Джордан Алгебра

В абстрактной алгебре йордановая алгебра — это неассоциативная алгебра над полем которой , умножение удовлетворяет следующим аксиомам:

1. $xy=yx$ ( коммутативный закон)
2. $(xy)(xx)=x(y(xx))$ ( Джорданская идентичность ).

Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается x ∘ y , особенно во избежание путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры .

Аксиомы подразумевают что йордановая алгебра степенно-ассоциативна , а это означает, что $x^{n}=x\cdots x$ не зависит от того, как мы заключаем это выражение в скобки. Они также подразумевают что $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ для всех положительных целых чисел m и n . Таким образом, мы можем эквивалентно определить йордановую алгебру как коммутативную степенно-ассоциативную алгебру такую, что для любого элемента $x$, операции умножения на степени $x^{n}$ все ездят на работу.

Жордановые алгебры были введены Паскуалем Джорданом ( 1933 ) в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых в квантовой электродинамике . Вскоре было показано, что алгебры в этом контексте бесполезны, однако с тех пор они нашли множество применений в математике. Первоначально алгебры назывались «системами r-числа», но были переименованы в «йордановые алгебры» Авраамом Адрианом Альбертом ( 1946 ), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановые алгебры

Прежде всего заметим, что ассоциативная алгебра является йордановой тогда и только тогда, когда она коммутативна.

По любой ассоциативной алгебре A (не характеристики 2) можно построить йордановую алгебру A ⁺ используя то же самое сложение и новое умножение, произведение Джордана, определенное как:

$x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.$

Эти йордановые алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами , а все остальные — исключительными йордановыми алгебрами . Эта конструкция аналогична алгебре Ли, ассоциированной с A , произведение которой (скобка Ли) определяется коммутатором $[x,y]=xy-yx$.

Теорема Ширшова – Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной. В связи с этим теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трех переменных, имеющий степень один по одной из переменных и который обращается в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, исчезает в каждой йордановой алгебре.

Эрмитовые йордановые алгебры

Если ( A , σ ) — ассоциативная алгебра с инволюцией σ , то если σ ( x ) = x и σ ( y ) = y , то отсюда следует, что ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$ Таким образом, набор всех элементов, фиксированных инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образует подалгебру A. ⁺ , который иногда обозначается H( A , σ ).

Примеры

1. Множество самосопряженных вещественных , комплексных или кватернионных матриц с умножением

$(xy+yx)/2$

образуют специальную йорданову алгебру.

2. Набор самосопряженных матриц 3×3 над октонионами , опять же с умножением

$(xy+yx)/2,$

является 27-мерной исключительной йордановой алгеброй (она исключительна, поскольку октонионы неассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта . Ее группой автоморфизмов является исключительная группа Ли F ₄ . Поскольку над комплексными числами это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма, ее часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над действительными числами существуют три класса изоморфизма простых исключительных йордановых алгебр.

Дифференцирования и структурная алгебра

Дифференцирование x йордановой алгебры A эндоморфизм D алгебры A такой, что D ( xy ) = D ( ) — это y + xD ( y ). Дифференцирования образуют алгебру Ли der ( A ). Из тождества Джордана следует, что если x и y являются элементами A , то эндоморфизм, переводящий z в x ( yz ) − y ( xz ), является дифференцированием. образом, прямая сумма A и der ( A ) может быть преобразована в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй A Таким , str ( A ).

Простой пример дают эрмитовые йордановые алгебры H( A , σ ). В этом случае любой элемент x из A с σ ( x )=− x определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра H( A , σ ) равна A .

Алгебры вывода и структурные алгебры также являются частью Титса конструкции магического квадрата Фрейденталя .

Формально вещественные йордановые алгебры

Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально вещественной, если она удовлетворяет тому свойству, что сумма n квадратов может исчезнуть только в том случае, если каждый из них обращается в нуль индивидуально. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально реальной алгеброй, которая является коммутативной ( xy = yx ) и степенно-ассоциативной (закон ассоциативности справедлив для произведений, включающих только x , поэтому что степени любого элемента x определены однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой.

Не каждая йордановая алгебра формально действительна, но Джордан, фон Нейман и Вигнер (1934) классифицировали конечномерные формально вещественные йордановые алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами . Любую формально вещественную йорданову алгебру можно записать в виде прямой суммы так называемых простых алгебр, которые сами по себе нетривиальным образом не являются прямыми суммами. В конечных измерениях простые формально вещественные йордановые алгебры делятся на четыре бесконечных семейства вместе с одним исключительным случаем:

• Йордановая алгебра размера n × n , как указано выше. самосопряженных действительных матриц
• Йордановая алгебра размера n × n , как указано выше. самосопряженных комплексных матриц
• Йордановая алгебра размера n × n самосопряженных кватернионных матриц . как указано выше.
• Жорданова алгебра, свободно порожденная R ^н с отношениями

  $x^{2}=\langle x,x\rangle$

где правая часть определяется с использованием обычного скалярного произведения на R ^н . Иногда это называют спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда .

• Йордановая алгебра самосопряженных октононных матриц размера 3 × 3, как указано выше (исключительная йордановая алгебра, называемая алгеброй Альберта ).

Из этих возможностей пока кажется, что природа использует только комплексные матрицы размера n × n в качестве алгебр наблюдаемых. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности , и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией .

Разложение Пирса

Если e — идемпотент в йордановой алгебре A ( e ² = e ) и R — операция умножения на e , то

• р (2 р - 1)( р - 1) = 0

поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йордановая алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A = A ₀ ( e ) ⊕ A _1/2 ( e ) ⊕ A ₁ ( e ) трех собственных пространств. Это разложение было впервые рассмотрено Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) для вполне вещественных йордановых алгебр. Позднее оно было полностью изучено Альбертом (1947) и названо Пирса A e относительно идемпотента разложением .

Особые виды и обобщения

Бесконечномерные йордановые алгебры

В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и простые невырожденные) йордановые алгебры. Они либо эрмитовского, либо клиффордовского типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта , имеющие размерность 27.

Жордановые операторные алгебры

Основная статья: Жорданова операторная алгебра

Теория операторных алгебр была распространена на жордановые операторные алгебры .

Аналогами С*-алгебр являются JB-алгебры, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами . Норма вещественной йордановой алгебры должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

$\displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}$

Эти аксиомы гарантируют, что йордановая алгебра формально действительна, так что, если сумма квадратов членов равна нулю, эти члены должны быть равны нулю. Комплексификации JB-алгебр называются жордановыми C*-алгебрами или JB*-алгебрами. Они широко использовались в сложной геометрии для расширения Кёчером йордановой алгебраической трактовки ограниченных симметричных областей до бесконечных измерений. Не все алгебры JB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как и в конечных размерностях. Исключительная алгебра Альберта является обычным препятствием.

Аналогом йордановой алгебры алгебр фон Неймана являются алгебры JBW. Они оказываются алгебрами JB, которые, как банаховы пространства, являются двойственными к банаховым пространствам. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW — те, у которых центр приведен к R — полностью понимаются в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Альберта , все факторы JWB могут быть реализованы как йордановые алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии . Из них спиновые факторы можно очень просто построить из реальных гильбертовых пространств. Все остальные факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана , либо его подалгеброй с неподвижной точкой относительно периода 2 *-антиавтоморфизма фактора фон Неймана.

Джордан кольца

Йордановое кольцо является обобщением йордановых алгебр, требующим только того, чтобы йордановое кольцо находилось над общим кольцом, а не над полем. Альтернативно можно определить йордановое кольцо как коммутативное неассоциативное кольцо , соблюдающее йорданово тождество.

Иорданские супералгебры

Жордановые супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским; это $\mathbb {Z} /2$-градуированные алгебры $J_{0}\oplus J_{1}$ где $J_{0}$ является йордановой алгеброй и $J_{1}$ имеет «ложный» продукт со значениями в $J_{0}$.

Любой $\mathbb {Z} /2$-градуированная ассоциативная алгебра $A_{0}\oplus A_{1}$ становится йордановой супералгеброй относительно градуированной жордановой скобки

$\{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .$

Йордановые простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем (1977) . Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности $K_{3}$ и $K_{10}$.

J-структуры

Основная статья: J-структура

Концепция J-структуры была введена Спрингером (1998) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, принимая обращение Жордана в качестве основной операции и тождество Хуа в качестве основного отношения. В характеристике, отличной от 2, теория J-структур по существу аналогична теории йордановых алгебр.

Квадратичные йордановые алгебры

Основная статья: Квадратичная йорданова алгебра

Квадратичные йордановые алгебры представляют собой обобщение (линейных) йордановых алгебр, введенных Кевином МакКриммоном ( 1966 ). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, не равной 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

См. также

• Алгебра Фрейденталя
• Тройная система Иордании
• Джорданская пара
• Конструкция Кантора – Кехера – Титса
• Изюминка сорта

Ссылки

• Альберт, А. Адриан (1946), «О жордановых алгебрах линейных преобразований», Труды Американского математического общества , 59 (3): 524–555, doi : 10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3 , ISSN   0002 -9947 , JSTOR   1990270 , MR   0016759
• Альберт, А. Адриан (1947), «Структурная теория йордановых алгебр», Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(3): 546–567, doi : 10.2307/1969128 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969128 , MR   0021546
• Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы, 3: Проективная октонионная геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . Бык. амер. Математика. Соц. 39 (2): 145–205. дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . МР   1886087 . S2CID   586512 . . Интернет-версия HTML .
• Фараут, Дж.; Кораньи, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN  0198534779
• Ханче-Олсен, Х.; Стермер, Э. (1984), Жордановые операторные алгебры , Монографии и исследования по математике, том 21, Питман, ISBN.  0273086197
• Джейкобсон, Натан (2008) [1968], Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  9780821831793 , МР   0251099
• Йордан, Паскуаль (1933), «О возможностях обобщения формализма квантовой механики», Nachr. Геттинген. Матем. кл. I , 41 : 209–217.
• Джордан, П.; фон Нейман, Дж .; Вигнер, Э. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма», Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi : 10.2307/1968117 , JSTOR   1968117
• Кац, Виктор Г (1977), «Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых жордановых супералгебр», Communications in Algebra , 5 (13): 1375–1400, doi : 10.1080/00927877708822224 , ISSN   0092-7872 , MR   0498755
• МакКриммон, Кевин (1966), «Общая теория жордановых колец», Proc. Натл. акад. наук. США , 56 (4): 1072–1079, Bibcode : 1966PNAS...56.1072M , doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR   57792 , MR   0202783 , PMC   220000 , PMID   16591377 , Zbl   0139.25502
• МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN  978-0-387-95447-9 , MR   2014924 , Збл   1044.17001 , Исправления
• Ичиро Сатаке (1980), Алгебраические структуры симметричных областей , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08271-4 . Обзор
• Шафер, Ричард Д. (1996), Введение в неассоциативные алгебры , Courier Dover Publications, ISBN  978-0-486-68813-8 , Збл   0145.25601
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN  0-12-779850-1 . МР   0518614 . Збл   0487.17001 .
• Слинько, А.М. (2001) [1994], «Жорданская алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Спрингер, Тонни А. (1998) [1973], Иорданские алгебры и алгебраические группы , Классика по математике, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-61970-0 , ISBN  978-3-540-63632-8 , МР   1490836 , Збл   1024.17018
• Спрингер, Тонни А.; Вельдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Октонионы, йордановые алгебры и исключительные группы , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12622-6 , ISBN  978-3-540-66337-9 , МР   1763974
• Апмейер, Х. (1985), Симметричные банаховы многообразия и йордановые C∗-алгебры , Математические исследования Северной Голландии, том. 104, ISBN  0444876510
• Апмейер, Х. (1987), Жордановые алгебры в анализе, теории операторов и квантовой механике , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 67, Американское математическое общество, ISBN.  082180717X

Дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Публикации коллоквиума, том. 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0904-0 , Збл   0955.16001

Внешние ссылки

• Джорданская алгебра в PlanetMath
• Алгебры Джордана-Банаха и Джордана-Ли в PlanetMath