Список крупных кардинальных свойств

Основная статья: Большой кардинал

Эта страница включает список основных кардинальных свойств в математической области теории множеств . Он расположен примерно в порядке силы непротиворечивости аксиомы, утверждающей существование кардиналов с данным свойством. Существование кардинального числа κ данного типа подразумевает существование кардиналов большинства типов, перечисленных выше этого типа, и для большинства перечисленных кардинальных описаний φ меньшей силы согласованности V _κ удовлетворяет «существует неограниченный класс кардиналов, удовлетворяющих φ ".

В следующей таблице кардиналы обычно располагаются в порядке силы согласованности , при этом размер кардинала используется в качестве решающего фактора. В некоторых случаях (например, при сильно компактных кардиналах) точная сила согласованности неизвестна, и в таблице используется текущее наилучшее предположение.

• «Маленькие» кардиналы: 0, 1, 2, ..., $\aleph _{0},\aleph _{1}$,..., $\kappa =\aleph _{\kappa }$, ... (см. число Алеф )
• мирские кардиналы
• слабо и сильно недоступные , α-недоступные и гипернедоступные кардиналы
• слабо и сильно кардиналы Мало , α- Мало и гипермало.
• отражающие кардиналы
• слабо компактный (= Π ¹
  ₁ - неописуемый), Π ^м
  _{n -} неописуемые , совершенно неописуемые кардиналы
• λ-разворачивающиеся , не сворачиваемые кардиналы, ν-неописуемые кардиналы и λ-проницательные , проницательные кардиналы (неясно, как они связаны друг с другом).
• эфирные кардиналы , тонкие кардиналы
• почти невыразимые , невыразимые , п- невыразимые , совершенно невыразимые кардиналы
• замечательные кардиналы
• α-кардиналы Эрдеша (для счетных α), 0 ^# (не кардинал), γ-итерабельный , γ-кардиналы Эрдеша (для несчетного γ)
• почти Рэмси , Йонссон , Роуботтом , Рэмси , невыразимо Рэмси , полностью Рэмси, сильно Рэмси, супер кардиналы Рэмси
• измеримые кардиналы , 0 ^†
• λ-сильные , сильные кардиналы, высокие кардиналы
• Вудин , слабо гипер-Вудин , Шела , гипер-Вудин Кардиналы
• сверхсильные кардиналы (=1-сверхсильные; для n -сверхсильных, для n ≥2 см. ниже.)
• субкомпактный , сильно компактный (Вудин < сильно компактный≤суперкомпактный), сверхкомпактный , сверхкомпактный кардиналы
• η-расширяемые , расширяемые кардиналы
• Кардиналы Вопенка , Шела за сверхкомпактность, кардиналы для прыжков в высоту
• n - сверхсильные ( n ≥2) , n - почти огромные , n - сверхпочти огромные , n - огромные , n - сверхогромные кардиналы (1-огромный=огромный и т.д.)
• Аксиома целостности , ранг в ранг (аксиомы I3, I2, I1 и I0)

Следующие еще более сильные большие кардинальные свойства не согласуются с аксиомой выбора, но их существование пока не опровергнуто только в ZF (т. е. без использования аксиомы выбора ).

• Кардинал Рейнхардта , кардинал Беркли

Ссылки

• Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании  0-444-10535-2 .
• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-00384-3 .
• Канамори, Акихиро; Магидор, М. (1978). «Эволюция больших кардинальных аксиом в теории множеств». Теория высших множеств (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 669. Шпрингер Берлин/Гейдельберг. стр. 99–275. дои : 10.1007/BFb0103104 . ISBN  978-3-540-08926-1 .
• Соловей, Роберт М .; Рейнхардт, Уильям Н.; Канамори, Акихиро (1978). «Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения» (PDF) . Анналы математической логики . 13 (1): 73–116. дои : 10.1016/0003-4843(78)90031-1 .

Внешние ссылки

• Чердак Кантора
• некоторые диаграммы крупных кардинальных свойств