Волновой вектор

В физике ( волновой вектор или волновой вектор ) — это вектор, используемый для описания волны , типичной единицей измерения которого является цикл на метр. Оно имеет величину и направление . Ее величина равна волновому числу волны (обратно пропорциональна длине волны ), а ее направление перпендикулярно волновому фронту. В изотропных средах это также направление распространения волн .

Близко связанным вектором является угловой волновой вектор (или угловой волновой вектор ), типичной единицей измерения которого является радиан на метр. Волновой вектор и угловой волновой вектор связаны фиксированной константой пропорциональности, 2 $π$ радиан за цикл. ^[а]

угловой волновой вектор принято В некоторых областях физики называть просто волновым вектором , в отличие, например, от кристаллографии . ^[1]^[2] Также часто используется символ $k$ для обозначения того, что используется.

В контексте специальной теории относительности волновой вектор может относиться к четырехвектору , в котором объединены (угловой) волновой вектор и (угловая) частота.

Определение

Термины «волновой вектор» и «угловой волновой вектор» имеют разные значения. Здесь волновой вектор обозначен через ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ и волновое число ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ . Угловой волновой вектор обозначается $k$ , а угловое волновое число - $k = | к |$ . Они связаны $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ .

Синусоидальная бегущая волна подчиняется уравнению

\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),

где:

$г$ — позиция,
$это$ время,
$ψ$ является функцией $r$ и $t,$ описывающее волну (например, для океанской волны звуковой $ψ$ будет избыточной высотой воды, или для волны ψ $описывающей возмущение ,$ будет избыточным давлением воздуха ).
$А$ – амплитуда волны (пиковая величина колебания),
$φ$ — сдвиг фазы ,
$ω$ - (временная) угловая частота волны, описывающая, сколько радиан она проходит за единицу времени, и связанная с периодом $T$ уравнением $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}},$
$k$ - угловой волновой вектор волны, описывающий, сколько радиан она проходит на единицу расстояния, и связанный с длиной волны уравнением $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.$

Эквивалентное уравнение с использованием волнового вектора и частоты: ^[3]

\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),

где:

$f$ это частота
${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ волновой вектор

Направление волнового вектора

Направление, в котором указывает волновой вектор, следует отличать от «направления распространения волны ». «Направление распространения волны» — это направление потока энергии волны и направление, в котором будет двигаться небольшой волновой пакет , то есть направление групповой скорости . Для световых волн в вакууме это также направление вектора Пойнтинга . С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовой скорости . Другими словами, волновой вектор указывает в нормальном направлении на поверхности постоянной фазы , также называемые волновыми фронтами .

В без потерь изотропной среде , такой как воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (например, стекло ) и кубические кристаллы , направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор, как правило, указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.

Например, когда волна проходит через анизотропную среду , например световые волны через асимметричный кристалл или звуковые волны через осадочную породу , волновой вектор может не указывать точно в направлении распространения волны. ^[4]^[5]

В физике твердого тела

В физике твердого тела «волновой вектор» (также называемый k-вектором ) электрона или дырки в кристалле является волновым вектором его квантово-механической волновой функции . Эти электронные волны не являются обычными синусоидальными волнами, но у них есть своего рода синусоидальная огибающая , и волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием «физического определения». см . в теореме Блоха . Дополнительную информацию ^[6]

В специальной теории относительности

Движущуюся волновую поверхность в специальной теории относительности можно рассматривать как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованную всеми событиями, прошедшими через волновую поверхность. Волновой пакет (обозначаемый некоторой переменной $X$ ) можно рассматривать как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная $X$ является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра представляет собой вектор, характеризующий волну, четырехволновой вектор. ^[7]

Четырехволновой вектор — это волновой четырехволновой вектор , который определяется в координатах Минковского как:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

где угловая частота ${\tfrac {\omega }{c}}$ - временная составляющая, а вектор волнового числа ${\vec {k}}$ это пространственная составляющая.

Альтернативно, волновое число $k$ может быть записано как угловая частота $ω,$ деленная на фазовую скорость $v p$ , или через обратный период $T$ и обратную длину волны $λ$ .

В явном виде его контравариантная и ковариантная формы таковы:

{\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

В общем случае скалярная величина Лоренца волнового четырехвектора равна:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

Четырехволновой вектор равен нулю для безмассовых (фотонных) частиц, где масса покоя $m_{o}=0$

Примером нулевого четырехволнового вектора может быть луч когерентного монохроматического света, фазовая скорость которого равна $v_{p}=c$

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{для легкого/нулевого}

которая имела бы следующую связь между частотой и величиной пространственной части четырехволнового вектора:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

{для легкого/нулевого}

Четырехволновой вектор связан с четырьмя импульсами следующим образом:

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

Четырехволновой вектор связан с четырехчастотным следующим образом:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)

Четырехволновой вектор связан с четырехскоростью следующим образом:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

Преобразование Лоренца

Преобразование Лоренца четырехволнового вектора — один из способов получить релятивистский эффект Доплера . Матрица Лоренца определяется как

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

В ситуации, когда свет излучается быстро движущимся источником и хотелось бы узнать частоту света, обнаруженного в земной (лабораторной) системе отсчета, мы применим преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в кадре $S. с$ и Земля находится в системе наблюдения, $S наблюдение$ .Применение преобразования Лоренца к волновому вектору

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }

и выбирая просто посмотреть на $\mu =0$ компонент приводит к

{\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}

где $\cos \theta$ это направляющий косинус $k^{1}$ относительно $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$

Так

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}

Источник удаляется (красное смещение)

В качестве примера можно применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( $\theta =\pi$ ), это становится:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

Источник движется в сторону (синее смещение)

Если применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( $θ = 0$ ), это будет выглядеть так:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера)

Если применить это к ситуации, когда источник движется поперек наблюдателя ( $θ = π /2$ ), это будет выглядеть так:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}

См. также

Ссылки

^ В большинстве контекстов и радиан, и цикл (или период ) рассматриваются как безразмерная величина 1, уменьшая эту константу до 2π.

^ Пример физики: Харрис, Бененсон, Стокер (2002). Справочник по физике . п. 288. ИСБН 978-0-387-95269-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Пример кристаллографии: Вайнштейн (1994). Современная кристаллография . п. 259. ИСБН 978-3-540-56558-1 .
^ Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Modern Crystallography . p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1 .
^ Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.
^ «Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не движется по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...», Звук Волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка
^ Дональд Х. Мензель (1960). «§10.5 Волна Блоха» . Фундаментальные формулы физики, том 2 (переиздание Prentice-Hall, 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ИСБН 978-0486605968 .
^ Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0 .

Дальнейшее чтение

Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-514665-3 .

[1] В большинстве контекстов и радиан, и цикл (или период ) рассматриваются как безразмерная величина 1, уменьшая эту константу до 2π.

[2] Пример физики: Харрис, Бененсон, Стокер (2002). Справочник по физике . п. 288. ИСБН 978-0-387-95269-7 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Пример кристаллографии: Вайнштейн (1994). Современная кристаллография . п. 259. ИСБН 978-3-540-56558-1 .

[4] Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Modern Crystallography . p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1 .

[fowles-5] Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.

[pollard-6] «Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не движется по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...», Звук Волны в твердых телах Полларда, 1977. ссылка

[7] Дональд Х. Мензель (1960). «§10.5 Волна Блоха» . Фундаментальные формулы физики, том 2 (переиздание Prentice-Hall, 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ИСБН 978-0486605968 .

[8] Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]