Теорема умножения

Эта статья о тождестве, которому подчиняются специальные функции, связанные с гамма-функцией. Чтобы узнать о правиле умножения в теории вероятностей, см. Независимость (теория вероятностей) .

В математике теорема умножения представляет собой тождество определенного типа, которому подчиняются многие специальные функции, связанные с гамма-функцией . В явном случае гамма-функции тождество является произведением значений; отсюда и название. Все различные отношения основаны на одном и том же основополагающем принципе; то есть отношение для одной специальной функции может быть получено из отношения для других и является просто проявлением одной и той же идентичности в разных обличьях.

Конечная характеристика

Теорема умножения принимает две распространенные формы. В первом случае для получения отношения добавляется или умножается конечное число членов. Во втором случае добавляется или умножается бесконечное количество слагаемых. Конечная форма обычно встречается только для гаммы и связанных с ней функций, для которых тождество следует из p-адического отношения над конечным полем . Например, теорема умножения для гамма-функции следует из формулы Чоулы–Сельберга , которая следует из теории комплексного умножения . Бесконечные суммы встречаются гораздо чаще и следуют из характеристических нулевых соотношений в гипергеометрическом ряду.

Ниже приведены различные проявления теоремы умножения для конечной характеристики; характеристические нулевые соотношения приведены ниже. Во всех случаях n и k — целые неотрицательные числа. Для частного случая n = 2 теорему обычно называют формулой дублирования .

Гамма-функция – формула Лежандра

формула дублирования и теорема умножения для гамма-функции Прототипическими примерами являются . Формула дублирования гамма-функции:

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$

Ее еще называют формулой дублирования Лежандра. или отношение Лежандра , в честь Адриана-Мари Лежандра . Теорема умножения

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)$

для целого числа k ≥ 1, и иногда ее называют формулой умножения Гаусса в честь Карла Фридриха Гаусса . Теорему умножения для гамма-функций можно понимать как частный случай тривиального характера Дирихле формулы Чоулы -Сельберга .

Синусоидальная функция

Формально аналогичные формулы дублирования справедливы и для функции синуса, которые являются довольно простыми следствиями тригонометрических тождеств . Вот формула дублирования

$\sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)$

и, в более общем смысле, для любого целого числа k имеется

$\sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)$

Полигамма-функция, числа гармоник

Полигамма -функция является логарифмической производной гамма-функции, и, таким образом, теорема умножения становится аддитивной, а не мультипликативной:

$k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

для $m>1$, и, для $m=1$, есть дигамма-функция :

$k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).$

Полигамма-тождества можно использовать для получения теоремы умножения гармонических чисел .

Дзета-функция Гурвица

Поскольку дзета-функция Гурвица обобщает полигамма-функцию до нецелых порядков и, таким образом, подчиняется очень похожей теореме умножения:

$k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),$

где $\zeta (s)$ – дзета-функция Римана . Это частный случай

$k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)$

и

$\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).$

Формулы умножения неглавных характеров могут быть заданы в виде L-функций Дирихле .

Периодическая дзета-функция

Периодическая дзета-функция иногда определяется как

$F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)$

где Li _s ( z ) — полилогарифм . Он подчиняется формуле дублирования

$2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).$

По сути, это собственный вектор оператора Бернулли с собственным значением 2. ^{1− с} . Теорема умножения

$k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).$

Периодическая дзета-функция встречается в формуле отражения дзета-функции Гурвица, поэтому соотношение, которому она подчиняется, и дзета-соотношение Гурвица различаются перестановкой s → 1− s .

Полиномы Бернулли могут быть получены как предельный случай периодической дзета-функции, принимая s за целое число, и, таким образом, теорема умножения может быть получена из вышеизложенного. Аналогично, замена q = log z приводит к теореме умножения полилогарифма.

Полилогарифм

Формула дублирования принимает вид

$2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).$

Общая формула умножения имеет форму суммы Гаусса или дискретного преобразования Фурье :

$k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).$

Эти тождества следуют из тождества периодической дзета-функции, принимая z = log q .

Функция Куммера

Формула дублирования функции Куммера :

$2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)$

и, таким образом, напоминает полилогарифм, но скручен на i .

Полиномы Бернулли

Для полиномов Бернулли теоремы умножения были даны Йозефом Людвигом Раабе в 1851 году:

$k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)$

а для Эйлера полиномов

$k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots$

и

$k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .$

Полиномы Бернулли могут быть получены как частный случай дзета-функции Гурвица, и, таким образом, оттуда следуют тождества.

Карта Бернулли

Карта Бернулли — это некая простая модель диссипативной динамической системы , описывающая влияние оператора сдвига на бесконечную цепочку подбрасываний монеты ( множество Кантора ). Карта Бернулли представляет собой одностороннюю версию близкородственной карты Бейкера . Карта Бернулли обобщается до k-адической версии, которая действует на бесконечные строки из k символов: это схема Бернулли . Оператор трансфера ${\mathcal {L}}_{k}$ соответствующий оператору сдвига в схеме Бернулли, имеет вид

$[{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)$

Возможно, неудивительно, что собственные векторы этого оператора задаются полиномами Бернулли. То есть у человека есть это

${\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}$

Дело в том, что собственные значения $k^{-m}<1$ это отмечает, что это диссипативная система: для недиссипативной динамической системы, сохраняющей меру , собственные значения оператора переноса лежат на единичной окружности.

можно построить функцию, подчиняющуюся теореме умножения Из любой вполне мультипликативной функции . Позволять $f(n)$ быть полностью мультипликативным; то есть, $f(mn)=f(m)f(n)$ для любых целых чисел m , n . Определим его ряд Фурье как

$g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)$

Если предположить, что сумма сходится, так что g ( x ) существует, тогда получается, что она подчиняется теореме умножения; то есть, что

${\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)$

То есть g ( x ) является собственной функцией трансфер-оператора Бернулли с собственным значением f ( k ). Тогда теорема умножения для полиномов Бернулли следует как частный случай мультипликативной функции $f(n)=n^{-s}$. Характеры Дирихле полностью мультипликативны, и поэтому их можно легко использовать для получения дополнительных тождеств этой формы.

Характеристика нулевая

Теорема умножения над полем нулевой характеристики не замыкается после конечного числа членов, а требует бесконечного ряда выражения . Примеры включают функцию Бесселя. $J_{\nu }(z)$:

$\lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),$

где $\lambda$ и $\nu$ могут быть приняты как произвольные комплексные числа. Такие тождества с нулевой характеристикой обычно следуют из одного из многих возможных тождеств гипергеометрического ряда.

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Дувр, Нью-Йорк. (Теоремы умножения перечисляются отдельно по главам)
• К. Трусделл, « О теоремах сложения и умножения для специальных функций », Труды Национальной академии наук, математика , (1950), стр. 752–757.