Число Мертенса
В теории чисел и математической логике число Мертенса в заданной системе счисления — натуральное число , которое является собственным числом Гёделя . Он был назван в честь Ламберта Мертенса Ричардом С. Бердом в качестве подарка во время празднования его 25-летия в КРИ Амстердаме в . [1]
Определение [ править ]
Позволять быть натуральным числом. Определим функцию Мертенса для базы быть следующим:
где это количество цифр в числе по основанию , это - простое число и
— значение каждой цифры числа. Натуральное число является числом Мертенса, если оно является фиксированной точкой для , что происходит, если . Это соответствует кодировке Гёделя .
Например, число 3020 в базе является числом Мертенса, поскольку
- .
Натуральное число является общительным числом Мертенса, если оно является периодической точкой для , где для положительного целого числа , и образует цикл периода . Число Мертенса – это общительное число Мертенса с , а дружественное число Мертенса — это общительное число Мертенса с .
Количество итераций необходимо для функции Мертенса сохранение достижения фиксированной точки - это и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.
Числа Мертенса и циклы F b для конкретных b [ править ]
Все числа в базе .
Числа Мертенса | Циклы | Комментарии | |
---|---|---|---|
2 | 10, 110, 1010 | [2] | |
3 | 101 | 11 → 20 → 11 | [2] |
4 | 3020 | 2 → 10 → 2 | [2] |
5 | 11, 3032000, 21302000 | [2] | |
6 | 130 | 12 → 30 → 12 | [2] |
7 | 202 | [2] | |
8 | 330 | [2] | |
9 | 7810000 | [2] | |
10 | 81312000 | [2] | |
11 | [2] | ||
12 | [2] | ||
13 | [2] | ||
14 | 13310 | [2] | |
15 | [2] | ||
16 | 12 | 2 → 4 → 10 → 2 | [2] |
См. также [ править ]
- Арифметическая динамика
- Число Дюдени
- Факторион
- Счастливое число
- постоянная Капрекара
- Число Капрекара
- Нарциссическое число
- Идеальный цифро-цифровой инвариант
- Идеальный цифровой инвариант
- Сумма-номер продукта
Ссылки [ править ]
Внешние ссылки [ править ]
- Последовательность OEIS A189398 (a(n) = 2^d(1) * 3^d(2) * ... * prime(k)^d(k))
- Последовательность OEIS A246532 (Наименьшее число Мертенса по основанию n или -1, если его не существует.)