Эллиптические когомологии

В математике — эллиптические когомологии это теория когомологий в смысле алгебраической топологии . Это связано с эллиптическими кривыми и модулярными формами .

и

Исторически эллиптические когомологии возникли в результате изучения эллиптических родов . Атья и Хирцебрух знали, что если $S^{1}$ действует гладко и нетривиально на спиновом многообразии, то индекс оператора Дирака обращается в нуль. В 1983 году Виттен предположил, что в этой ситуации эквивариантный индекс некоторого скрученного оператора Дирака по крайней мере постоянен. Это привело к некоторым другим проблемам, касающимся $S^{1}$-действия на многообразиях, которые Ошанин мог решить введением эллиптических родов. В свою очередь, Виттен связал это с (гипотетической) теорией индекса в пространствах свободных петель . Эллиптические когомологии, изобретенные в своей первоначальной форме Ландвебером, Стонгом и Равенелем в конце 1980-х годов, были введены для прояснения некоторых проблем с эллиптическими родами и обеспечения контекста для (гипотетической) теории индекса семейств дифференциальных операторов в пространствах свободных петель. В некотором смысле ее можно рассматривать как приближение к K-теории пространства свободных петель.

Определения и конструкции

Назовите теорию когомологий $A^{*}$ даже периодический, если $A^{i}=0$ ибо я нечетный и существует обратимый элемент $u\in A^{2}$. Эти теории обладают комплексной ориентацией , что дает формальный групповой закон . Особенно богатым источником формальных групповых законов являются эллиптические кривые . Теория когомологий $A$ с

$A^{0}=R$

называется эллиптическим , если он четно-периодический и его формальный групповой закон изоморфен формальному групповому закону эллиптической кривой. $E$ над $R$. Обычное построение таких теорий эллиптических когомологий использует точную теорему о функторе Ландвебера . Если формальный групповой закон $E$ является точной по Ландвеберу, можно определить эллиптическую теорию когомологий (на конечных комплексах) формулой

$A^{*}(X)=MU^{*}(X)\otimes _{MU^{*}}R[u,u^{-1}].\,$

Франке определил условие, необходимое для достижения точности Ландвебера:

1. $R$ должен быть ровным $\mathbb {Z}$
2. Неприводимой составляющей не существует. $X$ из ${\text{Spec }}R/pR$, где волокно $E_{x}$ является суперсингулярным для каждого $x\in X$

Эти условия можно проверить во многих случаях, связанных с эллиптическими родами. При этом условия выполняются в универсальном случае в том смысле, что отображение стека модулей эллиптических кривых в стек модулей формальных групп

${\mathcal {M}}_{1,1}\to {\mathcal {M}}_{fg}$

плоский ​ . Это дает предпучок . теорий когомологий

${\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}:{\text{Aff}}/({\mathcal {M}}_{1,1})_{flat}\to {\textbf {Spectra}}$

над участком аффинных схем, плоскими над стеком модулей эллиптических кривых. Желание получить универсальную эллиптическую теорию когомологий путем взятия глобальных сечений привело к построению топологических модулярных форм. ^{стр. 20}

$\mathbf {Tmf} ={\underset {X\to {\mathcal {M}}_{1,1}}{\textbf {Holim}}}{\text{ }}{\mathcal {O}}_{e\ell \ell }^{pre}(X)$

как гомотопический предел этого предпучка по предыдущему узлу.

См. также

• Спектральная алгебраическая геометрия
• Средний якобиан
• Теория хроматической гомотопии

Ссылки

• Франке, Йенс (1992), «О построении эллиптических когомологий», Mathematical News , 158 (1): 43–65, doi : 10.1002/mana.19921580104 .
• Ландвебер, Питер С. (1988), «Эллиптические роды: вводный обзор», в Ландвебер, П.С. (ред.), Эллиптические кривые и модульные формы в алгебраической топологии , Конспекты лекций по математике, том. 1326, Берлин: Springer, стр. 1–10, ISBN.  3-540-19490-8 .
• Ландвебер, Питер С. (1988), «Эллиптические когомологии и модульные формы», в книге Ландвебер, П.С. (редактор), Эллиптические кривые и модульные формы в алгебраической топологии , Конспекты лекций по математике, том. 1326, Берлин: Springer, стр. 55–68, ISBN.  3-540-19490-8 .
• Ландвебер, PS; Равенел Д. и Стонг Р. (1995), «Теории периодических когомологий, определяемые эллиптическими кривыми», в Ценкл, М. и Миллер, Х. (ред.), The Čech Centennial 1993 , Contemp. Матем., вып. 181, Бостон: Амер. Математика. Соц., стр. 317–338, ISBN.  0-8218-0296-8 .
• Лурье, Джейкоб (2009), «Обзор эллиптических когомологий», в книге Баас, Нильс; Фридлендер, Эрик М.; Ярен, Бьёрн; и др. (ред.), Алгебраическая топология: Симпозиум Абеля 2007 , Берлин: Springer, стр. 219–277, doi : 10.1007/978-3-642-01200-6 , hdl : 2158/373831 , ISBN  978-3-642-01199-3 .

Учредительные статьи

• Эллиптические когомологии - Грэм Сигал

Калаби-

• К3 Спектры
• Построение явных спектров K3.
• Эллиптические кривые в калибровочной теории, теории струн и когомологиях