находятся в пределах 1 + L ^п и Л ^п . Отношения

$\displaystyle (P\psi )_{\overline {z}}=\psi ,\,\,\,(P\psi )_{z}=T\psi$

для гладких функций ψ с компактным носителем также справедливы в смысле распределения для L ^п функции h, поскольку их можно записать как L ^п ψ _n 's. Если f является решением уравнения Бельтрами с f (0) = 0 и f _z - 1 в L ^п затем

$\displaystyle {F=f-P(f_{\overline {z}})}$

удовлетворяет

$\displaystyle {\partial _{\overline {z}}F=0.}$

Итак, F слабо голоморфен. Применение леммы Вейля можно заключить, что существует голоморфная функция G , равная F почти всюду. Злоупотребление обозначением переопределит F:=G . Условия F '(z) − 1 лежат в L ^п и F (0) = 0 сила F ( z ) знак равно z . Следовательно

$\displaystyle {P(f_{\overline {z}})=f(z)+z}$

и так дифференцируя

$\displaystyle {f_{z}=T(\mu f_{z})+1.}$

Если g — другое решение, то

$\displaystyle {f_{z}-g_{z}=T(\mu (f_{z}-g_{z})).}$

Поскольку T µ имеет операторную норму на L ^п меньше 1, это заставляет

$\displaystyle {f_{z}=g_{z}.}$

Но тогда из уравнения Бельтрами

$\displaystyle {f_{\overline {z}}=g_{\overline {z}}.}$

Следовательно, f − g одновременно голоморфен и антиголоморфен, поэтому является константой. Поскольку f (0) = 0 = g (0), отсюда следует, что f = g . Заметим, что поскольку f голоморфна вне носителя µ и f (∞) = ∞, то условия локальности производных в L ^п сила

$\displaystyle {f_{z}-1,\,\,f_{\overline {z}}\in L^{p}(\mathbf {C} ).}$

Для общего f, удовлетворяющего уравнению Бельтрами и с производными по распределению локально в L ^п , то после применения преобразования Мёбиуса можно предположить, что 0 не входит в сингулярный набор коэффициента Бельтрами µ . Если g — гладкий диффеоморфизм g с коэффициентом Бельтрами λ, поддерживаемым вблизи 0, коэффициент Бельтрами ν для f ∘ g ⁻¹ можно рассчитать напрямую, используя формулу замены переменных для распределительных производных:

$\displaystyle \nu (g(z))={g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\,{\mu -\lambda \over 1-{\overline {\lambda }}\mu }.$

λ можно выбрать так, чтобы ν обращалось в нуль вблизи нуля. Применение карты z ⁻¹ приводит к решению уравнения Бельтрами с коэффициентом компактной опоры Бельтрами. Производные по направлению все еще локально находятся в L ^п . Коэффициент ν зависит только от µ , λ и g , поэтому любые два решения исходного уравнения будут давать решения около 0 с производными по распределению локально в L ^п и тот же коэффициент Бельтрами. Поэтому они равны. Следовательно, решения исходного уравнения равны.

Униформизация многосвязных плоских областей

Метод, используемый для доказательства теоремы о гладком отображении Римана, может быть обобщен на многосвязные плоские области с гладкой границей. Коэффициент Бельтрами в этих случаях гладок на открытом множестве, дополнение к которому имеет нулевую меру. Поэтому необходима теория уравнения Бельтрами с измеримыми коэффициентами.

Двусвязные домены. Если Ω — двусвязная плоская область, то существует диффеоморфизм F кольца r ⩽ |z| ≤ 1 на замыкание Ω, такое, что после конформного изменения индуцированную метрику на кольце можно плавно продолжить путем отражения в обеих границах. Кольцо является фундаментальной областью для группы, созданной двумя отражениями, которые меняют ориентацию. Изображения фундаментальной области под группой заполняют C с удаленным 0, и коэффициент Бельтрами там гладкий. Каноническое решение h уравнения Бельтрами на C с помощью L ^п теория является гомеоморфизмом. Оно плавно от 0 по эллиптической регулярности. Благодаря уникальности он сохраняет единичный круг вместе с его внутренней и внешней частью. Из единственности решения также следует, что при отражении существует сопряженное преобразование Мёбиуса g такое, что h ∘ R = g ∘ h , где R обозначает отражение в | г | = р . Используя преобразование Мёбиуса, фиксирующее единичную окружность, можно предположить, что g является отражением в окружности | г | = s при s < 1. Отсюда следует, что F ∘ h ₋₁ — гладкий диффеоморфизм кольца s ≤ | г | ⩽ 1 на замыкание Ω, голоморфное внутри.

Многосвязные домены. Для регионов с более высокой степенью связности k + 1 результат, по сути, является обобщением Берса о теоремы ретросекции . Существует гладкий диффеоморфизм F области Ω ₁ , заданной единичным кругом с удаленными k открытыми дисками, на замыкание Ω. Можно предположить, что 0 лежит внутри области. И снова после модификации диффеоморфизма и конформного изменения вблизи границы метрику можно считать совместимой с отражением. Пусть G — группа, порожденная отражениями в граничных окружностях Ω ₁ . Внутренность Ω ₁ является фундаментальной областью для G . Более того, нормальная подгруппа индекса G _0, состоящая из отображений, сохраняющих ориентацию, является классической группой Шоттки . Его фундаментальная область состоит из исходной фундаментальной области с добавленным ее отражением в единичном круге. Если отражением является R ₀ , это свободная группа с генераторами R _i ∘ R ₀ , где R _i — отражения во внутренних кругах исходной области. Образы исходной области с помощью G или, что эквивалентно, отраженной области с помощью группы Шоттки, заполняют регулярный набор для группы Шоттки. Там он действует корректно прерывисто. Дополнение – это предельный набор G ₀ . Он имеет нулевую меру. Индуцированная метрика на Ω ₁ путем отражения продолжается на регулярное множество. Соответствующий коэффициент Бельтрами инвариантен для группы отражений, порожденной отражениями R _i при i ≥ 0. Поскольку предельное множество имеет нулевую меру, коэффициент Бельтрами однозначно продолжается до ограниченной измеримой функции на C . гладкая на штатном наборе. Нормализованное решение уравнения Бельтрами h представляет собой гладкий диффеоморфизм замыкания Ω ₁ на себя, сохраняющий единичную окружность, ее внешнюю и внутреннюю часть. Обязательно час ∘ р я _знак равно S _я ∘ час . где S _i — отражение в другом круге единичного круга. Если посмотреть на неподвижные точки, то круги, возникающие таким образом для разных i, должны быть непересекающимися. Отсюда следует, что F ∘ h ⁻¹ определяет гладкий диффеоморфизм единичного круга с удаленной внутренностью этих окружностей на голоморфное внутри замыкание Ω.

Одновременная унификация

См. Также: Теорема об одновременной униформизации.

Берс (1961) что два компактных римановых 2-многообразия M1 _, , M2 _{показал} рода g > 1 могут быть одновременно униформизированы.

Поскольку топологические пространства M ₁ и M ₂ гомеоморфны фиксированному фактору верхней полуплоскости H по дискретной кокомпактной подгруппе Γ группы PSL(2, R ). Γ можно отождествить с фундаментальной группой многообразий, а H — универсальное накрывающее пространство . Гомеоморфизмы можно выбрать кусочно-линейными на соответствующих триангуляциях. Результат Манкреса (1960) подразумевает, что гомеоморфизмы можно корректировать вблизи краев и вершин триангуляции для получения диффеоморфизмов. Метрика на M1 _, индуцирует метрику на H которая является Γ-инвариантной. Пусть µ — соответствующий коэффициент Бельтрами на H . Его можно расширить до C путем отражения

$\displaystyle {\widehat {\mu }}(z)=\mu (z)\,\,(z\in \mathbf {H} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)=0\,\,(z\in \mathbf {R} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}}\,\,({\overline {z}}\in \mathbf {H} ).$

Он удовлетворяет свойству инвариантности

$\displaystyle {\widehat {\mu }}(g(z))={{\overline {g_{z}}} \over g_{z}}\,{\widehat {\mu }}(z),$

для g в Γ. Решение f соответствующего уравнения Бельтрами определяет гомеоморфизм C , сохраняя действительную ось, а также верхнюю и нижнюю полуплоскости. Сопряжение элементов группы посредством f ⁻¹ дает новую кокомпактную подгруппу Γ ₁ в PSL(2, R ). Составив исходный диффеоморфизм с обратным к f, вы получите нулевой коэффициент Бельтрами. Таким образом, метрика, индуцированная на H, инвариантна относительно Γ ₁ и конформна метрике Пуанкаре на H . Поэтому его необходимо получить умножением на положительную гладкую функцию, которая является Γ ₁ -инвариантной. Любая такая функция соответствует гладкой функции M1 _на . Деление метрики на M1 _, метрике на M1 _{на эту функцию приводит к конформно эквивалентной} которая согласуется с метрикой Пуанкаре на H / _Γ1 . Таким образом, M ₁ становится компактной римановой поверхностью , т. е. униформизируется и наследует естественную комплексную структуру.

Благодаря этому конформному изменению метрики M ₁ можно отождествить с H /Γ ₁ . Диффеоморфизм между на M ₂ индуцирует другую метрику на H , инвариантную относительно Γ ₁ . Он определяет коэффициент Бельтрами λ omn ​​H, который на этот раз распространяется на C, определяя λ равным 0 вне H . Решение h уравнения Бельтрами является гомеоморфизмом C , голоморфным в нижней полуплоскости и гладким в верхней полуплоскости. Образ действительной оси представляет собой кривую Жордана, разделяющую С на две компоненты. Сопряжение Γ ₁ с h ⁻¹ дает квазифуксову подгруппу Γ ₂ группы PSL(2, C ). Он оставляет инвариантной кривую Жордана и действует разрывно на каждую из двух компонент. Факторы двух компонент по Γ ₂ естественным образом отождествляются с M ₁ и M ₂ . Эта идентификация совместима с естественными комплексными структурами как на M1 _, так и M2 _на .

Конформная сварка

См. Также: Конформная сварка и расширение Дуади – Эрла.

, сохраняющий ориентацию, Гомеоморфизм окружности f называется квазисимметричным, если существуют положительные константы a и b такие, что

$\displaystyle {{{|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a\cdot {|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}}.}$

Если

$\displaystyle {|z_{1}-z_{2}|=|z_{1}-z_{3}|,}$

тогда условие становится

$\displaystyle {a^{-1}\leq {|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a.}$

Обратно, если это условие выполнено для всех таких троек точек, то f квазисимметрична.

Очевидно, более слабое условие гомеоморфизма f окружности состоит в том, что она квазимебиусова , то есть существуют константы c , d > 0 такие, что

$\displaystyle {|(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}$

где

$\displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}$

обозначает перекрестное отношение . Фактически, если f квазисимметрична, то она также квазимебиусова, причем c = a ² и d = b : это следует путем умножения первого неравенства выше на ( z ₁ , z ₃ , z ₄ ) и ( z ₂ , z ₄ , z ₃ ).

Обратно, если f — квазимебиусов гомеоморфизм, то он также квазисимметричен. В самом деле, очевидно, что если f квазимебиусова, то и ее обратная функция тоже. Отсюда следует, что f (и, следовательно, f ⁻¹ ) непрерывен по Гёльдеру . Чтобы убедиться в этом, пусть S — множество кубических корней из единицы, так что если a ≠ b в S , то | а - б | знак равно 2 грех π /3 знак равно √ 3 . Чтобы доказать оценку Гёльдера, можно предположить, что x – y равномерно мало. Тогда и x, и y больше, чем фиксированное расстояние от a , b в S с a ≠ b , поэтому оценка следует путем применения неравенства квази-Мёбиуса к x , a , y , b . Чтобы проверить квазисимметричность f , достаточно найти равномерную верхнюю оценку для | ж ( Икс ) - ж ( у )| / | ж ( Икс ) - ж ( z )| в случае тройки с | Икс - z | = | x − y |, равномерно малый. В этом случае существует точка w на расстоянии больше 1 от x , y и z . Применение неравенства квази-Мёбиуса к x , w , y и z дает требуемую верхнюю оценку.

Гомеоморфизм f единичной окружности можно расширить до гомеоморфизма F единичного замкнутого круга, который является диффеоморфизмом внутри него. Дуади и Эрл (1986) , обобщая более ранние результаты Альфорса и Берлинга, создали такое расширение с дополнительными свойствами, что оно коммутирует с действием SU(1,1) посредством преобразований Мёбиуса и является квазиконформным, если f квазисимметрично. (Менее элементарный метод был также независимо найден Тукиа (1985) : подход Тукиа имеет то преимущество, что его можно применять и в более высоких измерениях.) Когда f является диффеоморфизмом окружности, расширение Александера обеспечивает другой способ расширения f :

$\displaystyle {F(r,\theta )=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}$

где ψ — гладкая функция со значениями в [0,1], равная 0 вблизи 0 и 1 вблизи 1, и

$\displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}$

с грамм ( θ + 2 π ) знак равно грамм ( θ ) + 2 π . Партика, Сакан и Зайонц (1999) дают обзор различных методов расширения, включая варианты расширения Альфорса-Бёрлинга, которые являются гладкими или аналитическими в открытом единичном круге.

В случае диффеоморфизма расширение Александера F можно продолжить на любой больший круг | г | < R с R > 1. Соответственно, в единичном диске

$\displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}$

Это справедливо и для других расширений, когда f только квазисимметрично.

Теперь расширим µ до коэффициента Бельтрами на всем C, установив его равным 0 для | г | ≥ 1. Пусть G — соответствующее решение уравнения Бельтрами. Пусть F ₁ ( z ) = G ∘ F ⁻¹ ( z ) для | г | ≤ 1 и F ₂ ( z ) знак равно грамм ( z ) за | г | ≥ 1. Таким образом, F ₁ и F ₂ — однолистные голоморфные отображения | г | < 1 и | г | > 1 внутри и снаружи жордановой кривой. Они непрерывно продолжаются до гомеоморфизмов f _i единичной окружности на жордановую кривую на границе. По конструкции они удовлетворяют конформные условия сварки:

$\displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}$

См. также

• Квазиконформное отображение
• Теорема об измеримом отображении Римана
• Изотермические координаты

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1955), Конформность относительно римановых метрик , Ann. акад. наук. Фенн. Сер. АИ, вып. 206
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Ван Ностранд
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости , Princeton Mathematical Series, vol. 48, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-13777-3
• Бельтрами, Эухенио (1867), «Очерк интерпретации неевклидовой геометрии» (PDF) , Giornale di Mathematica (на итальянском языке), 6 , JFM   01.0275.02 Английский перевод в Стиллвелле (1996)
• Берс, Липман (1958), Римановы поверхности , Институт Куранта
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных, с дополнениями Ларса Гординга и А.Н. Милгрэма , Лекции по прикладной математике, том. 3А, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0049-3 , Глава VI.
• Берс, Липман (1961), «Униформизация с помощью уравнений Бельтрами», Comm. Чистое приложение. Математика. , 14 (3): 215–228, doi : 10.1002/cpa.3160140304
• Дуади, Адриан; Эрл, Клиффорд Дж. (1986), «Конформно естественное расширение гомеоморфизмов окружности», Acta Math. , 157 : 23–48, doi : 10.1007/bf02392590
• Дуади, Адриан ; Бафф, X. (2000), Теорема интегрируемости почти комплексных структур. [Теорема об интегрируемости для почти комплексных структур] , London Math. Соц. Записка к чтению. Сер., т. 1, с. 274, Кембриджский университет. Пресс, с. 307–324
• Глуцюк, Алексей А. (2008), «Простые доказательства теорем униформизации», Fields Inst. Коммун. , 53 : 125–143
• Хаббард, Джон Хамал (2006), теория Тейхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Том. 1 , Matrix Editions, Итака, Нью-Йорк, ISBN  978-0-9715766-2-9 , МР   2245223
• Имаёси, Ю.; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Тейхмюллера , Springer-Verlag, ISBN  0-387-70088-9
• Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (2008), Уравнение Бельтрами , Мемуары Американского математического общества, том. 191, номер домена : 10.1090/memo/0893 , ISBN  978-0-8218-4045-0 , МР   2377904
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN  0-486-66721-9
• Лехто, Олли; Виртанен, К.И. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости , Основные положения математических наук, вып. 126 (2-е изд.), Springer-Verlag
• Лехто, Олли (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера , Тексты для аспирантов по математике, том. 109, Спрингер Верлаг, ISBN  0-387-96310-3
• Морри, Чарльз Б. (1936), «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных», Бюллетень Американского математического общества , 42 (5): 316, doi : 10.1090/S0002-9904-1936-06297- X , ISSN   0002-9904 , JFM   62.0565.02
• Морри, Чарльз Б. младший (1938), «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных», Труды Американского математического общества , 43 (1), Американское математическое общество: 126–166, doi : 10.2307/1989904 , JSTOR   1989904 , Збл   0018.40501
• Манкрес, Джеймс (1960), «Препятствия к сглаживанию кусочно-дифференцируемых гомеоморфизмов» , Ann. математики. , 72 (3): 521–554, номер документа : 10.2307/1970228 , JSTOR   1970228.
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. I, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/029 , ISBN   978-3-03719-029-6 , МР 2284826
• Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/055 , ISBN   978-3-03719-055-5 , МР 2524085
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. III, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/103 , ISBN   978-3-03719-103-3
• Партика, Дариуш; Сакан, Кен-Ичи; Зайоц, Юзеф (1999), «Гармонические и квазиконформные операторы расширения», Banach Center Publ. , 48 : 141–177, дои : 10.4064/-48-1-141-177
• Сибнер, Роберт Дж. (1965), «Униформизация симметричных римановых поверхностей группами Шоттки», Trans. амер. Математика. Соц. , 116 : 79–85, doi : 10.1090/s0002-9947-1965-0188431-2
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию. Том. IV (3-е изд.), Опубликуй или погибни, ISBN  0-914098-70-5
• Стиллвелл, Джон (1996), Источники гиперболической геометрии , История математики, том. 10, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0529-9 , МР   1402697
• Тукиа, П.; Вяйсяля, Дж. (1980), "Квазисимметричные вложения метрических пространств", Ann. акад. наук. Фенн. Сер. ИИ Математика. , 5 : 97–114, doi : 10.5186/aasfm.1980.0531
• Тукиа, Пекка (1985), «Квазиконформное расширение квазисимметричных отображений, совместимых с группой Мёбиуса», Acta Math. , 154 (3–4): 153–193, doi : 10.1007/bf02392471
• Вайсала, Юсси (1984), «Карты Квази-Мебиуса», Journal d'Analyse Mathématique , 44 : 218–234, doi : 10.1007/bf02790198 , S2CID   189767039
• Векуа, И.Н. (1962), Обобщенные аналитические функции , Pergamon Press.