Арифметическая производная

В теории чисел или арифметическая производная Лагариаса производная числа — это функция , определенная для целых чисел на основе простой факторизации по аналогии с правилом произведения для производной функции , которое используется в математическом анализе .

Существует множество версий «арифметических производных», включая ту, которая обсуждается в этой статье (арифметическая производная Лагариаса), например арифметическая производная Ихары и арифметическая производная Буйума.

Ранняя история

Арифметическая производная была введена испанским математиком Хосе Мингот Шелли в 1911 году. Арифметическая производная также появилась на конкурсе Патнэма 1950 года .

Определение

Для натуральных чисел n арифметическая производная D ( n ) определяется следующим образом:

• D ( p ) знак равно 1 для любого простого числа p .
• D ( mn ) = D ( m ) n + mD ( n ) для любого $m,n\in \mathbb {N}$ ( правило Лейбница ).

чисел

Эдвард Дж. Барбо расширил область определения на все целые числа, показав, что выбор D (− n ) = − D ( n ) однозначно расширяет область определения на целые числа и согласуется с формулой произведения. Барбо также распространил его на рациональные числа , показав, что знакомое правило частного дает четко определенную производную от $\mathbb {Q}$:

$D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.$

Виктор Уфнаровски и Бо Оландер расширили его до иррациональных чисел , которые можно записать как произведение простых чисел, возведенных в произвольные рациональные степени, что позволило использовать такие выражения, как $D({\sqrt {3}}\,)$ быть вычислено.

Арифметическую производную также можно распространить на любую уникальную область факторизации (UFD), такие как целые числа Гаусса и целые числа Эйзенштейна , а также связанное с ними поле дробей . Если UFD является кольцом многочленов , то арифметическая производная совпадает с выводом по указанному кольцу многочленов. Например, регулярная производная — это арифметическая производная для колец одномерных вещественных и комплексных полиномиальных и рациональных функций , что можно доказать с помощью фундаментальной теоремы алгебры .

Арифметическая производная также была распространена на кольцо целых чисел по модулю n .

Элементарные свойства

Правило Лейбница подразумевает, что D (0) = 0 (возьмем m = n = 0 ) и D (1) = 0 (возьмем m = n = 1 ).

Степенное правило справедливо и для арифметической производной. Для любых целых чисел k и n ≥ 0 :

$D(k^{n})=nk^{n-1}D(k).$

Это позволяет вычислить производную от простой факторизации целого числа: ${\textstyle x=\prod \limits _{p\in \mathbb {P} }p^{n_{p}}}$ (в котором ${\textstyle n_{p}=\nu _{p}(x)}$ — p -адическая оценка x ) :

$D(x)=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }n_{p}\,p^{n_{p}-1}D(p)=\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}n_{p}{\frac {x}{p}}D(p)=x\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {n_{p}}{p}}D(p)$.

Это показывает, что если известна производная для всех простых чисел, то производная известна полностью. Фактически, семейство арифметических частных производных ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}}$ относительно простого числа ${\textstyle p}$, определяемый ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(q)=0}$ для всех простых чисел ${\textstyle q}$, за исключением ${\textstyle q=p}$ для чего ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(p)=1}$ является базисом пространства производных. Заметим, что для этой производной имеем ${\frac {\partial x}{\partial p}}=n_{p}{\frac {x}{p}}$.

Обычно берут производную такую, что ${\textstyle D(p)=1}$ для всех простых p , так что

$D=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\partial }{\partial p}}{\text{, and }}D(x)=x\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {n_{p}}{p}}$.

С этой производной мы имеем, например:

$D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=60\cdot \left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)=92,$

или

$D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.$

И начинается последовательность производных чисел для x = 0, 1, 2,… (последовательность A003415 в OEIS ):

$0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots$

Связанные функции

Логарифмическая производная $\operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}$ является полностью аддитивной функцией : $\operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).$

Арифметическая частная производная $x$ относительно $p$ определяется как $D_{p}(x)={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.$ Итак, арифметическая производная $x$ дается как $D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}D_{p}(x).$

Арифметическая функция $f$ является аддитивной по Лейбницу, если существует вполне мультипликативная функция $h_{f}$ такой, что $f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)$ для всех положительных целых чисел $m$ и $n$. Мотивацией этой концепции является тот факт, что аддитивные по Лейбницу функции являются обобщениями арифметической производной. $D$; а именно, $D$ является аддитивной по Лейбницу с $h_{D}(n)=n$.

Функция $\delta$ данная в разделе 3.5 книги Шандора и Атанасова, по сути, то же самое, что и обычная арифметическая производная $D$.

Неравенства и границы

Э. Дж. Барбо исследовал границы арифметической производной. и обнаружил, что

$D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}$

и

$D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}$

где Ω( n ) — простая омега-функция — количество простых множителей в n . В обеих приведенных выше границах равенство всегда имеет место, когда n является степенью 2 .

Даль, Олссон и Лойко обнаружили, что арифметическая производная натуральных чисел ограничена

$D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}$

где p — наименьшее простое число из n , и равенство имеет место, когда n — степень числа p .

Александр Лойко , Йонас Олссон и Никлас Даль обнаружили, что невозможно найти аналогичные оценки для арифметической производной, распространенной на рациональные числа, доказав, что между любыми двумя рациональными числами существуют другие рациональные числа с произвольными большими или малыми производными (обратите внимание, что это означает, что арифметическая производная не является непрерывной функцией от $\mathbb {Q}$ к $\mathbb {Q}$).

Порядок среднего

У нас есть

$\sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)$

и

$\sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })$

для любого δ > 0, где

$T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.$

для

Виктор Уфнаровски и Бо Оландер подробно описали связь этой функции с известными теоретико-числовыми гипотезами , такими как гипотеза о простых числах-близнецах , гипотеза о простых тройках и гипотеза Гольдбаха . Например, гипотеза Гольдбаха будет подразумевать для каждого k > 1 существование такого n , что D ( n ) = 2 k . Гипотеза о простых числах-близнецах подразумевала бы, что существует бесконечно много k , для которых D ² ( k ) знак равно 1 .

См. также

• Арифметическая функция
• Вывод (дифференциальная алгебра)
• р -вывод

Ссылки

• Барбо, Э.Дж. (1961). «Замечания об арифметической производной» . Канадский математический бюллетень . 4 (2): 117–122. дои : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Збл   0101.03702 .
• Уфнаровский, Виктор; Оландер, Бо (2003). «Как различить числа» . Журнал целочисленных последовательностей . 6 . Статья 03.3.4. ISSN   1530-7638 . Збл   1142.11305 .
• Арифметическая производная , Planet Math , по состоянию на 04:15, 9 апреля 2008 г. (UTC)
• Л. Вестрик (2003). Исследования числовой производной .
• Петерсон, И. Математический путь: выведение структуры чисел .
• Останься, Майкл (2005). «Обобщенные производные числа» . Журнал целочисленных последовательностей . 8 . Статья 05.1.4. arXiv : math/0508364 . ISSN   1530-7638 . Збл   1065.05019 .
• Даль Н., Олссон Дж., Лойко А., Исследование свойств арифметической производной .
• Бальзаротти, Джорджо; Лава, Паоло Пьетро (2013). Арифметическая производная. Открытие нового подхода к теории чисел . Милан: Хоепли. ISBN  978-88-203-5864-8 .
• Шандор, Йожеф; Атанасов, Красимир (2021). Арифметические функции, раздел 3.5 . Издательство Nova Science.

• Кович, Юрий (2012). «Арифметическая производная и первообразная» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 15 (3,8).
• Хауканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Маттила, Мика; Тоссавайнен, Тимо (2017). «Арифметическая матрица Якобиана и определитель» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . Статья 17.9.2. ISSN   1530-7638 .
• Хауканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2016). «Об арифметических уравнениях в частных производных» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 19 . ISSN   1530-7638 .
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2018). «Арифметическая производная и аддитивные по Лейбницу функции» . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 24 (3): 68–76. arXiv : 1803.06849 . дои : 10.7546/nntdm.2018.24.3.68-76 . S2CID   119688466 .
• Хаукканен, Пентти (2019). «Обобщенная арифметическая субпроизводная» . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 25 (2): 1–7. дои : 10.7546/nntdm.2019.25.2.1-7 . S2CID   198468574 .
• Хауканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Арифметические субпроизводные: p-адическая разрывность и непрерывность» . Журнал целочисленных последовательностей . 23 . Статья 20.7.3. ISSN   1530-7638 .
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Асимптотика частичных сумм ряда Дирихле арифметической производной» . Математические коммуникации . 25 .
• Мерикоски, Йорма К.; Хауканен, Пентти; Тоссавайнен, Тимо (2019). «Арифметические производные и аддитивные функции Лейбница» (PDF) . Annales Mathematicae et Informaticae . 50 .
• Мерикоски, Йорма К.; Хауканен, Пентти; Тоссавайнен, Тимо (2021). «Полная аддитивность, полная мультипликативность и аддитивность Лейбница к рациональным числам» (PDF) . Целые числа . 21 .