Оператор числа частиц

В квантовой механике для систем, в которых общее количество частиц не может быть сохранено, числовой оператор — это наблюдаемая величина , которая подсчитывает количество частиц.

записано следующее В обозначениях Бракетта : Числовой оператор действует в пространстве Фока . Позволять

$|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }$

быть состоянием Фока , состоящим из одночастичных состояний $|\phi _{i}\rangle$ взято из базиса основного гильбертова пространства пространства Фока. Учитывая соответствующие операторы создания и уничтожения $a^{\dagger }(\phi _{i})$ и $a(\phi _{i})\,$ мы определяем числовой оператор как

${\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})$

и у нас есть

${\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }$

где $N_{i}$ это количество частиц в состоянии $|\phi _{i}\rangle$ . Вышеупомянутое равенство можно доказать, заметив, что ${\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}$ затем ${\begin{array}{rcl}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&=&a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\[1ex]\end{array}}$

См. также

Ссылки

Брюус, Хенрик; Фленсберг, Карстен (2004). Квантовая теория многих тел в физике конденсированного состояния: введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-856633-6 .
Заметки Фрадкина о втором квантовании